 |
|
 |
||
|
||||
 |
נתקלתי היום במקרה בעותק ששמרתי של שיחה שלי עם מישהו על ההגדרה של האפס (הוא טען שהוא לא מוגדר, אני טענתי שכן). השיחה הזו התנהלה לפני שהתחלתי ללמוד מתמטיקה בצורה מסודרת, וקיוויתי שאחרי שנתיים-שלוש אני אוכל להבין מה הלך שם. מכיוון שלא הצלחתי גם היום, אני מעלה ציטוטים נבחרים ממנה כאן בתקווה שמישהו יוכל לעזור לי: הוא: "מאז (שהמאיה השתמשו באפס ג.א.) ניסו גדולי המתמטיקאים למצוא ביטוי לאפס. הבעיה הייתה, ונשארה, בעצם ההגדרה. המתמטיקה אינה סובלת מתן מספר לאפס, משום שמספר, ע"פ אקסיומות האריתמטיקה, הינו ערך, ואפס הוא נטול ערך...לא נייטרלי" אני: "באותה מידה אתה יכול להגיד שהמתמטיקה שוללת את הגדרת הקבוצה הריקה" הוא: "כאן ההבדל. קבוצה ריקה הינה ביטוי נייטרלי שמבטא חוסר ערך מבלי לתת לו ערך מספרי. אפס הינו ביטוי מספרי, ולכן חייב להיות בעל ערך. ההשלכות לביטוי חסר ערך הינן מרחיקות לכת מכדי להכנס אליהן עכשיו" אני: "כן, אז מה גודל הקבוצה הריקה?" הוא: "גודל של קבוצה ריקה הוא כמו גודל של קבוצה בעלת איבר אחד וזו אחת מאקסיומות היסוד בנושא" אני: "אתה אומר שגודלה של הקבוצה הריקה הוא 1?" הוא: "לא. אני אומר שהגודל שלה שווה שלגודל של קבוצה בעלת איבר אחד" אני: "מה הגודל של קבוצה בעלת איבר אחד?" הוא: "ערך קבוע שמסומן לרוב באות הלועזית T, אבל זה משתנה." אני: "רגע, איך אתה מגדיר גודל של קבוצה? מספר האיברים בתוכה?" הוא: "לא. גודל של קבוצה הוא המידה שלה למערכת צירים מסויימת שכמות הצירים בה נע בין 3 לשואף לאינסוף. מדובר כאן על נפח מורכב. חבל שאתה גורר את זה למתמטיקה של קבוצות, כי היא מסובכת בהרבה ממה שאתה מכיר" אני: "אתה מגדיר קבוצה בעזרת מרחב? זו גישה מעניינת לנושא." הוא: "זו הגישה היחידה. מתמטיקה של קבוצות נובעת ממתמטיקה של מערכות צירים מורכבות. כדאי לקרוא את הספר של ג'ון ווילקינס "קבוצות ומערכות צירים", הוא מקיף מאד בנושא, או של פרופ' צ'אן מאוניברסיטת טוקיו, שהיה הראשון שהגדיר קבוצה. The discovery of a century עד כאן. אני מנחש שכשהוא דיבר על "גודל של קבוצה הוא המידה שלה" הוא התכוון למידה של קבוצה ע"פ תורת המידה, אבל לא ברור לי מה עניין 3 הצירים או מספר צירים ששואף לאינסוף (מה זה? הכוונה למרחב וקטורי אינסוף ממדי?) הרי מידה אפשר להגדיר גם בלי שתהיה לנו מערכת צירים.Hikuri Chan". -------- עוד לא ברור לי העניין עם "גודל של קבוצה בעלת איבר אחד", ולמה זה גם הגודל של הקבוצה הריקה. את הספר של צ'אן ואת צ'אן עצמו חיפשתי ולא מצאתי. הצלחתי למצוא ג'ון ווילקינס (John Wilkins) אחד שהתגלה כנמנה על מייסדי החברה המלכותית. האם אליו הכוונה? גם בספר המדובר שלו לא נתקלתי. מישהו יכול לעזור? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
תנסה לקרא על "קבוצה בעלת איבר אחד" בדיון 2408 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נשמע מוזר מאוד. אפשר לדעת מי הדובר? (כלומר, מתמטיקאי? פילוסוף? איזה תואר?...) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עד כמה שידוע לי, בזמן השיחה לא הייתה לו השכלה אוניברסיטאית במתמטיקה והוא התבסס על עבודה שהוא עשה על מושג האפס במתמטיקה. מצד שני, ההיכרות שלי איתו הייתה שטחית מאוד, אז ייתכן שאני טועה. אני בספק אם הוא ניתן לכינוי "פילוסוף". בשיחה היחידה שלי על מתמטיקה עם תלמיד לתואר שני בפילוסופיה נתקענו בשלב של הקבוצה הריקה וקבוצה של איבר אחד. בן שיחי סירב לקבל את הנחת הקיום של קבוצה ריקה, ואמר שאין הבדל בין קבוצה של איבר אחד ובין האיבר שהיא מכילה (כלומר למשל {1}=1). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אח של אייל כבר אמר מה שיש לומר בנושא זה (אם כי יש להניח שאת העיקר ידעת - האפס מוגדר בתורת הקבוצות בתור הקבוצה הריקה. (הגולשות זה כבר עניין אחר...). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טעות בידך האייל האלמוני, האפס אינו מגדר בתורת-הקבוצות בתור הקבוצה-הריקה, אלא כקרדינל של הקבוצה הריקה. הסימון המקובל הוא: 0 = |{}| |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למיטוב ידיעתי, אפס בתורת הקבוצות מסומן באות היוונית פי (אינני יודעת איפה היא במקלדת) - שהיא סימן הקבוצה הריקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למיטב ידיעתי הסימון שבו משתמשים עבור הקבוצה הריקה אינו פי אלא סימן אחר, דומה לו (שמקורו נורווגי על פי שמועה ששמעתי אבל אני לא ממש יודע). גם ויקיפדיה תומכת בי: ובכל מקרה, אפס מסמנים גם בתורת הקבוצות עם 0, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין, המרצה שלי קרא לאות הזו פי, על אף שהוא סימן אותה כפי שהיא מופיעה בוויקיפדיה. ובמסגרת הגדרת המספרים בתורת הקבוצות (פי, הקבוצה המכילה את פי... וכו') - האות (שהוא קרא לה) פי סימנה את המספר אפס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא יהיה המרצה הראשון שקורא לסימון הזה פי. כמובן שאין שום חשיבות של ממש לשאלה אם זו פי או לא, ואין סיבה אמיתית שמרצים יטרידו את עצמם בזה. זה תפקידם של הסטודנטים הנודניקים לתואר ראשון שמחפשים משהו שהם יודעים יותר טוב מהמרצה... בכל הנוגע להגדרת המספרים, נראה לי שאתה מדבר על מה שהתייחסתי אליו למטה: הבניה הפורמלית של המספרים הטבעיים בתור קבוצות. במקרה הזה 0 יסומן כפי, אבל 1 יסומן כ-{פי}, אז די ברור ההבדל שבין "לסמן את אפס עם פי" ובין "לסמן את אפס עם 0" ולמה אלו שני סימונים שונים ברעיון שלהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה. אז איך הנודניקים מכנים את האות הרלוונטית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי מושג. אני פשוט קורא לה ''הקבוצה הריקה''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהוא כיוון לבניה של המספרים הטבעיים באמצעות קבוצות, זו שבה אפס הוא {}, אחד הוא { {} } וכו'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קודם כל קיים מושג שנקרא "קרדיניליות" שפירושו הוא בדיוק מספר האיברים בקבוצה. הקרדינליות של הקבוצה הריקה הוא אפס. יתרה מכך, קיימת בנייה של האריתמטיקה על יסוד תורת הקבוצות - ולפי הבניה הזו, הקבוצה הריקה *מוגדרת להיות* אפס. אבל כמובן שזו לא הגישה הנכונה, ו"הגישה היחידה" היא מערכת צירים מורכבות. לגבי צ'אן אז שמתי לב לעובדות הבאות: א. גם אני לא הצלחתי למצוא אותו ב. "הראשון שהגדיר את הקבוצה" - זה מנוגד לידע המקובל, בלשון המעטה1. המסקנה שלי הוא שפרופסור צ'אן מאוניברסיטת טוקיו הוא המקבילה לדונה צ'אנג מסיינפלד. אם הוא היה פרופסור צ'נגסטין מלונג איילנד, הטיעון היה הרבה פחות מרשים. 1 מה שהיה באמת זה שאני וקנטור היינו בחופשת סקי בשוויץ, ואני הפניתי את תשומת ליבו לקבוצה של גולשות שוודיות. "קבוצה של גולשות? מעניין" אמר קנטור. והיתר היסטוריה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסיפור עם קבוצת הגולשות מתפרסם כאן לראשונה, לא? אחלה סקופ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. את מושג הקרדינליות הכרתי כבר בזמן השיחה, וגם בבניה של המספרים בעזרת קבוצות כבר נתקלתי מאז השיחה, ולכן אני נוטה לייחס את השיחה הזו לדיון הנוכחי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בזמן שאתה הסתכלת על הגולשות הוא הסתכל על האלכסון שהן גלשו עליו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה באמת מנסה לפענח את השיחה הזו (למה?), אני חושב שאני יכול להקל עליך: אני לא מוצא בטענות של בן-שיחך אפילו אחת שתהיה מקובלת כנכונה על איזשהו מתמטיקאי - החל מ"מספר הינו ערך" וכלה באנשי המסתורין ווילקינס וצ'אן. או שהוא ניסה להרשים אותך בידיעות שאין לו, או שהוא באמת חשב שמשהו מהדברים הללו הוא נכון - לא יודע, ולא הייתי מתאמץ מדי לברר. אולי אסף שפריר ידע לומר שהיקורי צ'אן ביפנית זה "עבדתי עליך". אם אתה מתעניין בהתפתחות ההיסטורית של מושג האפס, מספר, וקבוצה, אני יכול להמליץ על כמה ספרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. נראה לי שעיקר ההתעניינות שלי בשיחה הזו הוא מטעמי נוסטלגיה, ואולי גם מהרצון להשתכנע שהבלון הנפוח שחשדתי שדיברתי איתו היה בלון נפוח. קראתי ספר בשם ''אפס'' של צ'ארלס זייף שאמר כמה דברים נחמדים בהתחלה והדרדר מאוד בהמשך. אשמח אם תמליץ על דברים יותר מעניינים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על הרקע של מושג האפס, מושג הקבוצה ומושגים אחרים אפשר לקרוא בספרים על ההיסטוריה של המתמטיקה. נדמה לי שהזכרתי כבר באייל את הספר של Berlinghoff ו-Gouvea Math Through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others הוא לא מאוד מעמיק אבל ממש ממש טוב. בתורת המספרים, הספר הכי יסודי שאני מכיר הוא Number Theory: An Approach Through History של Andre Weil, אחד מהמתמטיקאים החשובים במאה ה-20 שבמקרה התעניין גם בהיסטוריה. אל תתבלבל עם ספר אחר שלו, Basic Number Theory, שהוא anything but. (לא הצלחתי למצוא תרגום הולם ל-anything but בעברית).ויש גם את זה: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה שידידך אכן מפרש "גודל" במשמעות של תורת המידה (כלומר, הכללה של נפח או שטח, ולא מספר האיברים). זה מסביר את הטענה שלקבוצות סופיות יש אותו גודל כמו הקבוצה הריקה. גם הקשקוש על מספר הצירים מצביע בכיוון. על "פרופ' צ'אן מטוקיו" לא שמעתי, אבל כל ספר שהכותרת שלו היא "The Discovery of a Century" מצדיק התייחסות תחת הדיון הזה. אגב, לפעמים קשה לסטודנטים לקבל את ההבדל בין הקבוצה הריקה, לבין הקבוצה שהאיבר היחיד שלה הוא הקבוצה הריקה (כי "בסופו של דבר" שתיהן ריקות). עד שאתה מראה להם שקית ריקה ומניח אותה על השולחן הריק. (מה יש על השולחן? ובשקית?) |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |