 |
|
 |
||
|
||||
 |
הסבר "בר-הבנה ללא מתמטיקאים" על הוכחת משפט גדל, ניתן לקרא בספר: .Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid by Douglas R. Hofstadter הספר מרתק לא רק בגלל משפט גדל, ובהחלט מבצע קישורים (אמנם אסוציאטיביים ברובם, אך במוצהר!) בין משפט גדל לתחומים מחוץ למתמטיקה (ממערכות סטריאו בהן אפשר להשמיע כל תקליט, ועד ביולוגיה מולקולרית).סתם למען ההוגנות, על הספר שמעתי מפי אלון (אז בתפקיד מתרגל לאלגברה לינארית). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נחמד לשמוע, אני אכתוב ל-DRH ואדרוש תמלוגים :-) האמת שחשבתי לתת רשימת-קריאה במאמר, אבל כבר לא היה מקום, אז הנה. 1. הספר של טורקל פרנזן שהזכרתי במאמר: Gödel's Theorem. An Incomplete Guide to its Use and Abuse הגיע אל פתח דלתי אמש, והספקתי לקרוא רק את מחציתו (תוך כדי נענועי-עריסה מתמשכים, חוויה מענגת מאוד). בהקשר של המאמר, זה בלי שום ספק הספר שהכי שווה לקרוא. הוא מציג באופן שקט וברור בערך את כל סוגי הבניינים שנבנו על גבו של גדל המסכן, ובדרך מסביר די בבהירות את מהות המשפטים ואף את הוכחתם - בלי להיכנס לפרטים, אבל גם בלי לעשות להם עוול. לכו לאמזון וקנו.2. את GEB הזכרתי כבר כל-כך הרבה פעמים באייל שגם לי כבר נמאס. 3. יש ספר ידוע למדי על משפט גדל של Nagel & Newman, עם מבוא מאת הופשטטר (שצורף, כמדומני, רק באחת ההוצאות המאוחרות). רבים ממליצים עליו, אבל אני לא קראתי אותו. 4. אחד הספרים הנגישים ביותר מבין אלה שבאמת כוללים את כל החומר, כולל המשפטים היסודיים של גדל, צ'רץ', טרסקי וטיורינג, הוא Computbability and Logic של Boolos, Burgess & Jeffrey. אחד מהשלושה, נדמה לי Burgess, ערך ושיפץ את הספר המקורי של שני האחרים, ולכן כדאי מאוד להקפיד להשיג את הספר הזה ולא את המקורי, בעל שני מחברים בלבד. מומלץ מאוד. 5. יש ל-Martin Davis ספר קטן בשם Computability and Unsolvability. זה לא ספר שקל לקרוא, בין היתר כי הוא משתמש בסימונים מסורבלים, אבל הוא בהחלט מעמיק. יתרון נוסף שלו הוא שיש לו בנספח (בהוצאות חדשות יותר) הוכחה שלמה, ממש מאפס, של המשפט המופלא של מטייסוויץ' על אי-הפתירות של הבעייה העשירית של הילברט. זה יופי של משפט, וההוכחה שלו (אחרי סדרה של פישוטים שעברה) היא ממש קלה ופשוטה לקריאה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
5. מהי הבעייה העשירית של הילברט? מה המשפט של מטייסוויץ' טוען? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו אלון יבוא ויגיד עוד פעם שאני לא יודע לתת לינקים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא יודע לתת לינקים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הערך בויקיפדיה: הילברט ביקש למצוא אלגוריתם שיקבע האם למשוואה דיופנטית פולינומיאלית נתונה יש פתרון במספרים טבעיים (משוואה דיופנטית היא משוואה בעלת מקדמים שלמים). מטיישביץ' הוכיח שלא קיים כזה אלגוריתם. "כשהילברט הציג את הבעיה, ב-1900, הוא ביקש למצוא את האלגוריתם המדובר. הרעיון שייתכן שאין אלגוריתם כזה, ועוד יותר מכך, הרעיון שאפשר *להוכיח* שהאלגוריתם אינו קיים, היה בלתי נתפס. רק בשנות השלושים, לאחר עבודתו של גדל, החלו לשקול ברצינות גם את האפשרות הזו" (אני מקווה שהאזכור הזה עומד בסטנדרטים של אלון...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מישהו ציין בפני (בדואל, ובצדק) שיש גם ספרים בעברית: "משפטי-גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה" של ארנון אברון (מסדרת האוניברסיטה המשודרת), וכן תרגום לעברית של ספרם של נאגל וניומן שהזכרתי - "משפט גדל". את שניהם לא קראתי. נדמה לי שהנושא נדון גם אצל א"ה פרנקל ב"מבוא למתמטיקה", אבל אני לא בטוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את הספר של אברון קראתי והוא נראה לי כמו סיכום מוצלח מאוד של הרעיונות העיקריים שפגשתי בשנת הלימודים הראשונה שלי (בעיקר בתורת הקבוצות ובלוגיקה, כמובן). למשפטי גדל הוא מגיע רק בשני הפרקים האחרונים, והוא מטפל בנושא בצורה לא רעה - מציג את הנוסח המתמטי המדויק של המשפט, מסביר את המרכיבים שלו ויוצא נגד הפרשנויות מרחיקות הלכת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את הספר של נייגל וניומן קראתי בעברית ובאנגלית. מדובר בספר קצר מאוד, שמציג את ההוכחה מאפס ידע, עם קצת רקע היסטורי וקצת מסקנות. הוא לא רע, אבל קצת מאכזב: הוא מראה מה זה מערכת פורמלית, ונותן את הטעם, ואז מראה פורמלית את הצעדים הראשונים בהוכחה (המספור) - אבל אז עובר לתיאור ההוכחה בנפנופי ידיים. קצת חבל, כי לדעתי אחרי שהוא בנה את הרקע הוא כבר לא רחוק מלהציג את ההוכחה הפורמלית במלואה (או כמעט במלואה - נניח, ברמה של GEB) - ומבחינת מה שזה מקנה לקורא, ההבדל הוא של שמיים וארץ. הוא גם גרם לי לפדיחה קטנה. ב-2000 נערך באוניברסיטת חיפה כנס פילוסופי לכבודו של סול קריפקה (שאגב, הרצה בכנס על הצגת משפט גדל לסטונדטים). בסוף לימודי מדעי המחשב שלי ולקראת לימודי הפילוסופיה, החלטתי לבקר. מעיון בתוכניה גיליתי שנייגל הוא המרצה הראשון שם, ודיווחתי על כך לטל כהן. טל מיהר לצייד אותי בעותק של הספר, שאנסה להחתים עליו את נייגל. בהפסקה הראשונה ניגשתי אליו, וביקשתי את חתימתו. בעוד קריפקה צוחק לצידו "I can't believe this is still happening to you", אמר לי תומס נייגל, גם הוא אחד מכוכבי הפילוסופיה במאה העשרים, שהוא מוכן, אבל שאקח בחשבון ששותפו של ניומן לכתיבת הספר הוא ארנסט נייגל. אין קרבה משפחתית. אילו רק היה לי בתיק את העותק של טל של The Mind's I, והייתי יכול לשלוף אותו ולהחתים את תומס נייגל על "What is it like to be ba bat?"... באשר לספר של ארנון אברון בסדרת "האוניבסיטה המשודרת", כבר המלצתי עליו באייל המלצה נרגשת, ואני חוזר עליה. הוא לא מנסה בכלל להיכנס לפורמליזם, ולכן רק "מספר על" ולא "מראה את" - בערך באותה רמת פירוט של המאמר שלך. אבל הוא מגיע למשפט גדל רק בסוף, ובדרך מציג את הרקע ההיסטורי, החל ממשבר הגיאומטריות הלא-אוקלידיות. גם נייגל-ניומן וגם GEB עושים זאת, ובהחלט לא רע, אבל אברון עושה זאת בצורה לאין ערוך יותר יפה, מדויקת, ברורה ומרתקת1. והוא קצר, מתאים גם לנרתעי-מתמטיקה, ובעברית. 1 למי שלא מכיר את GEB, צריך לציין שאין בזה ביקורת של ממש עליו, ואברון בהחלט לא מייתר אותו: GEB הוא ספר עשיר, בלשון המעטה, והנושא הזה הוא לא החשוב שבו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחלה סיפור... אם אני זוכר טוב, What is it like to be a bat הוא מאמר מוצלח מאוד. אני לא מכיר דברים אחרים של תומס נייגל1, ולא היה לי מושג שהוא כוכב פילוסופיה. מעניין. יש לסול קריפקה הוכחה מעניינת, לא-שגרתית, למשפט הראשון של גדל. אי-אפשר להשתמש בה בשביל המשפט השני, אבל היא נותנת דוגמה למשפט לא-כריע ללא "התייחסות עצמית". גם המשפט של מטייסוויץ' נותן את זה, אבל כנראה שאצל קריפקה זה יותר פשוט. אני לא מכיר את ההוכחה, רק קראתי על קיומה, והזכרת לי ללכת ולחפש. שכנעת אותי לתור אחר הספר של אברון, זה נשמע כמו משהו שצריך שיהיה בבית. 1 דברים אחרים של ארנסט נאגל (נדמה לי שזה נאגל) אני דווקא כן מכיר, כמו המשפט היפה של נאגל-לוץ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן מאמר מצוין, אם גם הזכרון שלי לא משקר. טום (גם כך) נייגל פעל בהרבה תחומים של הפילוסופיה - המאמר הזה הוא בפילוסופיה של הנפש, ואוזכר בצדק בדיון הקוואליה - אבל אאל''ט עיקר תהילתו הוא דווקא בתורת המוסר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לקריפקה יש הכשרה מתמטית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכשרה? הוא מתמטיקאי מוביל. למיטב ידיעתי הוא המייסד - ואם לא, אז אחד המובילים - של תחום מרכזי בלוגיקה מתמטית - לוגיקה מודאלית (שמכניסה ללוגיקה את המושגים "הכרחי" ו"אפשרי"). אגב, מהלוגיקה המודאלית, נגזרת, אאל"ט, הלוגיקה הטמפוראלית (עם המושגים "תמיד" ו"לפעמים"). ללוגיקה הטמפוראלית יש שימושים מעשיים: היא מרכזית בתחום המגלגל מיליונים של אימות חומרה ותוכנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהמ... אני רואה שאני בפיגור כבד. נדמה לי שכאן הוא הרצה בעיקר בפילוסופיה, לא? (המסכן הזה שלא התקבל לאוניברסיטה העברית...) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, סביר להניח. מעבר לזה שהוא מתמטיקאי ידוע, אני לא יודע עד כמה הוא באמת נחשב גדול; ואילו בפילוסופיה, הוא בלי ספק נחשב גדול. באותו כנס הציג אותו עדי צמח, אם הבנתי נכון, כפילוסוף הגדול ביותר במאה העשרים; נראה לי שזו הגזמה, אבל לפחות בפילוסופיה של הלשון, בחצי המאה האחרונה, זו טענה סבירה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עדי צמח מעריץ את קריפקה הערצה כבדה. צריך להודות, שהוא תמיד הגיע להגזמות פרועות ביחס אליו - פרועות עד כדי גיחוך. אני זוכרת הרצאה של קריפקה (בודדת, לא במסגרת קורס), שבסופה נתנו זמן לשאלות. צמח היה השואל הראשון. הוא ניצל את האפשרות כדי לתת הרצאה מקוצרת משלו, שבה הזכיר את קריפקה בכל משפט ממש, וקרא לו "סול" בניסיון להוכיח קרבה לגאון המדהים. קריפקה, לעומת זאת, התחיל לענות לאחר שנשאלו כל השאלות, ענה לכולם חוץ מצמח, ולבסוף - כבדרך אגב - אמר - "Prof. tsemach said something also. I'm not sure what"... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו רק שאלה של טרמינולוגיה, אבל נדמה לי שלוגיקה מודאלית לא נחשבת לחלק מלוגיקה מתמטית. היא בוודאי ענף מרכזי בלוגיקה באופן כללי. (זה בכלל לא חשוב, כמובן, אם צריך או לא צריך להגדיר את סול קריפקה כ''מתמטיקאי''). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז אשמח לחדד את הטרמינולוגיה שלי: מה ההבדל בין לוגיקה באופן כללי ללוגיקה מתמטית? ואם אתה כבר כאן, האם בלימודי המתמטיקה שלך נתקלת בקריפקה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון משתמש ב''לוגיקה מתמטית'' לתאר את הלוגיקה המשמשת לתיאור המתמטיקה בכללותה. לוגיקה מודאלית שימושית לתיאור כל מני מערכות מתמטיות, כפי שכתבת, אבל לא לתיאור המתמטיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. אני חושב שהבנתי, אבל אם כן - לא ניסחת במדויק. לוגיקה מתמטית משמשת לתיאור המתמטיקה בכללותה, אבל היא עושה זאת על-ידי תיאור מערכות מתמטיות ספציפיות - מערכות שמעניינות מתמטיקאים. לוגיקה מודאלית שימושית לתיאור מערכת ש*אינה* מעניינת במיוחד מתמטיקאים (לא-לוגיקנים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יודע ממש מעט על לוגיקה באופן כללי (למשל, בלוגיקה מודלית נתקלתי ממש מעט פעמים, באורח לגמרי לא מקיף), וקשה לי להשיב על השאלה. בלימודי המתמטיקה שלי לא נתקלתי בקריפקה, אבל חלק ממש קטן מהם היה מוקדש ללימוד לוגיקה מתמטית - יותר מעניין לשאול אם אורי גוראל-גורביץ' נתקל בו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא זכור לי שנתקלתי, אבל: א) למרות שאלון מחזיק ממני בלוגיקה וקבוצות, זה לא ממש התחום שלי, לא כל שכן לוגיקה מודאלית. ב) יש לי זכרון נוראי לשמות של משפטים מתמטיים1 ול"מי עשה מה". למען האמת אני מופתע כל פעם מחדש כשאלון שולף איזה "על פי משפט גזונטהייט-מטיסביץ לכל..." 1 ולמעשה גם למשפטים עצמם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש הסברים לא רעים ב- http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/ מזכירים שם גם את C. I. Lewis ממציא הלוגיקה המודאלית, ואת David Lewis, פילוסוף מאוד חשוב בזכות עצמו שעסק רבות בבעיית ה conditionals וב- causality ונדמה לי שפיתח את "לוגיקת עולמות אפשריים". מהמעט שאני זוכר על קריפקה (וכבר לא נגעתי בפילוסופיה כשנה וחצי, אז לקחת בעירבון מוגבל) הוא תרם תרומה חשובה לא רק ללוגיקה אלא אף לבעיית "שמות פרטיים" (proper names) בפילוסופיה של הלשון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה זוכר נכון. קריפקה (בהקשר זה, אולי ''סול'') עסק הרבה בבעיית ''שמות פרטיים''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעקבות שאלתך, ישבתי וקראתי את הפרק האחרון בספר של בולוס, ברג'ס וג'פריז, העוסק בלוגיקה מודאלית. בעקבות זאת: 1. כבר כן נתקלתי בלוגיקה מודאלית במסגרת לימודי הלוגיקה-מתמטית (הלא פורמליים) שלי. 2. כבר כן נתקלתי בקריפקה בלימודי המתמטיקה (הלא פורמליים) שלי. 3. למדתי שלוגיקה מודאלית היא (גם) ענף (איני יודע כמה גדול, או חשוב) בלוגיקה מתמטית. 4. למדתי משפט של קריפקה, ואני יכול לאשר שהאיש מוכיח משפטים במתמטיקה. אם יש לו או אין לו הכשרה מתמטית אין לי מושג (יפתיע אותי אם לא, אבל זה לא משנה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה עיסוק יש ב"לא הכרחי" בלוגיקה מתמטית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אותו עיסוק שיש ב"יכיח" או "שקול": לוקחים ביטוי מהשפה המדוברת, במיוחד כזה בו אנשים עושים שימוש כשהם טוענים טענות, ומנסים לפרמל אותו. לוגיקה מודאלית מנסה לפרמל את "הכרחי ש-": ממציאים לזה קיצור (סימן של ריבוע), מחפשים אקסיומות שיביעו את הדרך בה משתמשים בו, ורואים מה קורה (אילו מין מודלים נוצרים, אילו מסקנות אפשר להסיק מהאקסיומות). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי לשאול מה פירוש ''לא הכרחי'', אלא איזה מין שימוש אפשר לעשות בו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני מבין את השאלה. אני יודע שאפשר לפרש את ''הכרחי'' כ''יכיח'' וכך לתרגם משפטים מלוגיקה מודאלית לטענות סטייל-גדל על יכיחות, אבל די ברור שלא זו היתה המוטיבציה לפיתוח התורה. פשוט, מנסים לבחון, בכלים פורמליים, ארגומנטים פילוסופיים (ישנים) על המושג ''הכרחי ש-''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |