בתשובה לעוזי ו., 19/08/03 0:36
 |
|
 |
||
|
||||
 |
מבין יודעי הח"ן כאן יכול להאיר את עיני הבורות לגבי הזווית? איך זה ש"ידוע" שאי אפשר לבנות זווית של 20 מעלות? למה אי אפשר, וממתי יודעים על זה? אנא, אם אפשר, הסבר להדיוטות ולא תזה מלומדת. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
קודם כל אנסה להבהיר את מהות הטענה, ואח"כ אולי יהיה פחות קשה להאמין שזה משהו שאפשר להוכיח - ואנסה להגיד גם משהו על ההוכחה. "לבנות זווית של 20 מעלות" פירושו: נתונות שתי נקודות A ו-B על הדף, ואנו צריכים לייצר באמצעות סרגל ומחוגה נקודה שלישית C באופן שהזווית בין הישר AB לישר AC היא 20 מעלות. ומה פירוש "לייצר"? פשוט מאוד: אנו יכולים להעביר ישר בין כל שתי נקודות שכבר בנינו, ולבנות מעגל שמרכזו בנקודה שכבר בנינו והוא עובר דרך נקודה נוספת שגם אותה בנינו, וכך לבנות נקודות נוספות שהן נקודות החיתוך של ישרים ומעגלים שאנו מציירים. זה יותר פשוט ממה שזה נשמע, וחשוב להבין זאת. אם נצייר מעגל שמרכזו A והוא עובר דרך B, יש על מעגל זה בהחלט נקודה שיוצרת זווית כנדרש, אבל זה לא נקרא שבנינו אותה. כדי לבנות אותה יש להעביר עוד ישרים ומעגלים, עד שהחיתוך של איזה ישר עם איזה מעגל (או שני ישרים, או שני מעגלים) יהיה נקודה C כזו. למה אלה חוקי המשחק? ככה. זה מה שהיוונים קראו לו בנייה בסרגל ומחוגה. אפשר לעשות הרבה דברים עם סרגל ומחוגה: אפשר לחלק קטע לאיזו כמות של חלקים שרוצים, אפשר לחלק זווית, נניח, ל-21/64 חלקים, שזה *כמעט* שליש, וכו'. אם עכשיו נכניס קואורדינטות לסיפור, נהפוך את השאלה לאלגברית (ואני מקווה שאנו לא חורגים מתחום ההסבר להדיוטות): נניח ש-A בראשית הצירים ו-B נמצאת במרחק 1 ממנה על ציר x. כעת, לכל נקודה במישור מתאים זוג מספרים. למשל, (1,1) היא נקודה היוצרת זווית של 45 מעלות עם AB, ואותה דווקא לא קשה לבנות. אפשר לשאול: אם אפשר לבנות את הנקודה (x,y), האם ניתן לומר משהו אינטיליגנטי על x ו-y? מסתבר שכן. הנה עובדה מבלבלת אך נכונה: לכל נקודה חדשה שבונים יש קואורדינטות שהן פתרונות של משוואה ריבועית, שהמקדמים שלה הם קואורדינטות של נקודות שכבר בנינו. לא נורא חשוב להבין את הטענה הזאת, אך חשוב להבין את מה שנובע ממנה: יש מגבלות רציניות על המספרים (x,y) המופיעים כקואורדינטות של נקודות שאפשר לבנות עם סרגל ומחוגה. מספרים שהם רציונליים, או שורשים ריבועיים של רציונליים, או שורשים של שורשים כאלה (נניח משהו כמו שורש של (שורש שתיים ועוד שלוש)), וכן הלאה, אפשר לבנות. כל דבר אחר, לא. לבסוף, מראים שהמספר סינוס-של-20-מעלות הוא לא כזה. לכן לא ניתן לבנות זווית של 20 מעלות. לגבי השאלה "ממתי יודעים את זה", צריך לחפש קצת בספרים או ברשת, כי אין לי את זה בראש. אין ספק שידעו להוכיח את זה בראשית המאה ה-19, וגם שחשדו שזה כנראה המצב (בלי להיות מסוגלים לתת הוכחה פורמלית) עוד הרבה קודם. ספר מוצלח מאוד בנושא הוא "Galois Theory" של Ian Stewart. הוא נותן הרבה רקע היסטורי, אבל בעיון חפוז לא מצאתי תשובה מדוייקת לשאלה. עזרתי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך מוכיחים שמספר לא ניתן להצגה על ידי פעולות חשבון ושורש ריבועי? יש הוכחה כזו (לגבי מספר כלשהו) שהיא מספיק פשוטה להביא אותה פה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
0. (ההסבר דורש מושג טכני אחד, מימד של הרחבת שדות, שקצת קשה להסתדר בלעדיו. זהו בדיוק ה"מימד" הזכור לטוב ממרחבים וקטוריים, אלא שכאן המרחב הוקטורי הוא השדה הגדול.) 1. איזה מספרים אפשר לבנות? נזהה את הנקודות במישור עם המספרים המרוכבים (ציר "ממשי" וציר "מדומה"). קל יחסית לבנות בסרגל ומחוגה את כל המספרים הרציונליים, ו(על-ידי העלאת אנך) גם את המספרים מהצורה a+bi כאשר a ו- b רציונליים. האוסף הזה הוא שדה. כעת, חיתוך של מעגל וישר (או מעגל ומעגל) עשוי להוסיף מספר חדש למערכת, וכך להגדיל את שדה-המספרים-שיודעים-לבנות; מכיוון שזו הוצאת שורש ריבועי, השדה החדש יהיה ממימד 2 מעל השדה הקודם. לכן, כל מספר שאפשר לבנות, שייך לשדה שאליו מובילה שרשרת של הרחבות ממימד 2 (המתחילה במספרים הרציונליים). גם הכיוון ההפוך נכון: אם מספר שייך לשדה שנמצא בקצה שרשרת כזו, אז אפשר להוציא שורשים ולטפס במעלה השרשרת עד שמגיעים אליו. 2. מה אי-אפשר לבנות? אם מספר יוצר שדה שאינו ניצב בקצה שרשרת כזו, לא ניתן יהיה לבנות אותו. בפרט, שורשים של משוואות ממעלה איזוגית אי-אפשר לבנות (כי הם יוצרים שדות ממימד אי-זוגי) (אבל לא רק את אלה). 3. אפשר לקבל דוגמא? המספר (x=cos(20 מקיים את המשוואה 8x^3-6x-1=0, שהיא ממעלה שלישית. לכן הוא יוצר שדה ממימד 3, ולכן לא ניתן לבנות אותו בעזרת מחוגה וסרגל. אם-כך, אי-אפשר גם לבנות זווית של 20 מעלות (כי לו זה היה אפשרי, הניצב במשולש עם זווית כזו היה באורך x). 4. נימוק נפלא. מה עוד אפשר להוכיח איתו? ארבע מ"חמש הבעיות של ימי קדם": א. אי-אפשר להכפיל את הקוביה (במחוגה וסרגל) (כי זה דורש לבנות שורש שלישי של 2, הרחבה ממימד 3). ב. אי-אפשר לשלש את הזווית (ראה לעיל). ג. אי-אפשר לרבע את המעגל (דורש שורש-פאי, ופאי אינו שייך לשדה ממימד סופי מעל הרציונליים). ד. אי-אפשר לבנות מצולע בן 7 צלעות (כי (cos(2Pi/7 הוא שורש של פולינום איפריק ממעלה 6; 6 אינו חזקה של 2). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה... :-( באמת הלכתי קצת לאיבוד ברגע שהתחלת עם האלגברה. הצלחתי להבין רק, שאין לזה קשר לעולם האמיתי. כלומר, שבתיאוריה אי אפשר לבנות זוויות כאלה (למרות שעל הנייר קל לחשב אחד חלקי 18 של המעגל ולבנות זווית כזו). האם נכון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך "קל" לחשב 1/18 של מעגל? הדרך הכי פשוטה שאני יכול לחשוב עליה היא לקחת חוט, לגזור אותו באורך השווה להיקף המעגל, לחשב 1/18 שלו ואז לשים שוב על המעגל. ואם אין לך חוט בהישג יד? ליוונים לא היה. אפילו שנתות על הסרגל לא היו להם. השאלה היא לא האם ניתן לבנות זווית של 20 מעלות, ברור שאפשר. השאלה אם אפשר לעשות את זה עם סרגל ומחוגה בלבד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה לך. (כמו בשאלת הברידג' ששאלתי פה פעם, אני שוב מגלה שהמומחים באייל מאבדים את הקשר לטמבלים מהעם. ברור שלא קלטתי שהדגש הוא על סרגל ומחוגה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול להסביר איך אפשר להוכיח שזוית בת 36 מעלות ניתנת לבנייה בעזרת סרגל ומחוגה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הזה אפשר פשוט לתת ההוכחה קונסטרוקטיבית, כלומר להראות ממש איך עושים את זה. רמז: זוית הראש של חמשת המשולשים שנוצרים מחיבור המרכז של מחומש משוכלל לכל אחת מהפינות שלו היא בגודל 2* pi / 5 שהיא בדיוק פי שניים ממה שאת צריכה, ולחצות זוית זה קל.נשאר רק להראות איך בונים מחומש משוכלל עם סרגל ומחוגה, וזה דוקא לא נורא פשוט (אבל גם לא נורא מסובך), ראי למשל כאן: http://www.nationmaster.com/encyclopedia/Pentagon (ההוכחה נשארת כתרגיל לקורא). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק כשסיימתי לקרוא את ההודעה פתאום הבנתי שלא כתב אותה אלון עמית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רואה את זה כמחמאה גדולה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני (רואה את *זה* כמחמאה גדולה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זאת בכל זאת מחמאה ענקית לשכ''ג, ופוטנציאלית - לכל אחד אחר שאיננו מקצועי בתחום, לו היה נותן את אותו הסבר נוח ויפה ששכ''ג נתן. אני שמחה בשבילו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו מגיע הקטע שבו כל אחד ניגש לשולחן של שכ"ג ומניח עליו את העט שלו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה ממש לא מומלץ. השולחן שלי ידוע כמשולש ברמודה של העטים, ויש סברה שהם עוברים דרכו ליקום מקביל. מי יודע איזה נזק הם עלולים לחולל שם. אבל, אם כבר אנחנו משתעשעים, הנה נסיון להחזיר את הפתיל לשפיות יחסית: נניח שאתה על אי בודד ללא סרגל ומחוגה1 ומשום מה אתה צריך לבנות מחומש קטן2. הצע דרך מעשית לעשות זאת (בקירוב, כמובן). הערה: אין בסביבה כוכבי ים ובע"ח אקזוטיים עם הסימטריה המתאימה (אחרת הכושי היה יכול לעשות את זה בעצמו, כדברי הבדיחה המפורסמת4), אבל מותר להניח הנחות הגיוניות לגבי צמחים, בע"ח ודוממים שכן מצויים בשטח. ____________ 1- ואל תשאל אותי איך *זה* יכול לקרות. מי יוצא למסע ימי ללא שני אלה? 2- אוף איתך. כי הכושי שתפס אותך אומר3 שאחרת הוא יאכל אותך. 3- כן, נודניק, הוא מדבר אנגלית. אם הקלינגונים מדברים אנגלית אין שום סיבה שהוא לא. 4- לא, אני לא מתכוון לספר אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל מה לעבוד כל כך קשה עם צמחים, בע"ח, דוממים (מה זה כאן? ארץ-עיר? לא סבלנו כבר מספיק?), ועם, רחמנא ליצלן, הנחות הגיוניות? - באת לנוח או לאמץ את מוחך הבלונדיני החמוד יותר מדי? אולי אין לך סרגל ומחוגה, אבל הרי לא יעלה על הדעת שיצאת לדרך בלי לפטופ. אם יש לך לפטופ אתה יכול למצוא בהמון אתרים צילום אויר של הפנטגון. אמא בטח שמה לך בתיק של הלפטופ כמה קיטים של עזרה ראשונה וביניהם קיט תפירה, ככה שעם חוט ומספריים וקצת תושיית-שדה אתה יכול להעתיק אחד מאותם צילומים על החול (זה באמת יהיה קאט אנד פייסט במלוא מובן הביטוי), והשאר היסטוריה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נסיון ראשוני: במקום מחוגה, אפשר להשתמש בגדם עץ עגול בקירוב, ואז לקחת ענף ישר, ולקצץ אותו איטרטיבית עד שהוא נכנס לתוכו בדיוק חמש פעמים (כך שיווצר מחומש חסום במעגל)? אולי כדאי שתפרט יותר על האקסיומות שלך לגבי האי הבודד, אחרת יכולים להיות די הרבה פתרונות יצרתיים. :) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדם עץ? אם אין לך מסור איך תשיג חתך מישורי להניח עליו את הענפים שלך? אבל אתה צודק, צריך לסייג: בואו נניח שאין על האי עצים או בע"ח, והים הוא ים המלח. מה שיש בשפע הוא עשבים וצמחים מהסוג של אלה בתמונות: http://images.google.com/images?sourceid=navclient&a... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, אז תולשים עלה אחד כזה ומצמידים את שתי קצוותיו כדי ליצור טבעת, נדמה לי שהיא אמורה להיות עגולה בקירוב משיקולי סימטריה כלשהם, אבל מה אני יודע ... וההמשך כנ''ל. אני מניח שאתה מכוון לפתרון יותר מעניין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מכוון באמת לפתרון יותר מעניין (לטעמי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באזור ים המלח יש עצי אשל שלפרחים שלהם חמישה עלי גביע וחמישה עלי כותרת (זה בכיוון?). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צ''ל שיחי אשל, לא עצי אשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, לא, ''ים המלח'' נועד רק לשלול כל מיני בע''ח ימיים ואצות למיניהן. הנח שאין באזור שום חפץ בעל סימטריה מחומשת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סופרים חמש שיחים צמודים אקראיים ותוחמים אותם, ניסיתי גם עקירת כל שתיל x בהתאם למספרי סידרת בונפצ'י, אבל ל. התחילה לצעוק עלי שאפסיק או ש... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פיבונאצ'י. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה זכרתי ששמו מזכיר לי את פאצ'י הטוב, באיטלקית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פאצ'י באיטלקית, פצ'י בעברית, תגובה 482619 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניטפוק- אם יש לך עלים סיביים כאלה אפשר לבנות מהם סרגל ומחוגה. אבל בהנחה שלא לזה התכוונת ( אגב, גם לא ציינת שהמחומש הוא סימטרי)- אולי אפשר לבנות מחומש שווה שוקיים מהגבעולים ואז לסובב אותם כמו פלצור, ואז להניח את הפלצור העגול על האדמה. נקודות החיבור של הגבעולים יהוו מחומש. לחליפין אפשר לבנות מצנח עם בסיס מחומש או בולו מחומש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, משוכלל. לא הבנתי את ההצעות שלך. אם כבר בנית מחומש (שוה שוקיים?) אזי פתרת את החידה. האמת היא שהפתרון הפשוט, לקחת חמישה עלים באורך שווה, לחבר אותם בקצותיהם (באמצעות קוץ או קשר, נניח) ולהכריז: "זהו" פשוט לא עלה על דעתי. כיוונתי לכך שכאשר אתה יוצר קשר סבתא פשוט מרצועה (באי שלנו: עלה ארוך שקצותיו מקבילים) ומשטח אותו בזהירות, הצורה שמתקבלת היא מחומש משוכלל. קל לנסות את זה עם רצועת נייר ברוחב סנטימטר בערך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יכול לבנות מחומש שווה שוקיים אבל לא משוכלל. הרעיון היה לגרום לו להיות משוכלל על ידי סיבוב או נשיפה של רוח לתוכו. קשר סבתא זה רעיון יותר נחמד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך קשר סבתא יגרום לו להיות משוכלל (ואל תתבייש להוסיף הסבר קטן על מה זה קשר סבתא)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קשר סבתא:קח חוט וצור בו לולאה. _O_ את אחד הקצוות הכנס לתוך הלולאה שיצרת. אם תעשה אותו דבר לרצועת נייר, תהדק בזהירות את מה שנוצר שם ותשטח תקבל מחומש משוכלל (אגב, שני קצוות הרצועה יהיו כעת הפוכים, כך שאם תדביק אותם זה לזה תקבל טבעת מוביוס עם מחומש באמצע. אני בטוח שזה שימושי מאד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז זה מה שחשבתי. אם אני מסתכל על http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbpaperknot.htm אני לא רואה מה שומר על הסימטריה (שהופכת את המחומש למשוכלל). אני עדיין צריך מחוגה וסרגל בשביל ליצור קשר סימטרי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראובן נתן לינק להוכחה. אני לא מבין איך יוצרים קשר עם מחוגה וסרגל, הרבה יותר נוח לעשות את זה עם האצבעות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לי הפרכה (עשיתי, עכשיו, קשר סבתא והזזתי את אחד הקצוות הצידה, ואז לצד השני. לא יכול להיות שבמצולע משוכלל אני אוכל להזיז את אחת הפינות בלי להזיז את כולם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוששני שאיבדתי אותך. בלינק שאתה הבאת, המחומש נראה יפה בציור האמצעי למטה. איזה קצה אתה יכול להזיז? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התחתון | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מבין. אולי מישהו אחר יתנדב לעזור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין: אני תמיד קושרת כך. האם אני סבתא? אתמהה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע, זה נראה משוכלל1. קשר סבתא זה הקשר הכי פשוט שאפשר לעשות בחוט אחד. 1 אם תחפש בגוגל תחת Overhand knot תמצא גם את ההוכחה (לא ניסיתי לבדוק), למשל כאן: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המחומש חייב להיות משוכלל? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עטים ביקום המקביל יעשו רק טוב. הם ייאלצו את תושביו לייצר שפה כתובה, מה ששכחו לעשות עד כה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דומני שכבר התקבלנו לאגודת ההערצה ההדדית, כך שאני מוחה דמעה קטנה וחוסך מהקהל את ההמשך הדביק. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |