בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 05/01/07 1:08
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אם יש לך שתי מכונות, לאחת יש אלף ראשים וכל אחד מעבד את הקלט בקצב של תו אחד בשניה, ולשניה יש ראש אחד והוא מעבד את הקלט תו אחד באלפית שניות, אז היחס בין הזמנים יהיה זהה. לעומת זאת, אם מכונה אחת עם ראש אחד תעבד את הקלט בתו אחד לשניה, ומכונה נוספת עם ראש אחד תעבד את הקלט בשני תווים בשניה, אז יווצר ביניהם יחס זמנים (למרות שמספר הראשים זהה). בקיצור, איפה כאן הנקודה המעניינת? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הניתוח שלך די נאיבי, ומניח שה''תרומה'' היחידה של הראשים היא מהירות ''עיבוד קלט'' (ראש אחד מעבד תו בשנייה, שני ראשים מעבדים שני תווים בשנייה), אבל זה לא בהכרח נכון. אם יש לך מכונה בעלת שני ראשים, כדי לסמלץ אותה באמצעות מכונה בעלת ראש אחד אתה צריך לגרום לראש האחד הזה ''להתנהג'' כמו שני הראשים. בפרט, אם שני הראשים נמצאים רחוק מאוד זה מזה על הסרט, הראש האחד יצטרך להתרוצץ שוב ושוב בין שני המקומות המרוחקים הללו, ולבצע המון תנועות ששני הראשים לבדם לא היו צריכים לעשות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ועדיין, הזמן שהראש האחד יתרוצץ בין שני המקומות ויבצע את כל הפעולות יכול לקחת אלפית מהזמן שיקח לשני הראשים לבצע את הפעולות שלהם. אני עדיין לא רואה כאן נקודה מעניינת (אלא אם כן הנקודה המעניינת היא שחומרה טובה יותר תעבוד בד''כ מהר יותר מחומרה טובה פחות, אבל זה לא ממש מעניין, וממש לא קשור למכונות טורינג) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שמעניין כאן הוא שיש לאורך הקלט חשיבות. אם המכונה הדו-ראשית מעבירה את אחד הראשים לסוף הקלט ואת השני משאירה בהתחלה, ומכאן והלאה מזיזה כל ראש צעד ימינה וצעד שמאלה לסירוגין ועושה זאת במשך n פעמים (כש-n הוא גודל הקלט), אז המכונה עם הראש הבודד תצטרך לבצע n זגזוגים בין שני ראשים שהמרחק ביניהם הוא n - כלומר יידרשו לו בערך n בריבוע צעדים. עכשיו, גם אם הוא עובד פי אלף יותר מהר מהראשים במכונה הדו ראשית, היתרון הזה יעלם עבור n=1,000 וגבוהים ממנו: המכונה הדו ראשית תעשה 1,000 צעדים, ואילו הוא המסכן יבצע כבר 1,000,000 צעדים - כלומר, ייקח לו "בדיוק" (במרכאות, כי הכל כאן הוא בערך) אותו זמן לבצע את מה שהמכונה הדו ראשית עושה. אם תגדיל את n עוד יותר, תקבל שלוקח לו יותר זמן, ובאופן כללי: ככל שתגדיל את n יותר, כך ההפרש בין איכות הביצועים של המכונה הדו ראשית לזו של המכונה החד ראשית ילך ויגדל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זה רק בהנחות (המוזרות) שנתת. אם צריך לבנות סימולציה למכונה שקוראת בשני ראשים, אחד מההתחלה ואחד מהסוף בעזרת ראש אחד, קוראים בעזרת הראש האחד מההתחלה לסוף, ומסדרים מחדש את הקלט לקלט של מכונה שניה (וירטואלית). יותר מזה, אני לא מבין איך הזמן של מכונת טיורינג הוא גורם מעניין בכלל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי איך עובד הפתרון שאתה מציע (אני לא חושב שהוא עושה מה שהוא אמור לעשות) אבל זה גם לא משנה - המטרה היא להציע דרך לסמלץ באופן *כללי* מכונת טיורינג עם שני ראשים בעזרת מכונה עם ראש אחד. בדוגמה שנתתי בסך הכל ניסיתי להראות כמה קל להדגים התנהגות "בעייתית" של מכונת הטיורינג הדו ראשית ש"מקלקלת" את זמן הריצה. אם יש לך הצעה משל עצמך, אתה בהחלט מוזמן להציע אותה (רק זכור שהראשים לא רק קוראים - הם גם כותבים, ומה שראש אחד כותב עשוי להיות תלוי במה שהשני קורא). בקשר לשאלה השניה: אתה שואל על "הזמן של מכונת טיורינג", או שאתה שואל למה זמן ריצה מעניין באופן כללי? אם זו השאלה הראשונה, זה נראה לי כמו קינטור מיותר. אם זו השאלה השניה - אני אנסה לענות עליה במאמר הבא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני בטוח שלא הבנתי את הבעיה אבל זה לא משנה - ברגע שהראת שאפשר לסמלץ באופן כללי מכונת טיורינג עם שני ראשים בעזרת מכונה עם ראש אחד, הראת שמכונת טיורינג עם שני ראשים אקוויוולנטית לכל דבר וענין למכונת טיורינג עם ראש אחד. נקודה. אני שואל על הזמן של מכונת טיורינג, בגלל שעל זה הדיון. בהתחלה גם לי זה נראה כמו קינטור מיותר, אבל אחרי שראיתי שהדיון מתפתח לאן שהוא התפתח, בלי שמישהו יעיר שזה דיון מיותר, הבנתי שזה לא קינטור מיותר. למה זמן ריצה מעניין באופן כללי, אני חושב שאני יודע. למה הכפלת החומרה כפיתרון היא מעניינת, טוב גם זה לא נראה לי ממש מעניין, ואני מקווה שלא על זה יהיה המאמר הבא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין את הדוגמטיות שלך. אני מנסה להסביר, באמצעות פירוט ודוגמה, למה אפילו אם אפשר לסמלץ מכונת טיורינג אחת בעזרת השניה זה עדיין לא גוזר "אקוויוולנטיות לכל דבר ועניין", ואתה פשוט מתעלם. אכן קיימת שקילות *כלשהי* - שני המודלים מסוגלים לקבל בדיוק את אותה מחלקת שפות (ולכן מנקודת המבט של נושאי המאמר *הזה* הם שקולים לגמרי), אולם אין שקילות מוחלטת, למשל בגלל ההבדל בזמני הריצה. הזמן של מכונת טיורינג מעניין מכיוון שניתן ללמוד ממנו משהו על זמני ריצה "אמיתיים". למשל, אלו בעיות הן באופיין פולינומיות ואילו הן אקספוננציאליות. הגדרת מחלקות סיבוכיות זמן (וזכרון) שונות מתבצעת לרוב באמצעות מכונות טיורינג ווריאציות עליהן. בכל הדברים הללו יש עניין תיאורטי לא קטן, ואפילו פה ושם קיים עניין מעשי. אפילו לתוצאות אי קיום יש עניין - אם אתה יודע ש"לא סביר" שתצליח למצוא אלגוריתם יעיל שעושה משהו שאתה צריך שיעשה בקרוב, כנראה שתוותר ותנסה למצוא אלגוריתם קירוב (ולפעמים אפשר להראות שגם אלגוריתם קירוב מטיב מסויים "לא סביר" שיהיה). הכפלת החומרה *כפתרון* לא מעניינת. מה שאמרתי בתגובה 427869 הוא שמדובר על נקודה מעניינת מכיוון שהיא מצביעה על אחת הסיבות שבגללן בוחרים להגדיר "חישוב יעיל" בצורה שבה מגדירים אותו - במטרה *להעלים* פרטים מיותרים ולמנוע פתרונות טפשיים כמו "הכפלת החומרה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל לדבר על "זמן ריצה" אתה צריך להניח הנחות על הזמן שלוקחת פעולת עיבוד. כל זמן שאין לך את ההנחות האלה, אין לדיבורים על "זמן ריצה" משמעות. זה בדיוק כמו שאין משמעות למשקל של "שלוש" (שלוש מה? שלוש גרם, שלוש עגבניות, שלוש לימונים, שלוש גרגירי חול, שלוש פלנטות). וכל זמן שלא הגדרנו שלוש מה, אז 4-1 ו2+1 הם אקוויוולנטים לכל דבר ועניין. יכול להיות שה:2+1 הם פומלות, והם שוקלים הרבה יותר מה:4-1 ענבים. יכול להיות, אבל זה כבר תלוי בהגדרות נוספות. הגדרות של מחלקות סיבוכיות זמן מתבצעות בדרך כלל על מכונת טיורינג עם הנחות על זמן פעולה, אחרת אין להן משמעות. יכול להיות ש"הכפלת החומרה" תשפר את היעילות שלך באופן לינארי, יכול להיות שהיא תשפר את היעילות שלך באופן אקפוננציאלי, יכול להיות שהיא לא תועיל, ויכול להיות שהיא אפילו תזיק ליעילות שלך. אבל אני לא ממש מוצא את זה שייך לדיון הזה, אולי במאמר הבא תרחיב את הדיון ואז זה יהיה רלוונטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שאתה מציין כאן בתור חסרון הוא למעשה יתרון: אם כל מה שאנחנו עושים במדידת זמן ריצה הוא לספור את הצעדים שעושה מכונת טיורינג (שהיא מודל מופשט), יש לנו אפשרות להשוות בין אלגוריתמים באופן שאינו תלוי במודל הפיזי שעליו הם ממומשים. כך אפשר להראות שמיון מיזוג עדיף על מיון בועות גם על פנטיום וגם על אטארי, ושתכנות לינארי בשלמים קשה לפתרון הרבה יותר מתכנות לינארי רגיל, בלי קשר לשאלה על איזה מחשב אתה מממש אותו. הפסקה השניה שלך היא מובנת מאליה. מתי טענתי שמגדירים מחלקות סיבוכיות זמן באמצעות מכונות טיורינג שאין עליהן מגבלות? כל העיסוק ב"הכפלת החומרה" אכן לא שייך לדיון הזה (כמו גם כל שאר ההודעה שלך - אבל היופי בדיונים הוא שהם גולשים למקומות שלא שייכים בהכרח למאמר המקורי) אבל כאמור, במאמר הבא אין הרבה מה לומר על זה - רק שבוחרים לזהות חישוב פולינומי עם חישוב יעיל בין היתר כדי לא להיות תלויים בפרטי מימוש כמו אלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר להגיד שמיון מיזוג עדיף על מיון בועות גם על פנטיום וגם על אטארי רק בגלל שאפשר להגיד גם על מחשב פנטיום וגם על מחשב אטארי מהו הזמן (הממוצע) שלוקחת פעולת עיבוד בודדת. בלי זה, הקביעה שלך פשוט לא נכונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי נראה שמספיק לומר ש*קיים* זמן ממוצע שלוקחת פעולת עיבוד בודדת. אם מתעקשים, אפשר לפרוט את האלגוריתמים לפרוטות עד שמוצאים את פעולות העיבוד הבסיסיות ששניהם עושים ורואים שהן אותו דבר ושמיון מיזוג מבצע פחות מהן, אבל זו שוב התעסקות בטפל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, נכון, מספיק לומר שקיים זמן ממוצע שכזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז קצת מעניין אותי לראות דוגמה למצב שבו לא ניתן לומר דבר כזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אסביר את עצמי בדוגמא. בו ניקח את הדוגמא של מיון בועות מול מיון מיזוג. נניח שהמימוש שלך הוא כזה שאתה מבצע את מיון הבועות ב 5N^2 פעולות והמימוש של יון המיזוג הוא של20N*LN(N) +1 עכשיו, אם נספור פעולות, נגלה שאם גודל הקלט שלנו גדול מתשע אלמנטים מיון המיזוג יהיה עדיף. אבל, בו נניח שהזמן שלוקח למכונה הראשונה לביצוע כל פעולה הוא חצי מהזמן שלקחה לה הפעולה הקודמת, בעוד שהזמן שלוקח למכונה השניה לבצע פעולה הוא כפול מהזמן שלקחה הפעולה הקודמת. אז (אם לא התבלבלתי) גם אם נניח שהזמן שלוקחת הפעולה הראשונה במכונה הראשונה הוא פי אלף מהזמן שלוקחת הפעולה הראשונה במכונה השניה, עדיין, המכונה הראשונה תעבוד מהר יותר מהשניה כשהקלט יהיה בן שני אלמנטים או יותר (אז מה עשינו בזה? באמת שכלום. עוד מעט יבוא לכאן מר ו. ויוסיף לי תגובה ריקה מתחת).
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני קצת מבולבל. מי זו המכונה הראשונה? מי זו המכונה השניה? מה אתה טוען, בעצם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המכונה הראשונה היא זאת שמבצעת מיון בועות, השניה מבצעת מיון מיזוג. אני טוען שבלי הנחות כלשהן על הזמן שלוקחת פעולה, אין משמעות לדיון על יעילות, ו/או שהוספת ראשים למכונת טיורינג שכזו (=בלי הנחות על הזמן שלוקחת פעולה) היא פעולה שלא עושה כלום (=לא מעניינת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטענה של גדי היא שעדיפות שיטת המיון אינה תלוית מכונה, כלומר זה נכון לכל מכונה שתבצע בשיטה זאת או אחרת. למה הדבר דומה? גדי טוען שיותר מהר להגיע מתל אביב לנתניה דרך הרצליה מאשר דרך ראשון. לא משנה אם אתה טס, רוכב על אופניים, או נוסע במכונית. מכאן *לא* נובע שאם תסע במכונית דרך ראשון, לא ייתכן שתקדים את רוכב האופניים שנסע דרך הרצליה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואני טוען שהטענה הזאת (גם בקשר למיון וגם, אגב, בקשר להגעה לנתניה) נכונה רק תחת הנחות מסויימות, אותן פירטתי, הדגמתי והסברתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנחנו לא מדברים על אותו הדבר. אני אמרתי שהרעיון של אי תלות במודל פירושו שאם אלגוריתם אחד עדיף על האלגוריתם השני *כששניהם ממומשים באותה מכונה*, רוצים שזה יהיה נכון גם כששניהם ימוממשו במכונה אחרת. כשמדברים על מכונת טיורינג יש, מן הסתם, הנחה כלשהי על הזמן שלוקחת פעולה: מניחים שכל צעד שמכונת הטיורינג עושה לוקח יחידת זמן אחת (לכן כשמדברים על סיבוכיות זמן של מכונות טיורינג סופרים צעדים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה משנה, אותה מכונה יכולה להתנהג בצורה שונה עבור קלט שונה או אלגוריתם שונה. לי נוח לקרוא לזה שתי מכונות, אם אתה רוצה, תקרא לזה אותה מכונה. המספרים לא ישתנו לך. תחזור לתחילת הדיון תגובה 427824 עכשיו כשאתה מוסיף את ההנחה של הזמנים (שאמרת, כזכור, שאתה לא מניח, ובצדק), כמובן שהדיון משתנה. רק שנשאלת השאלה למה להניח את ההנחה הזאת (לגבי מכונת טיורינג שאמורה לפתור את בעיית העצירה)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שאני מבין לפחות אחת מאי ההבנות. כשאתה מדבר על "שתי מכונות", אתה מתכוון "מכונה אחת עם ראש אחד, והשניה עם שני ראשים" או "מכונה אחת שעושה מיון בועות ומכונה שניה שעושה מיון מיזוג ושתיהן עם ראש בודד"? אני *לא* מוסיף שום הנחה לגבי הזמנים מהסוג שמתואר בתגובה שאליה אתה מקשר (שקריאה של תווים שונים לוקחת זמן שונה או וריאציה דומה). בקשר ל"נשאלת השאלה" שלך, אני מציע לך לקרוא שוב את <תגובה 427869>, ובפרט את "זה לא משנה כל עוד מדברים על שאלות של כריעות מול אי כריעות, אבל כשמדברים על זמן ריצה זה הופך להיות חשוב." הסוגריים שלך גורמים לי להרגיש שאתה חושב שמשתמשים במכונת טיורינג רק כדי לדבר על בעיית העצירה, אבל הרי ברור שאתה מודע לכך שמשתמשים בה גם כדי למדוד סיבוכיות זמן של בעיות כריעות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכלי, מכונת הטורינג שבעזרתה משתמשים כדי למדוד סיבוכיות, הוא כלי שונה מהכלי מכונת הטורינג שבעזרתה משתמשים כדי לבדוק בעיות כריעות. הראשון מכיל בתוכו את השני, ואת הנחת הזמנים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאתה קצת נסחף. זו בדיוק אותה מכונה (כלומר, אותו מודל). ההבדל הוא רק בצורה שבה מגדירים באמצעותה מחלקות סיבוכיות. בתור R מסמנים את כל השפות שניתנות להכרעה על ידי מכונת טיורינג (שלא טורחים לספור את הצעדים שלה), ובתור P מסמנים את כל השפות שניתנות להכרעה על ידי אותו סוג של מכונת טיורינג, רק שהפעם בודקים שמספר הצעדים שהיא מבצעת לא גדול יותר מפולינום נתון של גודל הקלט. יש המון סוגים אחרים של מכונות שונות: אביב ציין כאן את המכונה האי דטרמיניסטית, ויש גם מכונה הסתברותית, ומכונה קוואנטים וכדומה. המודלים הללו מגדירים מחלקות סיבוכיות שונות, ואז עולה השאלה מה הקשרים בין המחלקות הללו. למשל, השאלה האם P=NP היא השאלה האם חישוב יעיל במכונה דטרמיניסטית שקול לחישוב יעיל במכונה אי דטרמיניסטית (ומאמינים שהתשובה היא שלילית, כלומר יש הבדל מהותי בין שני המודלים הללו *מבחינת זמן החישוב*, וזאת למרות שמודדים את זמן החישוב באותה הצורה בדיוק - ספירת צעדים). אם לא היינו מגדירים חישוב יעיל בתור P אלא, נניח, בתור כל השפות שניתן לזהות במספר צעדים שהוא פולינום מדרגה שלוש של גודל הקלט, פתאום היינו מגלים שמחלקת השפות שמתקבלות בצורה יעילה על ידי מכונה חד-ראשית ומחלקת השפות שמתקבלות בצורה יעילה על ידי מכונה דו-ראשית הן (כנראה) שונות. כדי להימנע מזה הגדירו חישוב יעיל בתור פולינום כללי, לא מדרגה חסומה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני נסחף? נראה לי שאנחנו לא מדברים באותה שפה. הטענה שלי היא מאד פשוטה: ברגע שאתה רוצה לדבר על סיבוכיות (ושיהיה לדיבורים על סיבוכיות המשמעות המקובלת) אתה חייב להניח הנחה על הזמן שלוקח לפעולה. כל זמן שאתה מדבר על כריעות, ולא על סיבוכיות אין בהנחה כזאת שום תועלת. בסופו של דבר, זאת טענה ממש טריויאלית, מאד מוזר לי שהייתי צריך להוכיח אותה, עוד יותר מוזר לי שגם אתה, גם אביב וגם דורון לא מבינים אותה/לא מסכימים איתה, והכי מוזר לי שאחרי כל הדיון הזה היא עדיין נראית לך כמו "הסחפות". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני תמיד חשבתי שבסיבוכיות משווים את מספר הפעולות הנדרשות כפונקציה של אורך הקלט, ושואלים על האסימפטוטיקה. כל עוד יש מספר סופי של סוגי פעולות והזמן הנדרש לכל פעולה כזאת הוא חסום, זה שקול לשאלות על האסימפטוטיקה של זמן הריצה, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי שזה גם מה שגדי אומר, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע (מתברר שאנחנו לא ממש מבינים אחד את השני, אז אני האחרון שיכול להיות הפרשן שלו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במשמעות המקובלת של סיבוכיות, הסיבוכיות של חישוב אחד שווה לסיבוכיות של חישוב שני אם הזמן של החישוב השני הוא לכל היותר מכפלה קבועה של הזמן של החישוב הראשון, ולהפך. אז אם ''הזמן שלוקח לפעולה'' של מכונה אחת הוא לכל היותר מכפלה קבועה של ''הזמן שלוקח לפעולה'' של מכונה אחרת, אז אין ל''זמן שלוקח לפעולה'' כל השפעה על הסיבוכיות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובשפה שאני מדבר בה, הפסוקית שבאה בין ''אם'' ל''אז'' במשפט השני שלך היא ''הנחה''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תראה, בתחום הזה מודדים את הזמן בפעולות של מכונת-טיורינג. השאלה כמה זמן לוקחת פעולה אחת יכולה להיות רלבנטית רק כשמסמלצים מכונה אחת באמצעות אחרת, כי אז מודדים את הזמן בפעולות של המכונה הבסיסית יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את ההנחה שהזמן שלוקחת פעולה אחת הוא קבוע/ חסום/ בעל התפלגות ידועה מראש ומתנהגת יפה חייבים להניח כי אחרת אין למספר הפעולות של מכונת הטיורינג שום משמעות (אבל, כששואלים אם המספר הוא סופי או לא חייבים רק להניח שהזמן שלוקחת פעולה הוא סופי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אני מבין מאיפה חוסר ההסכמה. מה שמפריע לך הוא ש"מדידת זמן" במכונת טיורינג היא בעצם ספירת צעדי חישוב, ולא מדידה של זמן אמיתי? ("צעד חישוב" במכונת טיורינג - מעבר ממצב פנימי אחד למצב אחר, כתיבה של תו על הסרט והזזת הראש ימינה או שמאלה, בהתאם למצב הקיים ולתוכן הסרט שהראש הקורא קורא). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. אני כותב את מה שאני חושב, בעברית הכי פשוטה שיש. למה אתה חושב שאני משקר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שאתה משקר, אני פשוט לא מבין מה אתה מנסה לומר. אם אנחנו סופרים צעדים במכונת טיורינג, מה אכפת לנו כמה זמן "אמיתי" הם לוקחים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לספור את מספר הצעדים? 14,123 צעדים. ספרתי, מה עכשיו? אין למספר הזה שום משמעות בשום מודל שאני מכיר. מה איכפת לך הזמן האמיתי, אתה זה שנתן דוגמאות מעולם על מיון של מחשבים, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרעיון הוא לספור את מספר הצעדים כפונקציה של גודל הקלט, ולבדוק איזו פונקציה קיבלנו. זה ילמד אותנו משהו על ההתנהגות של האלגוריתם שהמכונה מייצגת גם במחשבים ''אמיתיים'', למרות שזה לא יכול להגיד לנו כמה זמן זה ייקח עבור גדלים ספציפיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו, שזה ילמד אותנו משהו על ההתנהגות של האלגוריתם שהמכונה מייצגת גם במחשבים "אמיתיים" *רק תחת הנחה כלשהיא על הזמן של ביצוע הפעולה*. בלי זה נשארת עם סתם מספר, פונקציה או אסימפטוטה שלא מלמדת אותך כלום על כלום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי האסימפטוטיקה אומרת לנו משהו גם בלי ההנחות שאתה מציין - היא מאפשרת לנו *להשוות* בין שני אלגוריתמים שונים (אלגוריתם מהיר יותר = אלגוריתם שהפונקציה שלו גדלה יותר לאט אסימפטוטית). אם לדעתך זה לא אומר כלום - לא נורא. לא צריך להמשיך את הדיון, ואיש בדעתו יחיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באמת אין שום משמעות. זה מודל. אין משמעות לעצם השאלה ''הזמן שלוקחת פעולה'', כי ''פעולה אחת'' היא יחידת הזמן שלנו מלכתחילה. אם תגדיר אותה בשניות, עדיין תצטרך להגדיר שנייה, ולהסביר למה שנייה של מ''ט אחרת שווה לשנייה של מ''ט אחרת (ולא, נאמר, שאחת נייחת ביחס אלינו והשנייה משייטת במהירות קרובה למהירות האור, או השד יודע מה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה לוקח את מכונת טיורינג בתור מודל שאין בו משמעות לזמנים, אז ברגע שהצלחת לסמלץ מכונה אחת בעזרת אחרת, שתי המכונות זהות. אם אתה מייחס משמעות לזמנים, אתה חייב להניח משהו לגבי הזמנים (וגם ההנחה ש''פעולה אחת'' היא יחידת הזמן שלך היא הנחה). אי אפשר לאכול את העוגה ולהשאיר אותה שלמה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין משמעות ל"זמנים", אבל יש משמעות למספר צעדי החישוב. אם חישוב במודל אחד לוקח פי n יותר צעדים מאשר במודל השני, אי אפשר להגיד ששני המודלים זהים, ואפילו לא שאפשר להתעלם מההבדל ביניהם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, עכשיו יש לי מודל חדש, שעושה שני צעדים במקום כל צעד של המודל הקודם, ז"א ספרתי את הצעדים ויצא לי 28,246. לא תרשה לי להתעלם מההבדל ביניהם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נתכנס לתגובה 428361. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''זמן'' במכונת-טיורינג מוגדר כ''מספר הפעולות שהמכונה ביצעה''. זו לא הנחה, זו הגדרה. (ויש לה משמעות לא יותר ולא פחות מלכל הגדרה.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכשאנחנו רוצים להסיק מסקנות מהמודל לעולם האמיתי (כמו שניסו להעשות בתחילת הפתיל) צריך לתת משמעות בעולם האמיתי לזמן במכונת טיורינג (או להתעלם מהמושג). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, לשם אתה חותר? בסדר, אני מסכים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעולם האמיתי זו לא בעיה. קשה לי אפילו לדמיין מכונה פיסית שמסמלצת מ''ט בצורה כזו שכל צעד מ''ט לוקח זמן אקספוננציאלי באורך הקלט. לכן מ''ט זה מודל כל-כך שימושי בניגוד למודלים שקולים אחרים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעולם האמיתי זה לא בעיה בגלל שמניחים הנחות לגבי הזמן של כל פעולה. ללא הנחות, המודל היה פשוט לא שימושי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא-לא. אתה לא יכול להניח הנחות בעולם האמיתי. אתה יכול רק לקוות שהעולם תואם מספיק את המודל שלך. מסתבר שבכל/רוב מכונות החישוב שאנחנו בונים, זמן פיסי הוא באמת פרופורציונאלי פחות-או-יותר לזמן מ"ט. לכן מ"ט זה המודל הסטנדרטי למכונות חישוב ולא כל-מיני מודלים מופרעים שאני יכול להעלות על דעתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ה"היסחפות", לטעמי, היא שאתה אומר שאם סופרים מספר צעדים של משהו, הוא הופך להיות משהו אחר. נניח שיש לי מכונית ושמד סיבובי המנוע בתוכה מכוסה בסלוטייפ. עכשיו בוא נניח שאני מוריד את הסלוטייפ. האם קיבלתי מכונית שונה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה1 לא מה שאמרתי (וחוץ מזה, נראה לי שממש לא הבנתי את המשל שלך). 1 מה שאמרתי הוא שאם יש הנחות נוספות על מושג מתמטי אז כבר מדובר על מושג אחר, שמכיל בתוכו את המושג הקודם. למשל, חבורה שהמכפלה שלה היא הופכית היא חבורה אבלית. חבורה אבלית היא חבורה, אבל חבורה היא לא בהכרח חבורה אבלית.2 2 ואני משוכנע שאתה יודע את זה. הרי אתה מככב ב http://he.wikipedia.org/w/index.php?title=%D7%97%D7%... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. מה ההנחה הנוספת שיש על המכונה במקרה הזה? כזכור, אין שום הנחות לגבי הזמן שלוקח למכונה לבצע צעד חישוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע, "מניחים שכל צעד שמכונת הטיורינג עושה לוקח יחידת זמן אחת" זה לא הנחה (תגובה 428292)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, זו הגדרה. אתה יכול לסלק את ה''מניחים'' אם הוא מפריע לך ולהחליף את המשפט ב''מגדירים את יחידת הזמן הבסיסית שלנו בתור צעד של המכונה'' (שזה מה שהתכוונתי לומר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם מה שמפריע לך היא ההנחה שהזמן (ב"עולם האמיתי" יהא אשר יהא) שלוקח לבצע פעולה הוא קבוע (או חסום ע"י קבוע)? אולי זו ההנחה שכולם בדיון מניחים כמובנית מאליה, חוץ ממך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, קבוע, חסום על ידי קבוע, מתפלג יפה, משהו. ברור לי שכולם כאן מניחים את זה כמובן מאליו, לא ברור לי למה, ולמה הם מתעקשים שהם לא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נראה לי שמישהו התעקש שהוא לא מניח את זה, אלא שלא ברור למה זה רלוונטי לדיון - בפרט, למה זה משנה את המודל של מכונת הטיורינג ולמה זה חשוב רק כשמודדים סיבוכיות זמן ולא בודקים כריעות. הרי אם פעולה בסיסית במכונת טיורינג עלולה לקחת אינסוף זמן בעולם האמיתי, זה חשוב גם לשאלות של כריעות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע על מה ולמה התעקשתם. אני יודע *בדיוק* על מה ולמה אני התעקשתי, הסברתי משהו שהוא פשוט (ממש פשוט) ונכון (ממש נכון), ניסחתי את זה בשש צורות שונות. נימקתי. הוכחתי. הדגמתי. הסברתי. חזרתי והסברתי. אתם התעקשתם, מסיבה שעד רגע זה לא ברורה לי, מנימוקים ששייכים לדיון אחר לגמרי, לתקן אותי. הייתי מציע לכם בפעם הבאה לנסות ולהבין את מה בדיוק אתם מתקנים לפני שתתקנו (ולגבי עצמי, הייתי מציע לעצמי לא לכתוב יותר שום דבר "מקורי" באייל1. נראה לי שגם אם אני אכתוב ש 3+2 יוצא 5, מישהו יקפוץ ו"יתקן" אותי תוך כדי ציטוטים מההרצאה האחרונה במאקרוכלכלה או בספרות השוואתית שהוא נכח בה). כתבתי שבשביל לבדוק כריעות צריך להניח שזמן הפעולה הוא סופי. אני מקווה (לא שעל סמך הדיון הזה יש לתקוה על מה להסתמך) שההבדל ברור, ושאני לא צריך לנמק אותו. למה זה רלוונטי לדיון, אתה שואל ברצינות? הרי, כמו שהסברתי, ללא הנחה הזאת, כל הדיון שלכם על הוספת והורדת ראשים הוא דיון מיותר, ומכונה עם שני ראשים זהה לכל דבר ועניין למכונה עם ראש אחד. --------------- 1 כן, כולל התגובה הזאת. וכן, אני יודע, אם חמישה אנשים אינטליגנטיים ובלתי תלויים לא מבינים משהו, הבעיה היא של המסביר ולא שלהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ייתכן שחלק מהסיבה שבגללה לא מבינים את התגובות שלך היא שלא נעים לקרוא אותן. (הדיון על הורדת והוספת ראשים הוא מיותר בכל מקרה אם אנו עוסקים בכריעות. מה שאמרתי הוא שההבדל מעניין כאשר עוברים לעסוק בסיבוכיות.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מבקש בכל לשון של בקשה לעצור את התדרדרות רגע אחד לפני שעוברים להסרת ראשים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא יפה לכתוב כך על סמיילי. הדבר האחרון שאתה יכול להגיד זה שלא נעים לקרא אותו כי הוא כותב בשפה נקיה בלי הצטעצויות ובדיחות קרש אתה יכול שלא לאהוב את סגנון ההתדינות הפרטני שלו אבל את זה היתה חייב לגלות לפני הדיון ולא בסוף | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 428319 מקובלת עליך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. הטענה שלי היא ש"פעולה" הוא מושג מורכב שמסוגל להחביא בתוכו דברים שתלויים בגודל הקלט. למשל, כשאתה כופל שני מספרים אתה בדרך כלל רואה את זה בתור "פעולה בסיסית" שהיא יחידת הספירה הקטנה ביותר. למרות זאת, כפל של שני מספרים למעשה תלוי באורך הייצוג שלהם. אם אנחנו כותבים אלגוריתם שיכול לקבל כל שני מספרים, צריך להתחשב בכך שככל שהמספרים גדולים יותר, כך הכפל שלהם ייקח יותר זמן. איך זה מתקשר למכונות הטיורינג החד-ראשית והדו-ראשית? בכך שאם מציגים אלגוריתם כלשהו שמשתמש ביכולות של המכונה הדו-ראשית, הרי שמה שנראה לנו כמו "פעולה בסיסית" במכונה הדו-ראשית עשוי לקחת זמן *שתלוי בגודל הקלט* במכונה החד-ראשית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין. אבל למעשה כשמדברים על "כפל" מדברים על כפל של X ביט או משהו כזה, לפחות מבחינה מימושית, ולכן מספר הפעולות עולה כשהקלט מתארך תגובה 193615. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''מספר הפעולות עולה כשהקלט מתארך'' זה מה שאמרתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. כתבת שפעולה בסיסית תלויה באורך הקלט. לא שצריך יותר פעולות בסיסיות לטפל בקלט ארוך יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. כתבתי ש''פעולה'' (לא ''פעולה בסיסית'') היא מושג שיכול להחביא בתוכו פעולות בסיסיות יותר, ומכיוון שמספר הפעולות הזה עשוי לגדול עם אורך הקלט, ''פעולה'' באופן כללי יכולה להיות תלויה באורך הקלט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
" כשאתה כופל שני מספרים אתה בדרך כלל רואה את זה בתור "פעולה בסיסית" שהיא יחידת הספירה הקטנה ביותר" ==> כפל היא פעולה בסיסית. "שככל שהמספרים גדולים יותר, כך הכפל שלהם ייקח יותר זמן." ==> כפל תלוי באורך הקלט. ומכאן - פעולות בסיסיות תלויות באורך הקלט. אבל מתוך התחשבות בשכ"ג בוא נפסיק עם זה. הרי גם אתה וגם סמיילי הסכמתם על תגובה 428319, אז על מה הויכוח, בעצם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בכלל לא מפריע לי, רק רציתי לדעת באיזו מידה אני חריג מבחינת הפהקת שהנושא הזה מעורר בי. תמשיכו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסיתי להראות שמה שאנחנו קוראים לו ''פעולה בסיסית'' בטעות - ולכן המרכאות - יכול להיות מורכב מדברים יותר בסיסיים מתחת לפני השטח. אבל אתה צודק - אפשר לעזוב את זה וגם לי לא ברור על מה הויכוח, ואני לא מתפלא ששכ''ג מפהק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היה פעם הו-הה גדול ממעבדי RISC אצלם היה סט קטן של פעולות בסיסיות, אבל כל אחת מאלה התבצעה במהירות גבוהה מאד. בחמש עשרה דקות התהילה שלהם, מעבדים אלה נחשבו למבשרי העתיד. היום, דומני, עתידם בעברם. בגלל כל השאלות האלה היה מי שטען ש MIPS הוא ר"ת של Meaningless Index of Performance of Systems. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עתידם עמנו עדיין: מעבדים מודרניים הם למעשה ליבת RISC שמסמלצת מעבד וירטואלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה מראש על גסות הרוח: תמהני אם עוד מישהו בקהל מוצא את השאלות האלה לדבר המשעמם ביותר מאז "מלחמה ושלום". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''מלחמה ושלום'' דווקא די מעניין כל עוד טולסטוי לא נגרר לדיונים על מהות ההיסטוריה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת שדווקא קראתי עכשיו בעניין רב את כל הפתיל הזה. לא הבנתי כמעט כלום, אבל תמיד מצחיק לראות את סמיילי מתכתש עם אנשים חכמים שלא מבינים מה הוא רוצה. הקסם, כמובן, זה שמבחינה טכנית הוא תמיד צודק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא כל מה שמשעמם הוא לא נכון. מעבדי risc כוחם הולך וגדל בימינו (ככל שאני מבין) ולדוגמא: מעבדי arm בניידים הם סוג של מעבדי risc וכן המעבדים בלוחות גרפיים הם סוג של מעבדי risc. המהירות הגדולה בחישובים פשוטים של מעבדים גרפיים מאפשרת להעזר בהם כאשר למהירות החישוב יש חשיבות גדולה , להלן שלוש דוגמאות: א. גרפיקה של משחקים, ב. כריה של מטבעות קריפטוגרפיים, ג. חישובים לצורך בניית תוכנות AI שמבוססות על סקירה של נתונים שכמותם "אסטרונומית". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המעבדים הגרפיים שונים ממעבדי RISC: יש להם המון ליבות חלשות יחסית ולכן הם יכולים לחשב במהירות רבה יותר חישובים שאפשר לחלק לחלקים קטנים ובלתי תלויים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כן קינטור מיותר. גדי מבין טוב מאוד שמכונת טיורינג חד ראשית שקולה למכונה דו ראשית מבחינת כוח החישוב (מכונה אחת לא יכולה לחשב משהו שהשניה לא יכולה). להגיד בצורה פסקנית (כמעט דוגמטית) שכל מכונות הטיורינג שניתן להעלות על הדעת זה אותו הדבר *לכל דבר ועניין נקודה* זה כבר הגזמה מיותרת. המודל של מ"ט לא דטרמניסטית (למשל) הוא כן מודל מעניין בהקשר של דיון על סיבוכיות, למרות שניתן לסמלץ אותה באמצעות מ"ט דט'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי ספק שגדי יודע את זה טוב ממני. מציק לי שהוא לא מסביר את זה לאלמוני שנראה שלא ממש הבין את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, יש איזה מספר של ראשים שמעליו, למסמלץ מכונה עם מספר גדול עוד יותר של ראשים כבר לא עולה יותר מבחינת הסיכוכיות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו שאלה מעניינת (טוב, לא *עד כדי כך* מעניינת) שעליה אין לי תשובה. הניחוש שלי: לא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסיבה שזה נראה לי מעניין זה כי מכונה כזו יכולה להיות מודל חישובי פשוט-יחסית (בלי אריתמטיקה) שכן שקול בדיוק מבחינת הסיבוכיות להפשטה של מחשב מודרני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כבר מודל דומה - מודל ה-RAM, שמזכיר מחשב מודרני, עם רגיסטרים והכל. אפשר ללמוד משהו על כמה התיאורטיקנים של מדעי המחשב מתעניינים בו אפשר ללמוד מהפסקה שבה פרופ' עודד גולדרייך בוחר לפתוח את תת הפרק שעוסק במודל הזה בחוברת הקורס של "תורת החישוביות" בטכניון: "המוטיבציה להגדרה זו היא סכירת פיות "קטני-האמונה" הרגילים לזהות מחשב עם המודל של "גישה ישירה", אשר מכונת טיורינג הסדרתית היא לצנינים בעיניהם. מי שלא בא מרקע של מדעי המחשב המעשיים, ימצא את האפולוגטיקה בסעיף זה מיותרת, וטוב יעשה אם ידלג עליה". אני, אגב, מסכים. חישוביות הוא קורס מרתק, אבל יש בו תרגול אחד משעמם פחד - זה שבו מציגים את מודל ה-RAM. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מכיר את המודל הזה ומסכים עם מה שאתה אומר ומצטט עליו. הוא מסובך מדי. אם רוצים גישה ישירה, צריך כתובות, ואם צריך כתובות, אז צריך מספר אינסופי של ערכים לכל תא בסרט, ואם יש מספר אינסופי כזה של ערכים אז פונקצית צעדים פשוטה לא מספיקה, צריך אריתמטיקה, ואתה מוצא את עצמך עם מודל שבינו לבין מודל תיאורטי פשוט ומופשט אין הרבה. התאכזבתי ושאלתי את עצמי "מה, אין מודל _פשוט_ ששקול לו מבחינת הסיבוכיות?" | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, אבל אני לא חושב שזה מאכזב עד כדי כך. במכונת טיורינג משתמשים כדי למצוא את ההבדלים בין דברים שב-P ובין דברים שב-NP, למשל, לא כדי לראות איך אופטימיזציות יכולות לאפשר לנו לחשב את RSA יותר מהר. ניתוח סיבוכיות של אלגוריתמים שניתנים לפתרון יעיל ממילא מבוסס לרוב על בחירה של פעולה מסויימת בתור "הפעולה הבסיסית" שאותה סופרים, לא על ספירת הצעדים שמכונת טיורינג עושה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אפשר ללמוד משהו...אפשר ללמוד''. אבוי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי זה בכלל הגולדרייך הזה, אפילו את פרס ישראל הוא לא מקבל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיע הזמן לייבא מתמטיקאים וזמרות מהודו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הימניים (באוניברסיטת אריאל) הפכו את המחקר לכפוף פוליטיקה. לפי מה שהבנתי, הם פוסלים מחקר איכותי של מישהו רק משום שהוא ''שמאלני'' שמתנגד לאוניברסיטה בשטחים. מקווה שבג''ץ יעיף אותם (אם הבנתי את המצב). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שקצת התבלבלת, ה''ימניים'' פוסלים את הכבוד לפרופ' גולדרייך עצמו ולא את המחקר שלו. גולדרייך הוא זה שפוסל את המחקר של אונ' אריאל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עד עכשיו לא ראיתי עותק של העצומה עליה חתם גולדרייך וגם לא פרשנות אובייקטיבית לגבי העצומה. זה גורם לי לחשוב שההיתלות בעצומה היא סוג של רכילות כפי שנעשה לגבי מרעאנה (?) , אלא לגבי מרעאנה המידע על מה שאמרה היה גלוי ולכן פתוח לביקורת. כאן אפילו אין, לכאורה, פתח לביקורת הטענות נגד גולדרייך. לגבי המחקר שלו זה כנראה עניין ישן, ופרס ישראל לא מעלה או מוריד לגביו. מה שמטריד הוא צורת הסיכול שהופנתה נגדו בגלל עצומה בעלת משמעות שולית (בעיקר סוג של דיבור, לא משהו אופרטיבי, ובעיקר לא ברור מה הטיעונים בעצומה אולי הטיעונים ענייניים ). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין פה שום דבר סודי, וגולדרייך גם איננו מתנער מהדברים. פרס פרובינציאלי בישראל באמת איננו מעלה או מוריד מתרומתו של גולדרייך למדעי המחשב, שהיא משמעותית ברמה עולמית. הטיעונים בעצומות ובהתבטאויות של גולדרייך בהחלט ענייניים, הוא מביע בהם את דעתו הפוליטית. לו שאלו אותי, הייתי מאפשר לנבחר הציבור להחליט את מי ראוי לכבד ואת מי לא, גם משיקולים פוליטיים. אבל לא שואלים אותי, בית המשפט איננו מקבל שיקולים פוליטיים כנימוק לגיטימי, ואין לי כמעט ספק שבסופו של דבר יכפה על השר את הענקת הפרס. נראה שבסופו של דבר גולדרייך דווקא יהיה מרוצה, הוא יקבל את הפרס ללא הטקס וכך לא יצטרך ללחוץ את ידיהם של ''שני המנוולים הראשיים'', גלנט ונתניהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
„התבטאויותיו [...] הן צורמות, בוטות ועולבות בציבור שלם – אך אינן נוגעות במישרין לעשייה המקצועית שבגינה הוחלט להעניק לו את הפרס, ומשכך ובהיותן מוגנות על ידי חופש הביטוי אינן רלוונטיות להמלצת ועדת הפרס בעניינו״ | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דוגמה מצויינת. אני אומר שלו החליט שר החינוך שבשל התבטאויותיו של הרב אריאל לא ראוי להעניק לו את הפרס למרות הישגיו בתחום הספרות התורנית, היה מקום לאפשר לו לבטל את החלטת הוועדה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה העצומה ? אני לא מוכן לקבל פרשנות במקום הטקסט הגולמי עליו גולדרייך חתם. לא אופתע אם הטקסט עליו הוא חתם שונה מאוד מהפרשנות. זה שהטקסט הגולמי לא פורסם בשום מקום, ובמקום זאת מתפרסמות פרשנויות על מה שהוא אמר — נראה לי מטריד. גם לא ברור למי בדיוק כוונה העצומה, אם העצומה היא רטינה שמושמעת אל גוף חסר השפעה הרי אין שום חריגה מחופש הבעת דעה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |