בתשובה לעוזי ו., 14/05/03 22:20
 |
|
 |
||
|
||||
 |
האם באומרך ש"מתמטיקאים הוכיחו בשנים האחרונות ... את השערת פואנקרה" אתה מתכוון לומר שיש הוכחה מתמטית לכך שאם זה עושה גע גע זה ברווז? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני מדבר כמובן על ההשערה המקורית של פואנקרה (המיון השלם של עושי-גע-גע נשאר בלתי פתור, לעת עתה). פואנקרה שיער שכל יריעה תלת-ממדית1 פשוטת-קשר2 היא הומיאומורפית3 לכדור4. 1 מרחב טופולוגי5 שבסביבה קרובה של כל נקודה בו הוא נראה כמו המרחב התלת-ממדי שלנו. 2 כל מעגל סגור אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מהמרחב. 3 דומה מבחינה טופולוגית; אפשר לעבור מהצורה הראשונה לשניה על-ידי עיוות, בלי "לקרוע" כלום. 4 מהמימד הנכון: השפה של כדור היחידה במרחב הארבעה-ממדי. 5 מרחב שבו אפשר להגדיר התכנסות של סדרה (כלומר: לקבוע מתי סדרת נקודות מתקרבת עד-מאד לנקודה נתונה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2 ובנוסף, אפשר לכווץ בלונים6 לנקודה בלי לצאת מהמרחב. 6 לא באמת בלונים; שפות דו-ממדיות של כדורים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני כנראה מתפלפל, אבל אולי תוכל לעשות לי סדר במושגים. אם זכרונותי המעומעמים מהקורס בטופולוגיה הם נכונים, אזי במרחב טופולוגי לא תמיד קיים מושג ההתכנסות - צריך מטריקה בשביל זה (כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, אבל לא ההיפך). אז האם בהגדרה של יריעה (manifold?) ב- 1 התכוונת לומר "מרחב מטרי", או שב- 5 יש הגדרה לא כל כך מדוייקת של מרחב טופולוגי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהיותי מודע (באופן חלקי בלבד, כפי שאפשר לראות) למגבלות המדיום, לא ניסיתי לתת הגדרה מלאה של מרחב טופולוגי, אלא לרמוז לתכונה המשמעותית ביותר שלו. אפשר להגדיר התכנסות בכל מרחב טופולוגי (סדרה x_n מתכנסת לנקודה x אם כל סביבה פתוחה סביב x מכילה כמעט את כל אברי הסדרה). נכון שלא תמיד הגבול (אפילו אם קיים) הוא יחיד, אבל גם לזה יש עצה: לדרוש מהמרחב שיקיים תכונות הפרדה (כגון תכונת האוסדורף). יריעה (סתם) היא מרחב טופולוגי (ללא מטריקה), ובאלה עוסקת השערת פואנקרה. אפשר לעבור ליריעות-רימן מטריות, אבל זו כבר אופרה אחרת. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |