בתשובה לד. פר, 20/11/02 23:04
לגבי הדוגמא - 107997
עוזי ו. • בתשובה לד. פר יום ה', 21/11/2002, 1:15
למה בסעיף ט' "צריך להתקיים" מה שכתוב שם (שהוא לא נכון בעליל)?
לגבי הדוגמא - 108005
ד. פר • בתשובה לעוזי ו. יום ה', 21/11/2002, 1:45
איני בטוח שהבנתי את השאלה.
אנסה לענות לפי מה שאני חושב שהבנתי.
אם {|k>} בסיס אורתונורמלי של המרחב, אז האופרטור:
Sum({k})[|k><k|]
צריך להיות שווה לאופרטור היחידה (זו בסך הכל הצגה של הוקטור לפי הבסיס {k} ). איני זוכר אם הפיסיקאים קוראים לזה "שלמות" או "סגירות" או ווטאבר, אבל משתמשים בזה כאילו אין מחר.

בדוגמא שנתתי, זה אכן שווה לאופרטור היחידה ביחס ל-L2, אך לא ביחס לפונקציות החורגות מ-L2 כדוגמת פונקציות הדלתא (בכוונה נמנעתי שם מלהזכיר פונקציות דלתא במפורש, אבל זה נכנס בדלת האחורית בטענה ב').

ההשוואה לאפס היתה מתחייבת אם אופרטור המיקום היה "כשר" כי אז מדובר במכפלה פנימית של פונקציות עצמיות השייכות לע"ע שונים.

אם החלק הראשון של טענה ט' היה נכון, בהחלט הייתי מצפה שגם החלק השני יחזיק.

עניתי?
לגבי הדוגמא - 108014
עוזי ו. • בתשובה לד. פר יום ה', 21/11/2002, 6:34
בדוגמא, אתה מסביר שכל פונקציה (אינטגרבילית) אפשר לכתוב כטור פורייה בעזרת הבסיס (sin(nx. ההתכנסות תהיה בנורמה המתאימה (ולא בהכרח התכנסות נקודתית בכל הקטע).
בסעיף ט', לא הבנתי האם x1,x2 הם מספרים או הפונקציות הקבועות המתאימות, ולמה סתם שתי פונקציות צריכות להיות אורתוגונליות זו לזו.
לגבי הדוגמא - 108031
ד. פר • בתשובה לעוזי ו. יום ה', 21/11/2002, 10:44
האבחנה בין ההתכנסות בנורמה להתכנסות נקודתית אכן חשובה כאן. אם לא מתעקשים להתיחס לאופרטורים כמו מדידת המיקום כאל שווי סטטוס לאופרטורים כמו מדידת האנרגיה, ההתכנסות בנורמה מספיקה בהחלט. ההתעקשות, לעומת זאת, מובילה לשעטנז, ומספקת את תרועת הפתיחה לקירקס.

הדרישה מאופרטור של מדידה "אמיתית" היא שהשפעת המדידה תהיה קריסה של פונקציית הגל אל תת המרחב העצמי השייך לערך העצמי שהתקבל במדידה (הרחבות ועידונים ניתן לקרוא במאמרים של ירדן ניר, וזו הזדמנות נאותה לומר לו מילה טובה על הפרוייקט), ושההיטלים על תתי המרחב העצמיים של ע"ע אחרים יתאפסו. ניתן גם לנסח את הדרישה בצורות אחרות, אבל כדי לקבל עקביות של התורה עם הניסוי, היא צריכה להכנס בצורה זו או אחרת.

לטענת סמילי, מדידת המיקום היא מדידה אמיתית במובן הנ"ל לא פחות ממדידת האנרגיה (לדוגמא). מאחר והע"ע של מדידת המיקום מצופים באופן טבעי להיות ערכי x בקטע, אזי x1,x2 בדוגמא שנתתי הם ערכים עצמיים (מספרים בין אפס לפיי) היכולים להתקבל כתוצאה במדידת המיקום, ומתוך הדרישה עבור אופרטורי מדידה שתוארה בפיסקה הקודמת, צריכים להיות להם מצבים עצמיים מתאימים |x1> , |x2> (אורתוגונליים, כשהע"ע, כלומר הנקודות, שונים). מאחר ומדובר בקבוצת ע"ע מעצמת הרצף, תנאי האורתוגונליזציה הבא בחשבון הוא:
<x1|x2> = Delta(x1-x2)
כעת, כדי שנוכל להשתמש בתוצאות מההצבה למשוואת שרודינגר לצורך ניבויים פיסיקליים, יש צורך לייחס פונקציית גל לכל מצב שהוא. מהמצב |x0> אנו מצפים ללוקאליזציה מלאה של פונקציית הגל בנקודה x0 (כלומר: הסתברות 1 למצוא את החלקיק שם והסתברות אפס למצוא אותו בכל נקודה אחרת). לכן פונקציית הגל המתאימה למצב זה תהיה
Delta(x-x0)
ודאי הבחנת שיש פה בעיה, כי אם מעונינים בריבוע הערך המוחלט של פונקציית הגל, ניתן ברגולריזציות מסוימות "להחליק" את הענין, בעוד שגישות אחרות מובילות להתבדרות, וזה אנלוגי, ולא במקרה, לאותו טור מתנדנד שקיבלנו בדוגמא. בכל מקרה, אנו נדרשים בשלב זה להפליג מנמל הבית הבטוח של המתמטיקה "המסודרת" לים הפרוע של ההסברים התמוהים (והלינק של easy בהחלט לענין).
עבור מצב כלשהו |a> , שפונקציית הגל המיוחסת אליו היא a(x) , ניתן לבצע (ובאופן עקבי!) את ההתאמה:
a(x) <=> <x|a>
כלומר: הערך של פונקציית הגל בנקודה שווה להיטל המצב על הנקודה.
זה אמור להסביר את הרישום בטענה ב' (בדוגמא ההיא), אלא ששם הולכים בכיוון ההפוך: קודם מוצאים את פונקציות הגל מתוך משוואת שרודינגר (הסינוסים הרשומים), ואז מתאימים אותן למצבים העצמיים של האנרגיה.

ומכיון שהגעתי עד הנה, אוסיף כמה מילים לגבי "הדוגמא":

הטענה המרכזית, שממנה נגזר כל ההמשך, ושעליה ציפיתי מסמילי לחלוק, היא טענה ד' (הניסוח קצת דפוק, אבל הרעיון שלה מובן).
היא גם קשורה לשאלתך הקודמת כי נכונותה קובעת אם האופרטור שתארתי:
Sum({k})[|k><k|]
שווה לאופרטור היחידה, או רק להיטל על תת מרחב.
אם סמילי היה חולק על טענה זו, הטיעון היה ממשיך כך:

א'. קיים מצב |f1> שאינו נפרש ע"י קבוצת המצבים העצמיים של האנרגיה.

ב'. ניתן לייצר ממנו מצב |f> אורתוגונלי ל"תת המרחב העצמי של האנרגיה" ע"י חיסור ההיטל על תת מרחב זה.

ג'. מטענה א' מתחייב כי |f> אינו אפס.

ד'. אופרטור האנרגיה ניתן לרישום באופן כללי כך:
E~ = Sum({a})[Ea|Ea><Ea|]
כאשר הע"ע Ea ממשיים (אם משתמשים בזה כהגדרה, "עוקפים" את שאלות ההרמיטיות והקומפקטיות והליכסון).

ה'. מתקיים‏1:
E~|f> = 0
ולכן |f> מצב עצמי של E~ השייך לע"ע 0.

ו'. משוואת שרודינגר (המתאימה ל"דוגמא" הספציפית) עבור מצבים עצמיים של האנרגיה היא:
const*f"(x) = Ea*f(x)

ו'. מכאן מתחייב שב"דוגמא" הספציפית שלנו:
f(x) (= <x|f>) =0
(בשל תנאי השפה באפס ופיי).

ז'. טענה ו' סותרת את טענה ג'.

‏1 ניתן לטעון שהטענה בעייתית ושאופרטור האנרגיה בהגדרתו בטענה ג' הוא רק צימצום ל"תת המרחב של האנרגיה" ואינו תופס מחוץ לו. למעשה גם אפשר כאן לטעון למעגליות, ושכפירה בטענה ד' שקולה לכפירה בטענה ד "המקורית".
משמעות הכפירה היא שיש מצבים שלא ניתן לבצע עליהם מדידת אנרגיה. אחד מחברי הטובים טוען שיש שלושה סוגי פיסיקאים שיסכימו לחיות עם זה:
אהבלים גמורים,
שאקלים יצירתיים סטייל הוקינג,‏2
אהבלים גמורים שמחזיקים מעצמם שאקלים יצירתיים סטייל הוקינג.

‏2 אלה גם יביאו נימוקים כבדי משקל שיתמכו בטענותיהם.
(וציטוט חפשי מתוך "שלמה המלך ושלמי הסנדלר": "אם בין דברי חכם ובין דברי טיפש כאילו אין הבדל, הבדל בכל זאת יש...").
שתי נקודות: 108039
סמילי • בתשובה לד. פר יום ה', 21/11/2002, 11:33
1. כמו שהסברתי, במעבר לרצף עוברים מהסתברות לצפיפות הסתברות (מה שאמור לחסוך לך את ה"בעיה").

2. אופרטור מדידה אמור להיות Complete.
שתי נקודות: 108051
ד. פר • בתשובה לסמילי יום ה', 21/11/2002, 12:22
2. אז אם אני מבין אותך נכון, אתה מסכים עם טענות ד ו- ד' (המקורית, והמחודשת). מכאן אני מסיק שהמחלוקת בינינו (בדוגמא הנתונה) היא לגבי התאפסות הטור. אני בכיוון?

1. עדין, גם כשמאמצים את הגישה שלך בתור הנחת עבודה, אם המדידה נתנה את הערך x8 ואם יש לו מצב עצמי מתאים, ואם החלקיק נמצא באותו המצב (ברגע הקריסה, נניח), נצפה שכמה שלא נקטין את "החלון" סביב x8, עדין ההסתברות שהוא ימצא (ברגע הקריסה) בתחומי החלון תהיה 1. זה לא מה שאתה טוען כל הזמן? מהי אם כך פונקציית הגל שהיית מיחס למצב העצמי של x8 ?
שתי נקודות: 108117
סמילי • בתשובה לד. פר יום ה', 21/11/2002, 15:36
1. לא, המחלוקת ביננו היא על הצורך לתחום את המצבים העצמיים, ועל התוצאה ברת מניה שצורך זה גורר *תמיד*.

3. "פונקציית גל" היא ההיטל של המצב על המצבים העצמיים של אופרטור המרחב, במקרה שהמצב הוא |x8> אז פונקציית הגל תהיה <x|x8> שהיא פרופורציונאלית לדלתא של דיראק (בהנחה שהמרחב רציף).
דגימה של מקום 108250
עוזי ו. • בתשובה לד. פר יום ו', 22/11/2002, 5:51
אני מנסה (שוב) לפענח את מה שאתה טוען. אנא הכחש אם יש צורך.

פונקצית הגל היא פונקציה במרחב L2 על אוסף המצבים האפשריים. מדידה "אידיאלית" מחזירה ערך-עצמי של אופרטור המדידה, ובאותו זמן מקריסה את פונקצית הגל למרחב העצמי של הערך הזה. זה קורה, למשל, כשמודדים אנרגיה (או ספין), כי יש להם ערכים דיסקרטיים (שניתן להבחין ביניהם).

לעומת זאת, כשמודדים מקום, לכל ניסוי יש מגבלות של דיוק (כי אוסף הערכים האפשריים הוא רציף), ולכן לא קיימת מדידה "אמיתית" של מקום. כתחליף, אפשר להניח שמודדים שאלות כן/לא על קופסאות קטנות, ומדידה כזו מקריסה את פונקצית הגל למרחב מתאים (מן הסתם, סכום המרחבים העצמיים המתאימים לערכים שבקופסא, מה ששקול לצמצום הפונקציה לקופסא הזו).
דגימה של מקום 108263
ד. פר • בתשובה לעוזי ו. יום ו', 22/11/2002, 10:59
להוציא אי אלו פוטנוטס, נראה לי שהבנת את טענותי.

מרחב פונקציות הגל הוא L2, כל בסיס אמיתי בו חייב להיות בן מניה, וכל האופרטורים חייבים להיות ניתנים להצגה בבסיסים אלו.

הבעיה במדידת המיקום אינה רק ענין של מגבלות הניסוי‏1, אלא בילט אין לתוך התורה (ומהסיבה שאתה ציינת): הכנסת פונקציות ואופרטורים שאינם ב-L2 בהכרח פותחת פתח לכל מיני תוצאות מפוקפקות (ואני מקוה שמספר הדוגמאות שטיפלתי בהן מעבירות לפחות את "ההרגשה" של הרעיון). לכן יש למצוא שיטות רגולריזציה להחזרת העסק למוטב. חלוקה לקופסאות קטנות היא אחת משיטות אלה, אם כי אין חובה להגדיר מראש את גודל הקופסאות ואת מספרן (וכדאי לזכור שמותר לנו מספר בן מניה של קופסאות גם על קטע סופי).אין גם חובה להגדיר מראש מה הן "נקודות המרכז" של הקופסאות, כך שא-פריורי אנו מאפשרים רצף של תוצאות אפשריות (הסבר: ניתן, למשל, לבנות סביבה קטנה כרצוננו סביב הערך שהתקבל בפועל, ואח"כ לחלק את יתרת המרחב בצורה שרירותית, ביודענו שלאחר הקריסה פונקציית הגל תחומה לאותה סביבה קטנה, אך שייכת ל-L2).

ראה גם את תשובתי לשאלתך בתגובה 108261

‏1 פיסיקה היא מדע ניסויי. לא ניתן להכריע בין שתי תאוריות, כל עוד ההבדלים בפרדיקציות שלהן נמצאים מעבר ליכולות הניסוי (הסמנטיקה של סמילי לגבי ההבדל בין "מודל" ל"תאוריה" ממש לא מדברת אלי).
שוב L2? 109109
סמילי • בתשובה לד. פר יום ב', 25/11/2002, 15:52
על בסיס "פיסיקה היא מדע ניסויי. לא ניתן להכריע בין שתי תאוריות, כל עוד ההבדלים בפרדיקציות שלהן נמצאים מעבר ליכולות הניסוי", לא ברור לי איך הבנת שההבדלים בין מודל לתיאוריה הם סמנטיים, משום שהם לא.

מעבר לכך, בהחלט ניתן (ואף חיוני) להכריע בין שתי תיאוריות שנותנות תחזיות שונות, גם ללא יכולת אמפירית, הרי על כל תיאוריה אפשר להוסיף אין סוף (בשבילך, בר מניה) תיאוריות נוספות שנותנות בדיוק את אותה תחזית. ואני שוב שואל אם שמעת פעם על התער של אוקהם? אבל, זה *בהחלט* לא קשור להבדל בין מודל לתיאוריה.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות