בתשובה לאלון עמית, 23/08/03 19:21
האם מישהו 165576
מ. השור • בתשובה לאלון עמית שבת, 23/8/2003, 21:53
איך מוכיחים שמספר לא ניתן להצגה על ידי פעולות חשבון ושורש ריבועי? יש הוכחה כזו (לגבי מספר כלשהו) שהיא מספיק פשוטה להביא אותה פה?
האם מישהו 165626
עוזי ו. • בתשובה למ. השור יום א', 24/8/2003, 1:12
0. (ההסבר דורש מושג טכני אחד, מימד של הרחבת שדות, שקצת קשה להסתדר בלעדיו. זהו בדיוק ה"מימד" הזכור לטוב ממרחבים וקטוריים, אלא שכאן המרחב הוקטורי הוא השדה הגדול.)

1. איזה מספרים אפשר לבנות?

נזהה את הנקודות במישור עם המספרים המרוכבים (ציר "ממשי" וציר "מדומה"). קל יחסית לבנות בסרגל ומחוגה את כל המספרים הרציונליים, ו(על-ידי העלאת אנך) גם את המספרים מהצורה a+bi כאשר a ו- b רציונליים. האוסף הזה הוא שדה.

כעת, חיתוך של מעגל וישר (או מעגל ומעגל) עשוי להוסיף מספר חדש למערכת, וכך להגדיל את שדה-המספרים-שיודעים-לבנות; מכיוון שזו הוצאת שורש ריבועי, השדה החדש יהיה ממימד 2 מעל השדה הקודם.
לכן, כל מספר שאפשר לבנות, שייך לשדה שאליו מובילה שרשרת של הרחבות ממימד 2 (המתחילה במספרים הרציונליים).
גם הכיוון ההפוך נכון: אם מספר שייך לשדה שנמצא בקצה שרשרת כזו, אז אפשר להוציא שורשים ולטפס במעלה השרשרת עד שמגיעים אליו.

2. מה אי-אפשר לבנות?

אם מספר יוצר שדה שאינו ניצב בקצה שרשרת כזו, לא ניתן יהיה לבנות אותו. בפרט, שורשים של משוואות ממעלה איזוגית אי-אפשר לבנות (כי הם יוצרים שדות ממימד אי-זוגי) (אבל לא רק את אלה).

3. אפשר לקבל דוגמא?

המספר (x=cos(20 מקיים את המשוואה 8x^3-6x-1=0, שהיא ממעלה שלישית. לכן הוא יוצר שדה ממימד 3, ולכן לא ניתן לבנות אותו בעזרת מחוגה וסרגל.
אם-כך, אי-אפשר גם לבנות זווית של 20 מעלות (כי לו זה היה אפשרי, הניצב במשולש עם זווית כזו היה באורך x).

4. נימוק נפלא. מה עוד אפשר להוכיח איתו?

ארבע מ"חמש הבעיות של ימי קדם":
א. אי-אפשר להכפיל את הקוביה (במחוגה וסרגל) (כי זה דורש לבנות שורש שלישי של 2, הרחבה ממימד 3).
ב. אי-אפשר לשלש את הזווית (ראה לעיל).
ג. אי-אפשר לרבע את המעגל (דורש שורש-פאי, ופאי אינו שייך לשדה ממימד סופי מעל הרציונליים).
ד. אי-אפשר לבנות מצולע בן 7 צלעות (כי (cos(2Pi/7 הוא שורש של פולינום איפריק ממעלה 6; 6 אינו חזקה של 2).
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות