בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 16/04/04 9:45
Everybody get one? Not bad for the first day! 213239
גיל לדרמן • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ב', 19/4/2004, 21:21
אם כבר פסים טכניים, דווקא את המושג של גבול נראה לי שאפשר די יפה ''לתפוס'' בלי שום אפסילונים ובלגנים. אני עוד זוכר איך המורה שלנו עשתה את זה בבית ספר - נתנה לנו לחשב גבולות של פונקצות רציונליות ע''י הצבה של מספרים גדולים ושימוש במחשבון. עד היום אני זוכר את הרגע שבו בתרגול החמישי בערך הבליחה בי לפתע המחשבה ''שתיים'' והנחתי את המחשבון. לא היה לי מושג מה זה אפסילון, אבל היה לי מושג לא רע מה זה גבול.
עד כדי ידיעותי המוגבלות, אני חושב שהתופעה הזו מאפיינת גם נושאים אחרים במתמטיקה. הדיוק הוא כמובן חיוני - אבל ההבנה והאינטואיציה מתלוות לפעמים דווקא לעירפול ולרשלנות.
Everybody get one? Not bad for the first day! 213332
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לגיל לדרמן יום ג', 20/4/2004, 9:16
כולנו למדנו גבול בצורה הזו - וגם כשמלמדים באמת מה זה גבול, רצוי להתחיל בצורה כזו. אבל העניין הוא שזה רחוק מלהיות מספיק. זה מסייע להבנה האינטואיטיבית, כן, אבל רחוק מלהשיג הבנה *אמיתית* של גבול. איך אפשר בצורה אינטואיטיבית לדעת מה הגבול של סינוס איקס חלקי איקס באפס? מחשבון?

זה נכון שיש לך מושג בהחלט לא רע של מה זה גבול, אבל רצוי שבנוסף למושג הזה, גם באמת תדע מה זה גבול. לטעמי האישי, אחד הדברים היפים במתמטיקה הוא היכולת לנסח בצורה מדוייקת וללא כפל משמעות מושגים שנראים מאוד ערטילאיים בתחילה. שלא לדבר על זה שבלי להבין את ההגדרה המדוייקת, קשה להבין את ההגדרה של רציפות, וכמעט בלתי אפשרי להבין את ההגדרה של רציפות במידה שווה, שבהם בכלל לא נוגעים בבית הספר.
Let X=X 213353
אלון עמית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ג', 20/4/2004, 11:52
דווקא עם מחשבון אפשר להעריך יופי את הגבול של סינוס איקס חלקי איקס... ואפשר אפילו לראות זאת מאינטואיציה גיאומטרית, בלי מחשבון.

כמובן שהכי טוב זה להביא את התלמיד למצב שהוא מבין גם את האינטואיציה, גם את ההגדרה הפורמלית, וגם את הקשר ביניהם.

ואתה לא ברצינות מציע לדון ברציפות במידה שווה בבית-ספר, נכון? זה מושג חשוב, אבל אם הכיתה ממש הבינה את מושג הגבול ונניח נגזרת, לדעתי השגת כל מה שצריך מהוראת מתמטיקה בתיכון. בכל מקרה, אסור ללמד יותר מדי דברים, בסוף מישהו יעלה על טנגנס חצי-תיטא וכל הפרק של זהויות טריגונומטריות יתמוטט, ואז אנה יבואו במשרד החינוך? (-;
Let X=X 213414
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לאלון עמית יום ג', 20/4/2004, 16:16
האמת, הדוגמא לא הייתה כל כך טובה, אבל הכוונה שלי הייתה שיש פונקציות ש*בלי* מחשבון כבר לא תצליח להבין אותן באופן אינטואיטיבי - דהיינו, במקום שתסתייע במחשבון כדי להבין "את העיקרון" (ובפונקציות רציונלית, אחרי שאתה מציב קצת במחשבון אתה כבר יכול לראות מייד מה הולך שם גם בלי מחשבון) אתה הופך לתלוי במחשבון. זו לא דוגמא טובה, כי אפשר, כפי שאתה אומר, לראות את זה עם אינטואיציה גיאומטרית, ומצד שני, כשאני זוכר כמה המרצה שלנו הסתבך כשהוא ניסה להראות את זה, אני לא בטוח שזה נכון לכולם.

אני ממש לא מצפה ללמד רציפות במידה שווה, זו התעללות בתלמידים מסכנים - אבל אני כן הייתי שמח אם היו נותנים כבר בבית ספר לתלמידים את הכלים הבסיסיים להבין מושגים כמו זה אם הם רוצים לנסות. כמו שזה עכשיו, תלמידים לא ממש מקבלים כלים בסיסיים, אלא לכל היותר כמה טכניקות אלגבריות, ומושג אינטואיטיבי כללי, שלא הכי יעזרו להם כשהם הולכים ללמוד אינפי באמת (לי, לפחות, זה לא עזר).

מה זה טנגנס חצי תיטא?
Let X=X 213445
אלון עמית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ג', 20/4/2004, 19:08
רק לעשות סדר, אני ממש נגד תלות במחשבון - בתיכון אימללתי את הבחורה שישבה לידי כשהחרמתי לה אותו ביד גסה כל פעם שרצתה לחשב משהו קטן‏1. אבל הדוגמה, כפי שאמרת, לא היתה מוצלחת. המרצה שלך הסתבך כשניסה להראות זאת? אז הוא לא התכונן. לא בסדר.

טנגנס חצי תיטא, הידוע יותר בשמו העממי טנגנס תיטא-חצי, הוא עובדה מוכרת ההופכת את הנושא של זהויות טריגונומטריות לחסר ערך, פחות או יותר. אם קוראים לטנגנס תיטא-חצי בשם t, אז קל לראות (תרגיל‏2) שסינוס תיטא וקוסינוס תיטא וכו' הם פונקציות *רציונליות* ב-t.

עכשיו אם מתקילים אותך בזהות טריגונומטרית מפחידה עם סינוסים וטנגנסים וקוסקנסים לרוב, במקום להתחיל לשבור את הראש איזו זהות להפעיל קודם ואיפה, אתה מגדיר את t כנ"ל, מחליף בקור-רוח את הכל בפונקציות רציונליות, כופל במכנים, מסדר באדישות והכל מתבטל - מש"ל. תרגיל מכני במקום חידה מחשבתית.

בקיצור, אם למדת בתיכון 5 יחידות (גם 4?) ולא סיפרו לך את זה, יש סיבה.

‏1 זה עבד, אגב. היום היא עובדת מצליחה בחברת היי-טק מוצלחת לא רחוק מכאן :-)

‏2 וגם כאן יש סיבה גיאומטרית פשוטה. פירוט ע"פ דרישה (על מי אני עובד).
Let X=X 213451
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לאלון עמית יום ג', 20/4/2004, 20:15
לא, נתקלתי בזה לראשונה באינטגרלים, וגם שם אני לא אוהב את זה. נכון, זה הופך את הפתרון לטכני לגמרי, אבל לרוב למשהו טכני מאוד מאוד מכוער. כמעט תמיד כשנותנים תרגיל בסינוסים וקוסינוסים יש דרך לפתור אותו שכוללת קצת מחשבה. להפוך את זה לרציונלי פירושו (לרוב, לפחות בתרגילים שאני ראיתי) לקחת את הדרך הארוכה והקשה במקום את דרך הקיצור הקלילה, סתם כי לא בא לך לחפש.

אבל אולי כשלא פותרים תרגילים שנבחרו מראש אלא מנסים לפתור בעיות, עדיף להשתמש בזה. לא יודע.
Let X=X 213481
אלון עמית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ג', 20/4/2004, 22:02
סתם שלא נשאיר משהו יפה בכיעורו - יש סיבה "אמיתית" ויפה לקיומו של ה-t הזה, והיא נקראת פרמטריזציה רציונלית של עקומים ממעלה 2 (בעצם, מגֶנוּס 0).
Let X=X 213579
ראובן • בתשובה לאלון עמית יום ד', 21/4/2004, 11:01
למרות שאני מכיר את ההחלפה, לא חשבתי אף פעם בכיוון של זהויות טריגונומטרית- נחמד. עד היום, כשהייתי נתקל בדבר כזה, הייתי כותב הכל כאקספוננטים ומפתח. מן הסתם העיקרון דומה.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות