בתשובה לאח של אייל, 20/05/16 12:34
 |
|
 |
||
|
||||
 |
א. ולמה מוצלח יותר לומר שהם חלק מעולם 3, ולא חלק מעולם 17, או עולם 14356, או עולם 4+3*i, או עולם פי בריבוע? מאותה סיבה בדיוק - כי אוקהם. ב. אם עקבת אחרי הטיעון שלי, וודאי הבחנת שאני מראה שוב ושוב שלעיגולים ומשולשים אין אינטראקציה עם עולם 1 (נניח שזה העולם הפיזיקלי). אתה מוזמן להצטרף לאתגר שהצבתי בתשובה לירדן - להראות לי מישהו או משהו שחווה אינטראקציה, ולו מדומיינת או נחלמת, עם מעגל מושלם. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
כשמתמטיקאי טוען "קיים משולש (מושלם!) שהיחסים בין צלעותיו הן 3:4:5", הוא טועה? אם אתה חושב שהטענה הזו נכונה אבסולוטית, אתה צריך את הקיום המתמטי. אבל היום אנחנו כבר לא שם, אנחנו מודרניים יותר, ויודעים לומר שה"קיום" הזה מתחיל מאקסיומות של גאומטריה, ואולי האקסיומות האלו שרירותיות. האקסיומות האלו קובעות את מושג הקו כ-postulation (יש מילה בעברית?). האם אפשר להרחיק לכת ולומר שגם את מושג הקיום הן קובעות כפוסטולציה? האם ה"קיים" הוא סמל ריק1? אתה מוכן להחליף את "קיים" במילה "ורוד", לומר "ורוד משולש שצלעותיו2...", ולהכחיש כל קשר בין הורוד הזה לבין המושג "קיים" האינטואיטיבי והיומיומי שלנו? אני לא יודע אם יש לי טיעון מוחץ נגד זה, אבל זה נראה לי קצת... נזירי. 1 ∃ מלשון Empty symbol. 2 או שמא "ורוד אבן שמחטיה הן SSSכיסא, SSSSכיסא ו-SSSSSכיסא", רק כדי למנוע אי הבנות... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי שבתוך הקונטקסט שלו הוא לא טועה. גם כשהרמיוני אומרת לרון ש"כרגע ראיתי את הארי עומד בחדר הכישוף המשולש עם חדי הקרן", היא לא טועה. אבל המתימטיקאי כלל לא טוען מראש שהמשולש "קיים במציאות", שהוא איזה "יישות לא פיזיקלית" שמשפיעה על עולמנו, כמו שאריק טען. לא הבאת פה דוגמא למשולש שכזה (שמידותיו בדיוק 3:4:5) שתקשר עם משהו פיזיקלי. אתה יודע, יש גאומטריות שבהן אותו מתמטיקאי יצהיר שאותו משולש "לא קיים". (טוב, לא באמת, כי אפילו לא דרשת שהוא יהיה ישר זוית. במקרה הזה קיימים אינסוף משולשים מכל צירוף של שלושה מספרים שתבחר, כל עוד המספר הגדול קטן מסכום שני האחרים, אם אני לא טועה. לכל משולש כזה יש אפילו שטח מוגדר. אתה בטח יודע מה סכום השטחים של כולם. באיזה יקום ענק ואנטי אוקהמי לתפארת קיימים כל המשולשים האלה?) אז באיזה מובן הוא קיים או לא? כמו שאמרת, בתוך מערכת אקסיומטית מסוימת הוא קיים. אולי גם כאן תעזור האבחנה על פי השאלה הבאה: האם לדעתך חדי קרן קיימים? (וסעיף ב' - אם כן, האם הם קיימים באותה מידה כמו המשולש?) גם אני תוהה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. זה אתגר ממש קליל. כל מי שלמד גיאומטריה בבית ספר יסודי היתה לו אינטראקציה עם מעגל. כל מי שהכין עוגה והתלבט אם להכין אותה בתבנית עגולה או תבנית מרובעת, גם לו היתה אינטראקציה. זוהי אינטראקציה עם מושג מופשט, אבל זה לא מפחיד. גם פרה היא מושג מופשט, אין פרה מושלמת בעולם ובכל זאת ילדים תופסים את המושג הזה בגיל מאד מוקדם. בוודאי ובוודאי רעיונות כמו אלוהים או הארי פוטר: יש להם הר של מרצנדייז ומעריצים וההשפעה שלהם גדולה מאד. א. כשאתה אומר אוקהם, אני מניח שאתה מתכוון שאפשר להסביר את המציאות ללא האובייקטים מתחום הידע האנושי כמו "מעגל" או "אלוהים". אם כך הקריטריון שלך במצב נחות מאד לעומת מטריאליזם קיצוני שאומר שרק חוקי הטבע קיימים וכל יתר הדברים הם אשליה. הרי מטריאליזם קיצוני כזה צריך כמות קטנה להפליא של "דברים קיימים". מצד שני רצוי שהקרטריון שלך יאפשר לתאר את המציאות באופן פשוט ונוח. מבחינה זו הקריטריון שלך טוב יותר מאשר מטריאליזם קיצוני. למשל: "היום אכלתי חומוס והיה טעים." אני קיים, החומוס קיים, הטעים קיים והכול בסדר :-). אבל מבחינה הזו הקריטריון שלך בנחיתות בהשוואה לחלופות כי אתה מסרב להכיר בקיום של אובייקטים יומיומיים כמו מעגל. אשתמש בדוגמא של פופר (בקלות אפשר להמיר את הטיעון למעגל). "שמעתי ביצוע של הסימפוניה החמישית של בטהובן אתמול והוא היה מוצלח". אז אם אתה מקבל שהחמישית הוא דבר קיים, אז החיים שלך ממש קלים. ביצוע זה "עותק פיזי" של מושג מופשט מעולם 3. העותק הספציפי הזה היה מוצלח יותר מעותקים אחרים. וכשאני מספר לך על זה שנינו מדברים על אותו אובייקט: הסימפוניה החמישית. לעומת זאת, אם אתה דוחה את הקיום של החמישית אז אתמול שמעתי רצף של צלילים שאני מתאר אותו בתור "ביצוע מוצלח" של אשליה. שזה אומר שהוא היה יותר טוב מרצפי צלילים אחרים שקשורים לאותה (?) אשליה. וכשאני מספר לך על כך יש לך אשליה (אחרת?) בראש ובזכות פרוטוקול תקשורת האשליות שלנו מסונכרנות. לא תיאור נוח במיוחד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו היתה פרה בצורה של פרח זה היה מין פרח בדמות פרה אם גם אחיה עד שמונים בערך לא, לא אתפוס מה שלי קרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הכרתי את השיר הזה, עכשיו בזכותך אני יודע שהוא קיים ;-) תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. לא היתה לו אינטראקציה עם מעגל, היתה לו אינטראקציה עם טקסט בספר או עם טקסט מושר ומזומר על ידי מורה. רחוק מאד מאותה אינטראקציה עם אלקטרון, שולחן או קרן שמש, שלא זקוקות (משום מה? למה באמת הן לא והמעגל כן? זאת בדיוק הנקודה כאן) לתיווך הגס, המוגבל והמביך בעילגותו של מילים ושירבוטים על נייר. ובאמת, תבנית של עוגה? ברצינות? משהו או מישהו היה מוטרד אם היא היתה קצת אובלית ולא ממש מעגלית? ניוז פלאש - היא לא באמת מעגלית. למי אכפת? אגב, כאן אתה סוטה מהטיעון של אריק. אני כבר הסכמתי למעשה שאם מבחינתך כל רעיון מופשט, מחדי קרן דרך הארי פוטר, קשקוש למגירה של ילד בן חמש והמושג "צהוב" קיימים, אז באותה מידה גם המעגל. רק שלעשות "אידיאה" מכל רעיון שחלף לרגע במוחו של מישהו נשמע לי קצת מרדד את המושג וקצת עקר. אולי שאלה ממוקדת תעזור כאן: האם לדעתך חדי-קרן קיימים? א. פספסת לגמרי את האוקהם שלי, הוא דיבר רק על מספר העולמות שטרחת להמציא. אני לא טוען שהמושג מעגל איננו קיים. אני טוען שאין יישות נפרדת כזו באיזה "עולם" "לא פיזיקלי" מספר 3 או מספר שבע מאות. המושג קיים רק כחלק מפרוטוקול תקשורת מוסכם ביני ובינך. והפרוטוקול מתבצע על תשתית פיזיקלית למשעי. אז מה, עכשיו כל Class שמוגדר בתוכנת הסלולר שלך כשהיא שולחת הודעת טקסט לסלולר שלי הופך לו ליישות בעלת קיום באיזה עולם מופשט? מתי הוא הופך לכזאת ,כשאני כותב את הקוד, כשאני מקמפל אותו, או כשהוא רץ על ערוץ התקשורת בין שני הסלולרים הנ"ל? אתה מבין לאן אני חותר? אוקהם? חוץ מפרשנות העולמות המרובים של אברט זה הטיעון הכי אנטי אוקהמי שפגשתי מזה זמן רב. אז כן, הפרוטוקול הזה בינינו מכיר את הסימון "הסימפוניה החמישית". אני כלל לא מכחיש את הקיום שלו. ומבחינתו כנראה זה בערך אוסף הביצועים הפיזיקליים לחלוטין שכבר שמע כל אחד מאיתנו. אבל היא לא "קיימת" מעבר לפרוטוקול הזה. אין שום צורך במונח "אשליה" כאן. כשאתה אומר שהביצוע היה מוצלח, אתה מתייחס למשהו פיזיקלי לחלוטין - אתה ישבת באולם קונצרטים אמיתי ושמעת צלילים אמיתיים לגמרי, ומן הסתם "מוצלח" אומר שיחסית לחוויות פיזיקליות מעברך הוא היה מוצלח. במה זה שונה מסטייק סינטה שאכלת אתמול והיה מוצלח יותר מסטייק סינטה שאכלת שלשום? ואני מקווה שאתה מוכן להסכים שסטייק סינטה (מהסוג שנלעס בפה, לא מהסוג שנלעס במוח) הוא אובייקט פיזיקלי למהדרין. כתבתי הרבה, אבל לדעתי אם אתה רוצה לענות, אשמח שלא תדלג על מה שנראה לי אחד מעיקרי השאלה כאן היא: האם אתה טוען שחדי קרן קיימים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק הערה על אברט ואוקהם, כי את הטענה שאברט הוא אנטי-אוקהם שמעתי ואני לא מסכים איתה. אברט לא מניח ריבוי יקומים. אברט מניח חוק טבע אחד פחות (קריסה) ומקבל כתוצאה ריבוי יקומים. לדעתי מבינת אוקהם הוא אזרח למופת. יש בפרשנות שלו בעיות אחרות קשות, כמובן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, בוהם מניח את אותו חוק אחד פחות ומקבל תוצאה אחרת. אז הייתי מתקשה לומר שריבוי היקומים הוא תוצאה ישירה או הכרחית של ההנחה של אברט. היא יותר הצעה לפתרון הבעייתיות של ההנחה שלו. ובתור הצעה, אולי סיבוכיות החוקים קטנה באחד, אבל סיבוכיות המציאות עולה פי אינסוף. מה אתה מעדיף אוקהמית, את החוק y=x^2, או את ביטול חוק החזקה ובמקומו Lookup table עם זיליון ערכי x בכניסה וזיליון ערכי y ביציאה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוהם מניח משתנה חבוי במקום החוק. y=x^2 הוא לא חוק, ולא שקול לטבלת חיפוש (הראשון הוא סימון לפעולה מתמטית, השני נשמע כמו דרך לקבל תוצאה של הפעולה). אבל fair point שיש מקום לספור לא רק חוקים אלא גם דברים שתיאוריה גורסת שקיימים, כשמשווים אותה לתיאוריות אחרות שלא גורסות שהם קיימים. (רק להזכיר, הבעייה של התיאוריה של אברט בתחום הסברת התוצאות האמפיריות קשה יותר ויותר חד-משמעית מהבעיה האוקהמית.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבת: "המושג קיים רק כחלק מפרוטוקול תקשורת מוסכם ביני ובינך". "הפרוטוקול מתבצע על תשתית פיזיקלית למשעי" אהה! זאת הבעיה. אפשר להגיד את זה על כל דבר פיזי אחר, למשל: אתה, המחשב שבו כתבת את ההודעה, האייל הקורא, פוטון וכיו"ב. אני חושב שדווקא הבנתי את אוקהם שלך היטב. אתה שאלת באופן רטורי האם כל class שמוגדר בתוכנת הסלולר שלך הופך לישות בעלת קיום באיזה עולם מופשט? וכוונתך- ברור שזזה מיותר. אבל הטיעון האוקהם הזה נכון גם להרבה דברים שאתה קורא להם "קיימים". הנה הוא לגבי בני אדם: האם כל אוסף אטומים לא גדול שמתקיים למשך זמן זערורי (באופן יחסי) על כוכב לכת שולי ולא מזיק ברובו - האם ראוי שנקרא לו "ישות בעלת קיום"? גם אתה לא "קיים" מעבר לאוסף האטומים הזמני הזה, אלא אם כן אתה מאמין בגלגול נשמות (ואני מאמין שאתה לא..). אפילו האטומים עצמם לא קיימים באמת, הרי אין להם אפילו מיקום מוגדר היטב. זה רק הסתברויות! אז אם אתה חובב אוקהם אתה צריך לגלח כל דבר חוץ ממספר קטן של כמה משוואות שדה, ואולי איזה פרופסור לקוואנטים שמסוגל לפתור אותן.. "האם אתה טוען שחדי קרן קיימים?" השאלה הזו לא מקדמת אותך כלל: ברור שהם לא קיימים בעולם הפיזיקלי, בוודאי שהם קיימים בעולם הבדיון. הנה נקודה שלי ממש בקיצור: אין ויכוח בין פילוסופים (או ביננו) על מה קורה בתכלס.. אנשים הולכים לקונצטרים, גלגלים מתגלגלים, חדי קרן קיימים רק בדימיון. אבל כאשר פילוסופים מנסים להדביק תוויות: זה "קיים באמת" וזה קיים "לא באמת" אז מתחילות בעיות.. הקריטריון שאומר מה "קיים באמת" הוא דיי שרירותי למען האמת. בגלל זה אני מציק לך על עניין ההצדקה לקריטריון שלך. בדיעבד נראה שגררתי אותך למסלול צידי ארוך ומפותל שהתחיל מהשאלה של אריק על הקשר בין אידאות לבין דברים פיזקליים. קראתי את הפתיל מחדש, ואין לי הצדקה ממש חזקה לנטפוק הזה.. סתם רציתי להעביר נקודה. יש לי כיוון חדש לחלוטין לאולי יענה לשאלה של אריק, גם הוא מתחום הפילוסופיה. אבל אני אכתוב זאת בתגובה נפרדת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שהבנת לקראת הסוף, הדיון התחיל מיישויות פיזיקליות מול לא פיזיקליות אצל אריק, והשפעתן ההדדית. זה ההקשר. בהקשר הזה, שולחן קיים בצורה אחרת לגמרי מחדי-קרן, ומשם המשכנו. לכן הגילוח אד אבסורדום שלך נראה לי קצת לא רלוונטי לכאן. ואם כבר ניטפוק, שום פרופסור לקוונטים לא יכול להסביר מערכות מורכבות, ובשביל זה יש מכניקה סטטיסטית, כימיה, ביולוגיה ופסיכולוגיה. התער של אוקהם רשאי לחתוך ככל האפשר, כל עוד הוא מספק הסבר למציאות ותופעותיה. מעבר לזה, הוא כבר חותך בבשר החי, ולא בשביל זה הוא כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"שולחן קיים בצורה אחרת לגמרי מחדי-קרן" על זה כולם מסכימים. אמרת לאריק: (צטוט חופשי מאד) "מעגל "לא פיזקלי" קיים באותה מידה שהארי פוטר קיים - כלל וכלל לא". הבה לא נתווכח על המילה "קיים". אני רוצה להצביע על הבדל מעניין בין דברים מתחום המתמטיקה, לבין דברים כמו הארי פוטר או חד קרן. - התכונות של המעגל הן אובייקטיביות. נגזרות מההגדרה שלו. למשל אם 2 אנשים "ממציאים את המעגל" באופן עצמאי, הם יגלו בדיוק את אותו יחס בין הרדיוס להיקף. - התכונות של הארי פוטר הן לא אובייקטיביות.. אם 2 אנשים ימציאו באופן עצמאי סיפור על ילד בשם הארי פוטר שלומד באקדמיה לקוסמים.. אז יתר הפרטים יהיו כנראה שונים מאד. למעשה, ההבדל הזה יותר קיצוני ממה שכתבתי כאן. יש בגאומטריה מספר קטן מאד של אקסיומות1, וכל מי שיתבסס על אותן אקסימות יקבל פחות או יותר את אותם אובייקטים "מעניינים" ואת אותם משפטים. זה כאילו ששני אנשים שונים שמתחילים עם אותו אלף בית עברי בעל 22 אותיות, יכתבו כמעט בדיוק את אותם סיפורים. --- 1 וגם האקסיומות עצמן לא נבחרות באופן אקראי.. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או, תודה רבה, אני כבר מחכה זמן רב שמישהו ינסח את ההבדל בין יצירה בדיונית כלשהיא לאובייקטים גאומטריים מוסכמים. זה לפחות יכול לתת מענה ראוי לעולם האנטי אוקהמי שבו כל הגיג מתגלם כיישות לא-פיזיקלית בפני עצמה. יש לי כמה דברים לומר בכיוון, אבל אני צריך לחשוב אם הם מעניינים או לא טריויאליים, ולשם כך אצטרך להתפנות בזמן מאוחר יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו פטרול של פילוסופים מתנפל עליך ומזכיר לך שאם 2 אנשים ימציאו באופן עצמאי סיפור על ילד בשם הארי פוטר שלומד באקדמיה לקוסמים אז זה לא אותו הארי פוטר, כלומר לא אותה דמות בדיונית. הקשר של לפחות אחד ה"הארי פוטר"ים האלה להארי פוטר שרולינג בדתה הוא כמו הקשר בין המעגל שלנו ל"מעגל", המילה שאותה בחרו הגאומטריקונים בכדור-ארץ-תאום עבור קו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שרלוק הולמס? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל לא מדובר על המילה "מעגל" אלא על הצורה הגאומטרית. אין לי מושג איך נראה עולם חלופי ואיך תתפתח המתמטיקה שלהם, אבל אם הם יתייחסו לצורות על מישור, מאוד סביר להניח שאחת הצורות הללו תהיה מעגל: הצורה הזו מופיעה בהרבה מאוד תופעות בכדור הארץ מסיבות ברורות (בשל היות העיגול הצורה עם השטח הגדול ביותר להיקף נתון וכדומה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה גם עניין של השפעה סביבתית. אם אתה מדליק אש, החום והאור יתפשטו ברדיוס מסוים. דפוס ההתפשטות הזה הוא מעגל. אפקט ההתפשטות הזה נכון לא רק לאש, אלא לכל דבר שמתפשט מנקודה מסויימת סביב. בדיוק כמו אבן שנזרקת לתוך שלולית ומשפיעה על המים סביבותיה... בדפוס מעגל. צורת המעגל מתגלמת בדרכים רבות נוספות, כמו מערבולות מים ורוח, או עצמים שמעיקרם מופיעים בצורה עגולה, כמו עדשים. תהיה זו טעות לומר שהמעגל זה מושג מופשט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל הצורות שתארת דומות למעגל, אך אינן באמת מעגל. הגדרת המעגל היא מופשטת לגמרי כבר אלפיים וחמש מאות שנה. המעגל הוא רק מושג מופשט ואינו קיים במציאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעגל ההתפשטות של אור הנר, איננו באמת מעגל? טווח הקשת שלי, איננו מעגל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעגל הוא דו ממדי. אבל בוא ניקח את דוגמת האור- על מקור האור להיות נקודתי (ואין דבר כזה) ואז אם נתאר את האור כגל, מכיוון שמהירות האור בריק אחידה, נוכל לומר שהתאור המתמטי של מקומה של חזית הגל בנקודת זמן מסוימת יתאר כדור. אבל בפועל מנות האור הן בדידות ולא נראה לי שפוטון בודד יכול להתפשט לכל הכיוונים באופן כדורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול לומר שדוגמת האור היא אחד הגורמים הפיזיים שגרמו לאנשים לרצות לסמן ולחשב מידות כדוריות. הרי הטענה שלי היתה כי המתמטיקה המופשטת לא החלה כרעיון מופשט אלא כדרך למדוד עצמים ומושגים פיזיים מאוד. אז, נניח שאת המעגל הגדירו והחלו לחשב כשאדם רצה לדעת את גבול השטח אליו הוא יכול ללכת ולשוב לביתו ביום אחד, את השטח שעליו ניתן לצפות עליו מראש עץ גבוה או מגדל שמירה, או את השטח הבטוח שהוא יכול לכסות בקשתו. כדי לקבוע שיטת מדידה עקבית ואמינה, צריך שתהיה מדויקת. לכן ההגדרות המתמטיות תובעות דיוק. אני יכול לומר שממערב למגדל השמירה יש גבעה החוסמת ומגבילה את שטח התצפית. אבל השיטה לא מתחשבת בכך. היא צריכה להתאים גם למקום שבו אין גבעה, או שהגבעה ממזרח. ולכן אתה מגיע לקריטריונים המופשטים יותר, שהם תולדה ותוצאה של העולם המוחשי, ולא ש''איכשהו'', במקריות מופלאה, מצאנו התאמה עמומה בין השנים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שקישרתי לך קודם לפיתגורס [ויקיפדיה]. דווקא כן רעיון מופשט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה הרעיון המופשט פה? אני קורא על חייו ומשנתו של פיתגורס שניסה למדוד כל תופעה פיזית באמצעות המתמטיקה. וזה בכלל בלי להזכיר שפיתגורס לא היה הראשון בעולם שחישב כמה זה שתיים ועוד שתיים, או שצייר מעגל או מפה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתוך הערך: "הפיתגוראים לא ידעו להשתמש במילה "יחס", ולכן אמרו שהמספר עומד מאחורי התופעות, כלומר הוא הראשית. היחס המספרי הבלתי חומרי והבלתי נראה מתגלם בחומר הנראה. הדברים עצמם הם מספרים. העולם אחדותי כי הוא מספרי, שכן המספר יוצר את ההרמוניה (-חיבור) בין הניגודים הקיימים בפועל (המילטים סברו שהניגודים הם רק למראית עין). המספרים נמצאים בתוך הדברים כפי שהאל נמצא בתוך כהן בקכוס. מימזיס - חיקוי או זהות האחד עם האחר - הכהן עם האל, המספר עם התופעה." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כאן כמה נקודות חשובות שלדעתי אינן סותרות את הטענה שלי, אלא תומכות בה: 1. הקשר בין המתמטיקה לעולם האמיתי איננו אקראי, אלא מדובר ביחס ישיר. 2. המתמטיקה היא חוקיות שקיימת בעולם. המתמטיקאים לא ממציאים אותה, אלא מגלים אותה. המתמטיקה היא תשבץ ענק וסבוך. ההגדרות והפתרונות כבר כתובים ומסודרים. לנו נותר רק לפענח ולמצוא אותם. 3. אם לקחתי 3 תפוזים והוספתי להם 3 תפוחים, יש לי 6 פירות. לא יצרתי את המספרים האלה או את המשוואה הזו, אלא האפשרות הזו קיימת בתוך ההיצע שהמספרים נותנים לי, והמעשה שלי יצר התגלמות ובחירה של אחת מן האפשרויות האלה. 4. האדם לא היה מגלה את החוקיות הזו, בלי להתחיל לספור תפוחים או מרחקים. לפי זה, המעגל איננו המצאה של המתמטיקאים שאינה קיימת בעולם האמיתי, אלא דבר שקיים במציאות. הגרסה המתמטית היא כמו תרשים ותכנית הנדסית/אדריכלית לבניין. רק שזה מביא אותנו לעניין קצת יותר עמוק - עניין הראשית. אם המספר קודם לתופעה, יש משהו שמכוון את התופעה ומכריח אותך לנהוג על פי חוקיות המספר. סוג של "איסתכל באוריתא וברא עלמא". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה שלך מה היא? שהמעגל הוא כן או לא רעיון מופשט? אם הוא התרשים של המציאות הוא לא קיים במציאות, כשם שתכניות הבניין אינן חלק מהבנין עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה שלי היא כי המעגל קיים בעולם המוחשי ולא אידאה שאינה קיימת ביקום הפיזי אלא בדמיוננו בלבד. את הדוגמאות למעגלים בעולם המוחשי כבר נתתי, ואם תאמר שאין שם את הדיוק המושלם בו משורטט המעגל המופשט, אין בכך מאומה. שהרי גם הבניין הבנוי במציאות איננו ישר ומדויק כמו התרשים, וגם חוויות האהבה והזוגיות במציאות אינן חדות, שמימיות או מושלמות כפי שמתארים אותן בדמיון - ואף על פי כן מדובר במציאות מוחשית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעגל הוא אוסף נקודות המקיימות תנאי מסויים. משולש הוא הקטעים שעוברים דרך שלוש נקודות שמקיימות תנאי מסוים. כל דבר שאינו עונה להגדרה של מעגל אינו מעגל. לכן כל הדוגמאות שהבאת אינן מעגל. אומר זאת שוב במלים אחרות- האופן היחיד שיש לנו לתאר ולהבין מעגל הוא האופן האידאלי. המעגל הוא רק מה שבתרשים, ולא מה שבבניין. מה שיש במציאות איננו ''מעגל לא מושלם'' כי אין כזה דבר ''מעגל לא מושלם''. יש רק מעגל. במציאות יש דברים שדומים למעגל ואנחנו מחילים עליהם בהצלחה לא מבוטלת חוקיות כאילו היו אכן מעגל, אבל זהו דמיון שהכח המדמה שלנו מבחין בו, או שמא מייצר אותו, ולא דמיון בטבעם של הדברים עצמם, שכן למעגל האידאלי אין לכאורה שום קשר למציאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה נותן את ההגדרה המתמטית, ואז משתמש בטיעון שתקף רק במתמטיקה כדי לטעון שזו ההגדרה היחידה. אפשר לתת הגדרות אחרות, ומחוץ לשדה המתמטיקה הדיוק המושלם ברוב המקרים איננו נחוץ ואף מקלקל. באותה מידה תוכל למצוא הרבה קווים ישרים, אותם תפסול בגלל שברזולוציה גבוהה הם לא מתאימים לקו הדק מחוט השערה, המוביל מנקודה א' לנקודה ב' - אף הן דקות מחוט השערה. וזה תקף לכל מושג מציאותי ומוחשי. ברגע שאתה מנסה להפוך אותו למושלם, יהפוך למופשט. בעולם שלנו בכל אליה יש לפחות קוץ אחד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מכיר הגדרה אחרת למעגל. אתה אומר שאפשר לתת הגדרות אחרות- נא שתף אותי באחת או שתיים. אני גם לא מכיר הגדרה אחרת לקו. אני לא מנסה להפוך מושג מוחשי למושלם. אני טוען שהמושג קיים ואינו מוחשי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היקף - כל מקום שאליו אני יכול להושיט את היד שלי מבלי לזוז מהמקום, או כל מקום שאליו אני יכול להגיע בעשר דקות הליכה מהבית. קו - פס ישר. שתי ההגדרות האלה חייבות להגיע לדיוק מושלם ועילאי, רק אם אתה מכניס אותן להגדרה המתמטית של נקודה מצומצמת עד לאין מידה. ברגע שאתה נפטר מן המתמטיקה, אתה נפטר מן הצורך בדיוק מושלם. במקרים רבים, מספיקה מראית עין על מנת להתאים להגדרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין כל קשר בין ''כל מקום שאליו אני יכול להושיט את היד שלי מבלי לזוז מהמקום, או כל מקום שאליו אני יכול להגיע בעשר דקות הליכה מהבית'' לבין מעגל. ברגע שאני נפטר מן המתמטיקה אין צורך בכלל להגדיר מעגל. מראית עין של מעגל אינה מעגל. מעגל הוא רק הביטוי הרעיוני - מתמטי או גאומטרי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כן, אסכם את חילוקי הדעות בינינו. אתה חושב שאם זה לא מדויק באופן מתמטי, זה לא מעגל. לכן אתה חייב את ההגדרה המתמטית, שמחייבת דיוק. ולכן זה לא יכול להיות קיים בעולם האמיתי, רק דומה. אני חושב שכל דבר שאנשים מכירים בו ומשתמשים בו קיים גם ללא ההגדרה המיטבית או המדויקת ביותר, ולאו דוקא בצורתו המושלמת. כדוגמה אני נותן את מושג האהבה, שיהיה נכון ומתאים גם אם האוהבים רבים וכועסים מדי פעם, ואז צצים להם כל מיני מאפייני התנהגות שלא מתאימים לאהבה דווקא. ואם נלך למקום יותר קרוב, כשאני מדבר על חפץ או מבנה רבוע, בהנחה שמכורח המציאות צלעותיו אינן ישרות בצורה מוחלטת על פי ההגדרה של קו. זה כבר לא רבוע אלא טרפז/מחומש/מתומן? זה רק מדמה ריבוע? לבוא בדרישות שכאלה, לא נקרא להיות מרובע? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מתאר שני דברים מקבילים. היכן חילוקי הדעות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשאני חושב שמעגל יכול להיות מעגל גם אם הוא לא מדויק בצורה מתמטית עד לרזולוציה הגבוהה ביותר. כשאני חושב שהעולם הגשמי מציע לנו צורות ואפשרויות, רק שבעולם הגשמי קשה עד בלתי אפשרי להשיג דיוק מושלם. את הדיוק המושלם ניתן להשיג אצל המופשט. לכן אני לא חושב שמעגל נולד או קיים רק בצורה מופשטת, אלא שהמעגל המופשט הוא בבואה של המעגל הגשמי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרובע הוא מי שמפריע לו שלא קוראים לו ריבוע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעגל, הגדרה 1: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המצויות במרחק שווה מנקודה נתונה. מעגל, הגדרה 2: קבוצת הפתרונות של המשוואה 2^x-a)^2+(y-b)^2=r) עבור a,b,r כלשהם (אפשר להגביל למספרים ממשים, אפשר גם לא). מעגל, הגדרה 3: שפה של כדור במרחב נורמי. מעגל, הגדרה 4: העקומה הסגורה היחידה שמביאה למקסימום את השטח שהיא תוחמת, בהנתן אורכה. מעגל, הגדרה 5: הגבול היחיד (נגיד במטריקת L^2) של סדרת פוליגונים משוכללים בעלי קוטר זהה, כאשר מספר הצלעות שואף לאינסוף. (...ויש עוד הרבה, כנראה עשרות, הגדרות לגיטימיות) קו ישר, הגדרה 1: קבוצת הפתרונות של המשוורה ax+b=y. קו ישר, הגדרה 2: תת-קבוצה קשירה של מרחב ליניארי מממד 1. קו ישר, הגדרה 3: עקום גיאודזי על יריעה דיפרנציאלית המציידת בקשר אפיני. קו ישר, הגדרה 4: אין הגדרה. קו ישר הוא מושג אטומי הקשור למושג "נקודה" על סמך סט האקסיומות החביב עליך. קו ישר, הגדרה 5: גרף פונקציה ממשית שנגזרתה קבועה בכל תחום הגדרתה. (...ויש עוד הרבה, כנראה עשרות, הגדרות לגיטימיות) ומנקודות מבט מסויימות, מעגלים וקוים ישרים הם בדיוק אותו הדבר (יצורים המכונים לפעמים "cline", ונוטים לצוץ כשיש איזו העתקת מוביוס בסביבה). בכלל, קשה למצוא דוגמאות למונחים מתמטיים שלהם רק הגדרה אחת וקאנונית. הסיבה לכך היא שמעגלים וקוים ישרים (וחוגים לא קומוטטיבים, ופונקציות רקורסיבית, ותכונות אוניברסליות, ואינטגרלים, וגרפים, וקטגוריות קטנות...) הם בסה"כ רעיונות, ומן הסתם אפשר (וכדאי!) למצוא שפע של פורמליזציות שונות שתופסות את אותו רעיון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניטפוק: ישר, או קו ישר אצלך בהגדרות, אינו מוגבל באורכו (לפחות במישור רגיל). לעומת זאת קו ישר רגיל בחיי היום יום יהיה מוגבל באורכו. המונח המתמטי המקביל לכך הוא "קטע". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(נשאר רק עם המעגל) מצוין! תודה רבה! כל ההגדרות שהבאת אינן בעולם הפיזי. הזהות בין הביטוי של הגדרה 1. (כל הנקודות המקיימות את התנאי) לבין הגדרה 2. (קבוצת הפתרונות של המשוואה) רק מחזקת את דברי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי שההגדרות הן בעולם הפיזי, הנה הן כתובות שחור על גבי עיתון בשפה פיזית שכולנו מבינים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההגדרות לעיל מקודדות בעולם הפיזי. אבל היכן הרעיון שכל ההגדרות השונות האלה מנסות לתפוס? אני חושב שבדיון כאן שזור בלבול יסודי בין המפה לבין הטריטוריה שהיא מתארת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דוקא לא בלבול בכלל, זה שורש הדיון כאן. אני טוען (או מנסה לטעון) שיש כאן מפה ללא טריטוריה1. בדיוק כמו המפה של הארץ התיכונה שמצוירת בתחילת ספרי שר הטבעות. אריק טוען שיש טריטוריה, והיא קיימת באיזה עולם כלשהו (שלדעתי הוא לא ממש הגדיר אותו - אולי לך יש מה לומר על "היכן" העולם הזה?), מחוץ לעולם ה"פיזי" המוכר לנו. 1 הכנס אמירה פלצנית "מה שבורדיאר מכנה 'סימולקרה' בספרו הידוע2" 2 – " – "שנמצא ליד מיטתי ואני בדיוק כרגע באמצעו3" 3 כרגע == בעשרת החודשים האחרונים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל נראה לי שלמפה של הארץ התיכונה יש טריטוריה, גם אם אבסטרקטית: היא מתארת אספקט מסויים מחזונו של טולקין בנוגע לעולם שהוא המציא. זה די דומה לאופן בו כל אחת מההגדרות השונות למעגל מתארת אספקט מסויים מרעיון מופשט כלשהו שנמצא במחשבתם של הרבה אנשים. בלי להתחייב (כי אני לא בטוח): אני חושב שמספרים, מעגלים וקווים-ישרים "קיימים" בדיוק כמו לאקטרונים, אנרגיה וכדור הארץ. כל המונחים הללו מתייחסים למודלים מנטליים שעוזרים לנו לארגן מחשבות. באשר ליחס בין המחשבות הללו לבין "העולם הפיזי" או "העולם הממשי" - אין סיכוי שאתפתה לפתוח את קן הצרעות הזה :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם מבחינתך כל קיומו של כדור הארץ הוא רק מודל מנטלי שלנו, אז אכן הוא דומה לקיומו של הארי פוטר. זאת דוקא גישה שדומני שעוד לא הופיעה בדיון. נראה לי שלא רק אני אלא גם אריק לא ממצדדיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השמטתי: כל ההגדרות שע.ש. הביא אינן (מגדירות משהו שקיים) בעולם הפיזי. לא ההגדרה, אלא המוגדר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי לסתור את דבריך, או בכלל לקחת צד בוויכוח. אני עדיין לא מבין מה בדיוק כל אחד מהצדדים טוען. בינתיים, אני סתם זורק הערות ביניים מהקהל. אגב, אין זהות בין הגדרה 1 לבין הגדרה 2 (או בין אף הגדרה לבין אף הגדרה אחרת). כל אחת מהן מדברת על עולמות שונים. ההגדרה הראשונה עוסקת בנקודות במישור, וההגדרה השניה עוסקת במספרים ממשיים. ואמנם אפשר למדל נקודות במישור באמצעות מספרים ממשיים, וגם אפשר (עם קצת מאמץ) למדל מספרים ממשיים באמצעות נקודות במישור - אבל בכל זאת, מדובר באובייקטים שונים לגמרי. כדי לחדד את ההבדל, אפשר להכליל: ההגדרה הראשונה נותרת משמעותית והגיונית גם כאשר מדובר על מרחב גיאומטרי כלשהו (לאו-דווקא מישור), וההגדרה השניה נותרת משמעותית והגיונית גם כאשר מדובר על אברי חוג כלשהו (לאו-דווקא ממספרים ממשיים). אבל עכשיו כבר אי אפשר ממש למדל אף אחד מהעולמות באמצעות השני, ושני המעגלים לא רק שאינם זהים - הם אפילו לא דומים. ועדיין, אני חושב שרוב המתמטיקאים יסכימו בלב שלם שבשני המיקרים מדובר במעגלים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עדיין תודה גדולה. גם לא הכרתי את ההגדרות השונות. וגם עזרת לחדד את רמת ההפשטה של המושג ''מעגל''. כשאנחנו מדברים על קבוצת המספרים המקיימת א' ב' קל יותר להבין שאנחנו מדברים על רעיון מופשט לחלוטין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסב את תשומת לבך (וגם של אריק), שאשר ההגדרה הראשונה שלך מוגדרת לאו-דוקא במישור, התכונה ה"אבסולוטית" לכאורה לפיה היקף המעגל חלקי קוטרו הוא 2*pi, מתפוגגת באויר כעשן. אז אריק, בעולם המושלם שלך, היחס בין מעגל לקוטרו קבוע או לא? ואם לא - האין זה מחליש את הטענה שלך שזוהי יישות מוחשית "אובייקטיבית" ומוגדרת היטב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון. אני מוסיף: עבור חלק מהדברים שההגדרות הנ"ל מתארות, אין בכלל משמעות ל-קוטר" או ל-"היקף". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני דיברתי כל הזמן על האידאה של מעגל אוקלידי, כזה שלא השתנה כלל ב 2500 השנים האחרונות. ההכרות שלי עם גאומטריה לא אוקלידית שטחית וחלקית ביותר, אבל קיבלתי בשמחה את ההרחבות, משום שהן מציגות דבר יפה - שיש במתמטיקה גישות שונות להביע את אותה אידאה. בעולם האוקלידי (הלא מוחשי לחלוטין, אבל המאוד אובייקטיבי) היחס בין הקף מעגל לקטרו קבוע. אני לא רואה בעייתיות בכך שבמערכת אחרת, לא אוקלידית, היחס אינו קבוע. מעגל אוקלידי ומעגל לא אוקלידי אינם אותו דבר משום שהמעגל האוקלידי מקיים תנאי נוסף (הנקודות נמצאות על מישור לא מעוקם). אז אפשר לטעון טענה מטריאליסטית שכל המערכות הלוגיות- האוקלידית וכל האחרות, אינן קיימות כלל בפני עצמן, אלא רק כביטוי של הלוגיקה שאנחנו מפעילים בתהליכי החשיבה הביוכימיים שלנו. שההסכמה שלנו להגדיר מעגל שאנחנו מתייחסים אליו בתקשורת בינינו לא גורמת לכך שיש באמת מעגל היכנשהו. אבל אז אתה חייב לטעון כך לגבי כל הלוגיקה כולה. משמע שגם הסיבתיות עצמה אינה קיימת בשום אופן, ואנחנו נשארים עם יקום הבלוק המשעמם והדטרמיניסטי לחלוטין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לטענות על מעגלים(*) יש מעמד אמפירי מוצק לפחות כמו על טענות על מסלולים של כוכבי לכת. האם לדעתך תופעה כגון "זמן ההקפה של פלוטו הוא 248 שנים" הוא משהוא ש"קיים בפני עצמו", או "ביטוי של הלוגיקה שאנחנו מפעילים בתהליכי החשיבה הביוכימיים שלנו"? (*) טוב, אליפסות |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השני | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבת למעלה "דברים שקיימים במציאות הפיסית - לדוגמה כוכבי הלכת נעים במסילותם". למה התכוונת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כוכבי הלכת קיימים במציאות הפיסית, והם נעים בתנועה די מורכבת, שמשום מה ניתן לחזות אותה אם משתמשים בחוקי קפלר [ויקיפדיה], שיש להם ניסוח מתמטי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העדות העיקרית על כך שכוכבי הלכת קיימים ונעים, מסתמכת על חוקי האופטיקה הגאומטרית. לא הבנתי למה לדידך מותר להסיק מהאופטיקה הגאומטרית על המציאות אבל מחוקי קפלר (או ניוטון) אסור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להיפך- לטעמי מותר, וזה הפלא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז לא הבנתי למה המסלול האליפטי של פלוטו קיים לדידך במציאות אבל זמן המחזור של המסלול הזה (שנובע בדיוק מאותו היסק) אינו קיים במציאות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שניהם אינם קיימים במציאות הפיזית. המסלול האליפטי של פלוטו וזמן ההקפה שלו- שניהם פרשנות שלנו על המציאות. אבל למושג האליפסה יש קיום מסוג אחר. זה מושג שהשימוש בו מאפשר לנו לחזות את מיקומו של פלוטו בדיוק נמרץ. לכאורה נראה כאילו היקום פועל תחת איזו מערכת הפעלה מתמטית שנמצאת ביסודו, אבל מחוצה לו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קשה מאד להבין אותך. כתבת שהמסלולים של כוכבי הלכת קיימים במציאות. תוכל לפרט בדיוק מה ההגדרה שלך לאותם מסלולים שקיימים במציאות, ולמה הם מציאותיים יותר מזמן הקפה ממוצע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה הזו היתה דווקא שלך (בתגובה 677875) ולא שלי. אני טענתי שלאידאה של מעגל (או אליפסה) יש קיום כלשהו שאינו פיסי. מסלולם של כוכבי הלכת דווקא אינו יש קיים לדעתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבת "כוכבי הלכת קיימים במציאות הפיסית, והם נעים בתנועה די מורכבת" בתגובה 677886 - כנראה שפירשתי בצורה לא נכונה את הסייפא שבמשפט. אני אעצור כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה הרעיון שעומד מאחורי סדרת הסרטים ''מטריקס'', רעיון השאוב מן הקבלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדאי אולי לומר שכוכב לכת שנע במסלולו לא "מציית" לחוק שאומר לו "אנא נוע באליפסה שמשוואתה כך וכך". הדבר היחידי1 שהכוכב מציית לו, או מושפע ממנו, בכל רגע ורגע, הוא שיש כח שמושך אותו אל השמש. וכשמושכים אותו, הוא נמשך. זה הכל. זה כל מה שהכוכב הזה "יודע" ומציית לו. ברגע שהכח הזה קבוע, ותמיד באותו כיוון2 -*ניתן* בשפה שמתארת חוקים לנתח את ההתנהגות הזאת, לפשט אותה לכדי חוקים בודדים, ומהם לחזות את המסלול. זאת מהסיבה הפשוטה שבגלל שיש כאן דפוסים קבועים ולא אקראיים, ניתן לומר עליהם משהו יותר מ"אפס מידע" כדי לאפיין אותם. אבל החוקים האלה מתארים את המציאות של הכוכב, לא מתווים אותה. המציאות היחידה של הכוכב היא הכח הפועל עליו בכל רגע ורגע. אין לו שום חוזה ושום התחייבות מעבר לזה. בדיוק כמו שגרגר בדלי חול שנשפך לערימת חול על הרצפה לא יודע כלום ואין לו שום חוזה עם התפלגות גאוסית שמתארת את הסיכוי שלו להיות במרכז הערימה. הוא בכל ננו-שנייה זז בדיוק על פי הכוחות שהפעילו עליו הגרגרים סביבו והאדמה מתחתיו. הוא לא מציית לשום אספוננט. האקספוננט, מצליח להסתכל על ההתפלגות הלא אקראית של מיליוני גרגירים ולומר עליהם משהו סטטיסטי - שוב, כי כמות המידע שיש כאן גדולה מאפס. רק בהינתן אפס מידע בלתי אקראי ייווצר מצב שלא ניתן לומר עליו כלום3. 1 בקרוב ראשון ממש טוב לצורך הדיון, שים בצד יחסות כללית ושאר הפרעות. 2 שוב, תנסה רגע לתאר לעצמך יקום שבו הכח הזה משתנה כל הזמן ולכל הכיוונים, ולא תגיע לשום מקום חוץ מתוהו ובוהו כנראה. יש כאן מערכת עם שמש אחת במרכז. זה הכל. העצם היחיד (וכמעט נקודתי מבחינתו) שקיים מבחינת כוכב הלכת הזה. אתה יכול לתאר איזו אינטראקציה ביניהם שאין לה שום דפוס? שמשתנה כל ננו-שנייה למרות ששני העצמים המדוברים כמעט באותו מצב? 3 טוב, אפילו האמירה שזה ממצב אקראי היא משהו. אבל משהו די קטן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים ב-100% עם הטענה שכוכב-הלכת לא מציית לחוק שאומר לו "נוע באליפסה". אבל, באותה מידה, הוא גם לא מציית לחוק שאומר לו "הימשך לשמש". הכוכב לא מציית לאף חוק. גם חוקי קפלר, גם חוקי ניוטון וגם משוואות השדה של אינשטיין - הם רק תיאורים של המציאות, והם לא מתווים אותה. שים לב, התמונה המנטלית שאתה מצייר ("יש כח שמושך אותו") אפילו לא עולה בקנה מידה עם התאוריה הפיזיקלית הכי טובה שלנו כרגע, לפיה הכוכב פשוט נע בקו ישר ובמהירות קבועה (אך על יריעה לורנציאנית). מחר אולי מישהו חכם יצייר תמונה אחרת לחלוטין, ומוצלחת יותר. אבל גם זו לא תהיה ה-"מציאות", אלא מודל. וכל המודלים שגויים - גם בפיזיקה. שוב נראה לי שאני מזהה בלבול של המפה עם הטריטוריה, של המודל עם המציאות. במציאות אין כוחות, אין "מרחב זמן", אין פוטונים ואין קוורקים. כל אלה הן הפשטות מומצאות. חכמות, מועילות, אלגנטיות - אבל המצאות. בדיוק כמו מספרים, מעגלים וקווים ישרים. ניסוי מחשבה: פגשנו תרבות חייזרית. מסתבר שאין להם שום טכנולוגיה שאנחנו לא מבינים היטב, וגם להפך. בנוסף מסתבר שאין שום ניסוי שהם יכולים לחזות את תוצאותיו טוב מאיתנו, וגם להפך. הפיזיקה שלהם טובה בדיוק כמו שלנו. אבל שונה לחלוטין. אין להם" חלקיקים", אין להם "מרחב" ואין להם" כוחות". הם טוענים שאנחנו סתומים ומוזרים, ושהמציאות היא בעצם גרף שכמעט כל אחד מ-919 קודקודיו מאופיין על ידי תהליך חישובי ספציפי ושאר הקודקודים הם "מקורות" של אינפורמציה ("תנאי ההתחלה"). את כל הניבוים וההסברים על עולם התופעות (כולל דברים שאנחנו מתארים כ-"מרחב", "זמן" ו-"תנע") הם מצליחים לגזור מזרימת האינפורמציה בגרף. הם טועים? אנחנו טועים? מישהו כאן בהכרח טועה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצוין. עכשיו תעשה את הצעד הנוסף. יש אינטראקציה בין מסה אחת (השמש) למסה שניה (פלוטו) ומשום מה הדפוס של האינטראקציה הזו, ושל כל אינטראקציה אחרת בין מסות, הוא דפוס אחיד בעל ביטוי מתמטי מדויק. למה? יקום הבלוק לא זקוק לסדר הזה, לסיבתיות, לחוקים. הוא יכול היה באותה מידה להיות כאוטי. אם תאמר שאותו דפוס אחיד בעל ביטוי מתמטי הוא רק דרך שלנו להבין את המציאות, ואינו קשור לדברים כפי שהם, נשאלת השאלה איך אנחנו מסוגלים לנבא באמצעות אותם ביטויים מתמטיים בדיוק נמרץ היכן ימצא פלוטו בעוד שבעים שנה ויומיים? מדובר כמובן במודל, והרצה קדימה של המודל תפיק את התוצאה המבוקשת, אבל עולות שתי תהיות מהותיות - מדוע יש בכלל מודל שמתאים? - מדוע זה נראה שאנחנו *מגלים* את המודל ולא ממציאים אותו. שהעץ נופל ביער גם אם לא מחאנו כף אחת1? ____________ 1 ואולי לא? אולי באמת כל היקום בסופרפוזיציה עד שאנחנו צופים בו ומשליטים בו סדר באמצעות תודעתנו המקריסה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עצם העובדה שאתה מסוגל להבחין בפלוטו כתופעה מובחנת היא ביטוי של "סדר". עצם העובדה שאתה, כיצור שהוא תוצר של תהליך אדפטיבי (ועוד אינטליגנטי!) בכלל קיים כדי להבחין במשהו, היא ביטוי של סדר. אז יש עולם מסודר, וזה אכן מוזר. ואגב - חידת ה-"סדר" לא קשורה לכאוס, אלא לאנטרופיה: למה היא לא מקסימלית? אני לא יודע, אבל אני חושב שזו שאלה מאותו הז'אנר של "למה קיים משהו, במקום שלא יהיה קיים כלום?". אלה שאלות עמוקות מצד אחד, אך שגויות בעליל מצד שני (כי קשה אפילו לדמיין איזה סוג של תשובה אפשר לתת להן - ובמידה רבה, זה מעקר אותן מתוכן). כנראה שמוטב להניח להן עד להודעה חדשה. באשר למתמטיקה, ושימושיותה בפיזיקה - בעיני אין כאן שום חידה: (1) בהנתן שמישהו נמצא כדי להבחין בתופעות - אז אותו מישהו בהכרח מצוי בעולם עם אנטרופיה נמוכה. (2) תופעות בעולם עם אנטרופיה נמוכה, בהכרח אפשר למדל באמצעות חוקים, יחסים ודפוסים (למשל, בגלל הקשר בין אנטרופיה לבין סיבוכיות קולמוגורוב). (3) מתמטיקה היא שפה שמלכתחילה הונדסה על ידי בני האדם כדי לנסח ביעילות מחשבות ורעיונות בקשר לחוקים, יחסים ודפוסים, כך שמן הסתם היא כלי מוצלח לתיאור תופעות כנ"ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעולם של אנטרופיה הולכת וגדלה נראה שהחיים יוצרים כיסים של סדר, והחיים התבוניים על אחת כמה וכמה. שני חלקים קשים לי בתשובה שלך- במעבר מ 2. ל 3. האם היחס פי לא קיים בהעדר האדם שיחפש וימצא אותו? האם כאשר אתה אומר שבהכרח אפשר למדל זה לא אומר שהמודל הוא תוצאה בלתי נמנעת של התופעה ועל כן באיזה אופן חלק ממנה? וב 3. ה"מן הסתם" קשה לי- מדוע אתה מקבל כמובן מאליו שהמתמטיקה מאפשרת ניבויים בעולם הפיזי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, בעלי חיים (גם תבוניים) אינה מפרים את החוק השני של התרמודינמיקה, וכמו כל דבר אחר, הם תורמים לעליית האנטרופיה בהתאם לאנרגיה החופשית שהם מנצלים. לסדר הלוקלי סביבם יש "מחיר" כבד גלובלית. ושנית - אני לא מבין את כוונתך. האם אתה טוען שקיום בעלי חיים מסביר את האנטרופיה הנמוכה, במקום להיות מוסבר על ידה? אם כן, זו טענה שעומדת בסתירה גמורה לכל התאוריות הפיזיקליות שאני מכיר, כולל הרדיקליות והספקולטיביות ביותר מבינהן. אני מוצא את השאלה שלך לגבי פאי מוזרה. גם כי אתה כותב "היחס פאי", בעוד שעבורי פאי הוא קודם-כל המחזור של פונקציית האקספוננט ההולומורפית (undoubtedly the most important function in mathematics, שנו חז"ל), ורק כדרך אגב, כפועל יוצא וכאנקדוטה קטנה - גם היחס בין היקף מעגלים לקוטרם במישור האוקלידי. אבל גם, ובעיקר, כי "פאי" הוא המשגה, רעיון. מנקודת המבט שלי, אכן עושה רושם שהוא רעיון מוצלח, ונשמע לי סביר שישויות תבוניות באשר הן יעלו אותו בעצמן. במובן הזה "הוא לא תלוי בבני אדם". אבל מה שווה בכלל נקודת המבט הזו שלי? יכול להיות שכל הישויות האולטרה-אינטליגנטיות ביקום שנחשפו במקרה לקונספט של פאי, מצאו שמדובר ברעיון מגוחך, שרירותי וחסר תועלת. טיפוסי לאופן החשיבה של שימפנזות למינהן. באשר ל-"המודל הוא תוצאה בלתי נמנעת של התופעה", אני לא חושב כך. באיזה תנאים לתופעה נתונה יהיה קיים רק מודל אחד המתאר אותה באופן מיטבי? צריך להזהר כאן עם המובנים של המונחים בהם משתמשים, אבל אני משער שכל ניסיון ליצוק בהם תוכן מדוייק המתאים להקשר הפיזיקלי, יוביל למסקנה שאין תנאים כאלה, וכל מערכת אפשר למדל באינסוף דרכים שונות אך שקולות (לפחות פרטו). לבסוף, אני לא חושב שהמתמטיקה מאפשרת שום דבר. "מתמטיקה" היא סתם אוסף של קונבנציות, סימונים והמשגות המשמשים לבטא כל מיני רעיונות ומחשבות. כל מה שאפשר לעשות במתמטיקה, אפשר לעשות גם בלעדיה - נגיד באמצעות משפטים ארוכים ומסורבלים בעברית. אם יצא שהמציאות הפיזית היא מספיק סדורה כדי שניבויים של חלקים ממנה הם אפשריים, אז מה זה משנה באיזו קונבנציה משתמשים כדי לערוך אותם? ואם כך, עדיף לפתח קונבנציה נוחה, ואפשר לקרוא לה "מתמטיקה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעלי חיים ואנטרופיה- זו היתה הערה תמימה שקראת בה יותר מכפי שהיה בה. אני מקבל את העמדה שלך שהמתמטיקה היא שפה, אבל הדברים שהשפה הזו מתארת - אותם רעיונות כמו מעגל - אינם קיימים ביקום הפיזי. משום מה הרעיונות הללו, שאינם קיימים ביקום הפיזי, מצליחים לתאר היטב, עד כדי ניבוי מדויק, את החוקיות בהתנהגות של היקום הפיזי. המתמטיקה היא הקונבנציה שהמצאנו כדי לדבר על הרעיונות הללו, אבל השאלה היא על הרעיונות עצמם. כשאתה אומר שהמציאות הפיזית היא מספיק סדורה זה אומר שיש עקרונות/כללים/חוקיות שהיא סדורה על פיהם, ואני שואל על המהות של אותם עקרונות והקשר בינם לבין הרעיונות שהמתמטיקה מדברת עליהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה בדיוק אתה מתכוון, כשאתה כותב "המהות של אותם עקרונות"? אני חושב שהתייחסות שלך ל-"חוקיות שהיא (=המציאות) סדורה על פיהם" היא סוג של הנחת המבוקש. להבנתי, המציאות סדורה. נקודה. לא "סדורה על פי חוקיות". הסדירות מתבטאת בכך שלתיאור עולם התופעות יש1 סיבוכיות קולמוגורוב נמוכה. לטענה שעולם התופעות באמת-באמת נוצר על ידי איזשהו תהליך מכניסטי אין בסיס של ממש (אני חושב שאולי הטענה הזו אפילו לא מתקמפלת, ומכילה חוסר-עיקביות פנימי). אבל אפילו אם כן יש "תהליך אמיתי" כזה, נראה לי שצריך לגייס כמות נכבדה של היבריס כדי לטעון שהתאוריות שאנחנו מעלים בעצמנו לגבי המציאות דומים לו. אם כך, כשאתה צופה במציאות, מנסח חוקים, ורואה שהחוקים מתאימים למציאות - אל לך לקפוץ למסקנה ש-"המציאות סדורה על פי החוקים האלה". להפך. מכיוון שהמציאות סדורה, הצלחת לנסח חוקים שמתארים אותה בקרוב. אבל החוקים האלה הם פרי דמיונך, ולא יותר. המציאות אינה סדורה לפי החוקים הללו, אלא אתה משתמש בחוקים כדי לארגן עבור עצמך את המחשבות אודות המציאות. 1 הכל בערך, ובקווים כללים. הידיים שלי כבר כואבות מרוב נפנופים, ובהחלט ייתכן שאני מחמיץ משהו או לגמרי טועה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שאנחנו מתקדמים יפה. לפחות אני מצליח להתקדם בהבנה של מה שאתה אומר, וזה עוזר לי לנסח את העמדה שלי באופן אולי מובן יותר. >> אתה משתמש בחוקים כדי לארגן עבור עצמך את המחשבות אודות המציאות. מוסכם. הוא שאמרנו שהמתמטיקה היא שפה שהמצאנו כדי לנסח רעיונות לוגיים מסויימים שיש לנו. >> המציאות סדורה. נקודה. לא "סדורה על פי חוקיות" זה קשה לי. כשאתה אומר סיבוכיות קולמוגורוב נמוכה אני חושב שמובלע בזה שישנם כללים כלשהם (שאיננו יודעים אותם, ואולי גם איננו יכולים לדעת אותם) שהמציאות סדורה על פיהם. אם אין כללים היא לא יכולה להיות סדורה, האין זאת? ביסודו של כל סדר יש כללים שעל פיהם הוא מסודר, שאם לא כן הוא לא סדר. תסביר לי את זה. >> צריך לגייס כמות נכבדה של היבריס כדי לטעון שהתאוריות שאנחנו מעלים בעצמנו לגבי המציאות דומים לו. מסכים גם כאן. השאלה שאני מעלה היא כללית יותר. אני טוען שהבסיס הלוגי של השפה המתמטית שלנו, והאידאות שאנחנו מגדירים באמצעותה (כמו מעגל)- אין להם שום קיום פיזי. באותו אופן אני טוען שהכללים האמיתיים שעל פיהם המציאות הפיזית סדורה, בהנחה שיש כאלו, גם להם אין קיום פיזי. ולמרבה הפלא אנחנו מסוגלים לנבא את ההתנהגויות הפיזיות (מסלולי כוכבי הלכת) באמצעות הכללים הלא פיזיים (חוקי קפלר). אני שואל כמו בתגובה 677935 מהי המהות של אותם כללים אמיתיים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסיבוכיות קולמוגורוב של אובייקט כלשהו, אי אפשר להסיק דבר על האופן בו האובייקט נוצר. המחרוזת 0000...0 (אלף פעמים 0) יכולה הייתה להווצר על ידי התוכנית "הדפס 0...0000000000", או על ידי התוכנית "בצע לולאה 1000 פעמים, ובכל איטרציה הדפס 0", או ע"י ריצה ממוזלת של התכנית "הטל מטבע 1000 פעם, והדפס 0 כשיוצא עץ" (ומן הסתם יש עוד אינסוף תכניות אפשריות). כל מה שצופה יכול לדעת הוא שקיים עבור המחרוזת תיאור קצר ואלגנטי. שהיא "סדורה". אבל הוא לא יכול לדעת שום דבר על הכללים שיצרו אותה. לכאורה, אפשר לחשוב שטיעון ברוח התער של אוקהם עשוי להוציא אותנו מהברוך הזה (תמיד נעדיף את התכנית הכי פשוטה, או משהו כזה). אבל זו דרך ללא מוצא. ראשית, כי אין קריטריון אולטימטיבי לפשטות (איזו מהתוכניות לעיל "פשוטה יותר"?). שנית, כי אנחנו עוסקים בניסיון לבסס עמדה ריאליסטית, ואפילו אם היה בנמצא קריטריון אולטימטיבי לפשטות, לא היה בכוחו לזהות את התהליך ה-"אמיתי" (נאמר שיוצא שהתכנית השניה היא "הפשוטה ביותר", ואתה בוחר בה כתאוריה הפיזיקלית האמיתית שלך. עדיין ייתכן שהתכנית הראשונה היא זו שרצה בפועל, והבחירה שלך שגויה). ושלישית, סיבוכיות קולמוגורוב של אובייקט לא תלויה (בערך...) בבחירה במכונת טיורינג כזו או אחרת. הן כולן שוות-מעמד, וכל בחירה משנה לחלוטין את הפרספקטיבה באשר לאיזה תהליך "אלגנטי ופשוט" ואיזה "מסורבל ומכוער". זה לדעתי מספיק כדי לדכא לגמרי את השאיפה לריאליזם. (וכל זאת מבלי להזכיר בכלל את האפשרות של מודלים חישוביים שאינם שקולים למכונת טיורינג... אבל נראה לי שאין טעם בכיוון הזה, בהקשר שלנו) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוספת: כתבתי "...הוא לא יכול לדעת שום דבר על הכללים שיצרו אותה.", ואני רוצה להוסיף "או אם בכלל היו כללים כאלה". למשל, בדוגמת-הצעצוע בהודעה לעיל, קשה לומר שמחרוזת שנוצרה על ידי התכנית "הדפס 0...0000000000" נוצרה על סמך כללים כלשהם. ויותר מזה, כאשר עוסקים במטאפיזיקה, ה-"מציאות עצמה" פשוט נתונה. "היש ישנו, והאין איננו". סה-טו. אין לנו מושג (טוב, אין לי מושג) מאיפה היא צצה פתאום, ואם היה מעורב בכך תהליך מכניסטי-חישובי או לא. כלומר אולי המחרוזת "00000....0" נוצרה בכלל על ידי קסם. אבל הקסם יצר מחרוזת סדורה, ולכן יש לה סיבוכיות קולמוגורוב מוגדרת היטב למרות שהיא לא נוצרה על ידי אף מכונת טיורינג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התוספת חשובה ביותר, כי אחרת משתמע שיש כללים כלשהם, לא משנה איזה, שגרמו לסדר. אבל במשפט האחרון אתה שוב פותח לי פתח- "אולי המחרוזת... נוצרה בכלל על ידי קסם. אבל הקסם יצר מחרוזת סדורה". לא אכפת לי מה יצר משהו סדור, אם זה תכנית מחשב או קסם, העיקר שהמשהו הסדור נובע ממשהו, ולא נוצר סדור באקראי. שהרי אם נוצר סדור באקראי הוא לא סדור, הוא אקראי, הלא כן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעצם ע.ש. ענה בכיוונים מאד דומים לשלי לאורך הפתיל. יקום הבלוק לא זקוק לכלום. אולי יש יקום בלוק אחר כאוטי. ביקום בלוק כאוטי אין התפתחות, אין כוכבים, גלקסיות, אנשים והשאלה "אייה פלוטו?" לא תישאל לעולם. ביקום בלוק שאינו כאוטי - יש מודל שמתאים. והמודל מתאים (עונה על השאלה הרלונטית שלך) בגלל שיש דפוס כלשהוא, אינפורמציה כלשהיא, ניתנת לתאור. למה אתה חושב שהמודל שלנו להבנת המציאות "אינו קשור לדברים כפי שהם" - זה איש קש עצבני. ודאי שהוא קשור, הוא נבנה על פי נתונים שנלקחו מהמציאות, הוא לא הומצא כשלעצמו במנותק ממנה. יש, אגב, כמו שאמרנו, זיליון מודלים אחרים שאכן לא מתארים את המציאות ולא קשורים אליה. וכיון שהוא נבנה על פי המציאות, הוא עושה את מה שבנו אותו לעשות: לתאר את המציאות, גם באמצעות ניבויים. למה אנחנו "מגלים" את המודל? בגלל שהוא מתאר את המציאות. ועל ידי גילויי המציאות שמהם אנחנו מפיקים נתונים למודל, אנחנו מגלים מה המודל הנכון. כהערת צד, המתימטיקה כשפה לוגית יכולה "לגלות" דברים מתוך עצמה, כי יש לה כללי גזירה לוגיים שגורמים לכך שבהינתן אכסיומות, התוצאות שנגזרות מהן אינן אקראיות אלא מוגדרות היטב, לפעמים יחידות. אז במובן מסוים אתה "מגלה" אותן מתימטית - זה קשור יותר לתת-פתיל שהיה לי כאן מול מי שקישר למאמר בבלוג של גדי אלכסנדרוביץ'. אבל זה שונה מהגילוי של מודל פיזיקלי - זה תמיד1 נשען על תוצאות אמפיריות מסוימות, ומתגלה באמצעותן. 1 אל תדחק אותי בבקשה לפינת הסופר-מיתרים, כבר היה כאן דיון שלם על כך שהיא מאתגרת את התמיד הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המודל שלנו לתאור המציאות הפיזית משתמש באידאות כמו "אליפסה" שאין להן זכר ביקום הפיזי, ובכל זאת הוא מצליח למדל את העקרונות שעל פיהם המציאות הפיזית מתנהלת. ואני רוצה לשאול על העקרונות האלה, כמו כח המשיכה: כח המשיכה מתנהג באופן מאוד עקבי, על פי עקרונות שניתנים לניסוח מתמטי מדויק. אבל אנחנו היום אנחנו קוראים לזה כח המשיכה, ומחר יכול להיות שנקרא לזה אחרת. לכן אני רוצה להשאר עם חוקי קפלר, שלא שואלים אילו כוחות פועלים שם אלא רק מתארים את התוצאה- תנועת הכוכבים. חוקי קפלר מתארים את תנועת הכוכבים עבורנו. אבל איכשהו יש באמת איזו חוקיות בתנועת הפלנטות, הלא כן? המודל שלנו לא מתאר מציאות אקראית אלא מציאות מסודרת. ואותו סדר, מה הוא? אני לא שואל מדוע הדברים מסודרים, איך הם מסודרים או כמה הם מסודרים. אני שואל מהי המהות של אותה חוקיות של הסדר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התהיה השניה שלך אמורה לענות על הראשונה. המודל מתאים כי לא אנחנו המצאנו אותו בניסיון להפעיל משהו, אלא גילינו אותו בניסיון לבדוק איך משהו פועל. פשוט הסתכלנו על הפעילות ויצרנו תרשים שלה. או שהשאלה שלך היא אחרת: למה זה פועל דווקא כך ולא אחרת? - כמו ששאל צ'יפופו: למה הירח צהוב והגשם רטוב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שצפריר אמר. וחוץ מזה, יש לי עוד דוגמא לכך שישויות מתמטיות הן אובייקטיביות. נניח שמתגלגל לידך דף וכתוב שם: "להארי פוטר יש שיער שחור". אין לך שום דרך לדעת שזה נכון. למעשה אין פה "נכון": יכולים להיות 2 דפים סותרים, באחד כתוב "שיער שחור" ובשני "שיער ברונטי", ושניהם יהיו נכונים. לעומת זאת, אם מתגלגל לידך דף בו כתוב: "היקף מעגל הוא 2Pi כפול הרדיוס" זה יכול להיות נכון או לא נכון - ואתה יכול לבדוק את זה באופן עצמאי ובלתי תלוי (אני מקצר כאן, צריך להכיר מי זה הארי פוטר ומה זה היקף וכו' וכו' אבל הרעיון ברור). בקיצור: זה שההיקף של מעגל הוא כך וכך - זו אמת אובייקטיבית (או שגיאה אובייקטיבית). צבע השיער של הארי פוטר - לא. אגב, אם פילוסוף מתחכם ואומר "כן, אבל מה אם כתוב בדף שבסרט השלישי של הארי פוטר, יש לו שיער חום - את זה כן אפשר לבדוק באופן אובייקטיבי!" ובכן, התשובה היא שהסרט השלישי של הארי פוטר הוא משהו פיזיקלי, ולכן אפשר לבדוק את התכונות שלו באופן אובייקטיבי ופיזיקלי לגמרי (לצפות בסרט). לעומת זאת הדמות הארי פוטר היא דמות בדיונית ואי אפשר לבדוק את התכונות שלה. וכך גם לרוב האובייקטים הבדיוניים. אובייקטים מתמטיים הם יוצאי דופן. יכול להיות פילוסוף מתחכם אחר שיגיד: "כן, אבל יש מקרים מחוץ למתמטיקה של תכונות אובייקטיביות לדברים בדיוניים. למשל, לחד קרן יש בדיוק קרן אחת, לא פחות ולא יותר1". אז אני אגיד: נכון, זוהי בדיוק משפט מתמטי2: משפט שיכול להיות נכון או שגוי על סמך הנחות היסוד. המשפט "לחד קרן יש בדיוק קרן אחת" הוא משפט מתמטי (משפט טריוויאלי, אבל עדיין..) 1 אולי יש חדי קרן שעברו מוטציה, ונולדו עם קרן נוספת, או בלי קרן בכלל? מישהו יודע? 2 אולי יותר נכון להגיד משפט לוגי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה אי אפשר לבדוק את צבע השער של הארי פוטר אובייקטיבית? רולינג בטובה פירטה את צבע שערו (חום, אאל"ט), ואפשר לבדוק זאת אובייקטיבית על-ידי קריאה בספרים. כל מי שיקרא בעותק אמין של הספר יהיה חייב להסכים ששערו חום. וואו, זו אפילו בדיקה פיזיקלית, למרות שקשה לקרוא לעובדה הנבדקת פיזיקלית. אם היא באמת כתבה brown, נראה לי שהצבע החום הוא עובדה עוד יותר אובייקטיבית מאשר צבע השער של אנשים אמיתיים! שייתכנו חילוקי דעות בין צופים שונים על איך בדיוק לקרוא לצבע שערם. אם כבר משהו נזיל כאן, זה זהות האובייקט שאנחנו מדברים עליו - מה אם עכשיו יבוא סופר אחר ויכתוב ספר שיציג את עצמו כספר על אותו הארי פוטר מהסדרה של רולינג, רק שהוא יעניק לו שער שחור. אז השאלה "מה התחולה של השם "הארי פוטר"" תתחיל להיות עמומה יותר, ואולי סובייקטיבית; אחת האפשרויות תהיה לומר "להארי פוטר יש שני מופעים, אחד עם שער חום ואחד עם שחור". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא משנה את הנקודה שלי. תבחר תכונה אחרת של הארי פוטר. למשל המשקל שלו | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 כידוע, לקרנף יש יותר מקרן אחת על האף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש סוגים שונים של קרנפים. לאלה קרן אחת ולאחרים שתים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מזכיר לי את הפתיל מתגובה 185163 | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |