בתשובה לראובן, 05/09/06 15:17
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אוקי. נתחיל בהילוכים מקריים. קח הילוך מקרי פשוט על השריג הריבועי (הנקודות בעלות קואורדינטות שלמות). עכשיו השאף את קנה המידה לאפס תוך שאתה משנה את הזמן ביחס לריבוע גודל השריג, כלומר אם ההילוך המקרי עושה צעדים בגודל שליש אז הוא עושה תשעה ביחידת זמן. מסתבר שקל (יחסית) להגדיר את הגבול של ההילוכים האלה וזו תנועת בראונית. את כל זה ניתן לעשות בכל מימד שהוא, אבל במימד 2 יש לתנועה בראונית תכונה נאה: היא אינווריאנטית להעתקות קונפורמיות. זו תכונה מאוד מפתיעה שכן לשריג יש מעט סימטריות (שיקוף וסיבוב בחצי פי). יתר על כן, בכלל לא חשוב עם איזה שריג עובדים, תמיד זה ישאף לתנועה בראונית (עד כדי מתיחה של אחת הקואורדינטות). לתהליך הזה (השאפת קנה המידה לאפס) קוראים scaling limit, ולתכונה האי-תלות בשריג קוראים אוניברסליות. אני מתאר לעצמי שאתה יודע את כל זה, אבל לטובת שאר הקוראים, הכל ברור? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
תוכל להבהיר את "תנועה בראונית היא אינווריאנטית להעתקות קונפורמיות"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה באמת לא היה מדויק. *המסלול* (כלומר בלי הפרמטריזציה של הזמן) של תנועה בראונית הוא אינווריאנטי להעתקות קונפורמיות. לא קשה להוכיח את זה - בסביבה קטנה, העתקה קונפורמית היא פשוט סיבוב והכפלה בקבוע (ממשי) ושניהם שומרים על המסלול של תנועה בראונית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחי, זה אני, כן? צריך להסביר לי לאט ובסבלנות. המסלול של תנועה בראונית *מסויימת* הוא אינווריאנטי, או שההתפלגות על כל המסלולים אינווריאנטית? ומדובר במסלולים היוצאים מהראשית, או שזה לא חשוב, או שהם אינסופיים בשני הכיוונים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הלהטרידני בדקדוקי עניות תאבה? :-) לענינינו, "תנועה בראונית" היא התפלגות על מסלולים (עם פרמטריזציה) המתחילים בראשית. ההתפלגות הזו אינווריאנטית לסיבוב (סביב הראשית). אם מתעלמים מהפרמטריזציה, אז ההתפלגות הזו גם אינווריאנטית להכפלה בקבוע (במרחב) שכן זה שקול להכפלה בריבוע אותו קבוע בזמן. תנועה בראונית היא גם חסרת זכרון, כלומר אם מתנים שבזמן t היא בנקודה x הרי שהתפלגות אחרי זמן t היא כשל תנועה בראונית שמתחילה ב-x. מכיוון שהעתקה קונפורמית בסביבה קטנה היא בקירוב סיבוב והכפלה בקבוע (= הכפלה בקבוע מרוכב שהוא הנגזרת באותה נקודה) הרי שההתפלגות של תנועה בראונית היא אינווריאנטית לה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה. אני צריך לחשוב על זה קצת... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבת על זה קצת? אתה עוד אתנו או שזה באמת רק ראובן ואני? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני תמיד, תמיד איתך ועם ראובן. ה"לחשוב על זה קצת" התייחס לנסיון להבין יותר טוב למה, בדיוק, ההתפלגות הזו היא שמורה קונפורמית, ואני עוד לא יכול לומר שאני ממש רואה את זה. חוץ מזה עוד לא הבנתי איך תגובה 408848 קשורה למשהו, אבל אני מניח שזה יגיע. אם ארגיש ממש תקוע, אשאל את שכ"ג. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא צריך אותי, פנה ישירות למר שדמי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(עוד שאלה: זה באמת רק העתקות קונפורמיות? כל אוטומורפיזם של המישור השומר על ההתפלגות הזו הוא העתקה קונפורמית?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במישור המרוכב, זו פונקציה גזירה חח"ע ועל איזשהו תחום. ד"א גם במימד גבוה יותר העתקות קונפורמיות שומרות על תנועה בראונית אבל שם החבורה הזו (כל ההעתקות הקונפורמיות) היא לא מענינת - היא רק סיבובים ווהכפלה בקבוע (גלובלית, לא רק לוקלית). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסתבר שטעיתי. במימד 3 (ומעלה) תנועה בראונית אמנם נשמרת תחת העתקה קונפורמית של כל המרחב לעצמו, אבל זה רק בגלל שהחבורה הזו לא מענינת, כאמור לעיל. לעומת זאת, יש העתקות קונפורמיות של חלק מהמרחב שתחתן ת"ב לא נשמרת, למשל אינוורסיה. בפרט, הסיבות האינטואיטיביות שנתתי בתגובה 407987 לא מספיקות להוכיח שת"ב נשמרת תחת העתקות קונפורמיות, עובדה שבשלושה מימדים זה לא עובד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שכן. אוטומורפיזם כאן זה רק חח''ע ועל, ולא צריך אוטומורפיזם של כל המישור, מספיק העתקה קונפורמית מתחום אחד על תחום שני, כלומר העתקת רימן. למעשה, את בעית דיריכלה (שהיא העיקר בהוכחת משפט רימן) אפשר לפתור באמצעות תנועה בראונית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואו. ובמה מתבטאת המקריות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את שתי השאלות. 1) המקריות מתבטאת בכך שתנועה בראונית היא *התפלגות* על מסילות. 2) איזה כשל? מהו זמן T? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכשל וזמן T מ-<תגובה 407987 איזה עוד תכונות יש לתנועה בראונית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כשל" במובן "כמו של". או שמא זו היתה בדיחה? עוד על תנועה בראונית (חד מימדית): |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה. הממ.. תראה ציפור! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(.. אמר האיש שנפל מגג הבנין בהגיעו לקומה הראשונה) עכשיו נגדיר Loop Erased Random Walk - LERW מתחילים בראשית ועושים הילוך מקרי רגיל. אלא ברגע שמגיעים לנקודה בה כבר ביקרנו, כלומר נוצרת לולאה, מוחקים את הלולאה וממשיכים הלאה. מכיון שהילוך מקרי במימד 2 הוא נשנה (כלומר חוזר לראשית בהסתברות 1) יש לנו בעיה: מתישהו נחזור לראשית ונמחק את הכל, כך שלא ברור מהו המסלול ה"סופי" שמתקבל. כדי להתגבר על כך, ניקח איזשהו תחום מסביב לראשית ונעצור את התהליך שלנו ברגע שהגיע לשפת התחום.עכשיו, נניח שאנחנו מחפשים scaling limit של התהליך הזה. ה-LERW שלנו הוא פונקציה של ה-RW שלנו, וה-RW שואף לתנועה בראונית (שהיא אינווריאנטית קונפורמית), למה שואף ה-LERW והאם הדבר הזה הוא אינווריאנטי קונפורמית? גישה נאיווית היא לנסות להגדיר Loop Erased Brownian Motion. זה לא עובד כי ל-BM יש הרבה לולאות (קבוצה צפופה, בפרט אין לולאה ראשונה) וסדר המחיקה של הלולאות חשוב. בקיצור, לא עובד. ב-1999, עודד שרם הוכיח שאם יש גבול ל-LERW ואם הגבול הוא אינווריאנטי קונפורמית אז הגבול הזה הוא SLE2. מה זה ולמה עוד זה טוב? בתגובה הבאה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק ליישר קו(pun intended): בוחרים נקודה במישור ומקיפים אותה בעיגול (נניח, אפשר גם משהו אחר). מסתכלים על *כל* הRW שמתחילים בראשית ומסתיימים בעיגול (לא ממשיכים לאחר שפוגעים בעיגול ). מדובר במספר סופי של מהלכים כאלה (על סריג). מכל הילוך זורקים את הלולאות, זהו ה LERW. חלק מההילוכים נותנים את אותו LERW. עכשיו לוקחים את גבול הרצף של העניין - סריגים הולכים ומתעדנים. כשאתה אומר "יש גבול לתהליך" אתה מתכוון (נדמה לי) לכך שאם נצייר שתי "גדרות" בין הראשית לבין העיגול, שתוחמות "שביל", ונסתכל על ביחס בין מספר ה LERW שבתוך השביל, ובין סך כל ה LERW, היחס הזה ישאף לקבוע כאשר נעדן את הסריג, *לכל* שביל שנבחר. כשאתה אומר "הגבול הוא אינווריאנטי קונפורמית" אתה מתכוון שאם נעשה העתקה קונפורמית לעיגול, לנקודה ולשביל, היחס שחישבנו מקודם לא ישתנה. חסרה לי עדיין ההגדרה ל SLE. ואני לא יודע האם שני RW שונים שנותנים את אותו LERW נספרים פעמיים בהתפלגות. האם הבנתי את כוונתך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגדול, כן. תיקונים: יש אינסוף מסלולים אפשריים של RW שמתחיל בראשית ומסתיימים בעיגול. אחרי שמוחקים לולאות מקבלים מספר סופי של אפשרויות. מסלול של LERW מספר לפי סכום ההסתברויות של RW שנותנים אותו (לא לכל ה- RW יש אותה הסתברות, כיון שאינם באותו אורך). אם לא היית "סופר פעמיים", כלומר היית לוקח התפלגות אחידה על כל המסלולים שלא חותכים את עצמם (מספר סופי), היית מקבל את מה שנקרא Self Avoiding Random Walk - SARW 1. על SARW יודעים הרבה פחות מאשר על LERW. אאל"ט, לא יודעים להוכיח שיש גבול-קנה-מידה אלא רק במקרים מיוחדים. למעשה, LERW הוצע בתור פישוט של SARW. כמובן שגם SARW שייך לעסק. אם יש גבול ל-SARW והוא אינווריאנטי קונפורמית אז הוא SLE8/3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טעות שלי-מסכים שיש אין סוף RW(אפשר ללכת קדימה אחורה על אותו המקטע לנצח). מה הקשר בין האורך של המהלך להסתברות שלו? האם צריך לנרמל לפי מספר ההילוכים האפשריים באורך נתון? הSARW מוכר לי היטב כמודל לפולימרים ואכן דופלנטיה]1[ (או קארדי, אני מתבלבל) הסיק מסקנות רבות לגבי גבול-קנה-המידה, כנראה בשיטה שאתה מתאר ובאמת לא הבנתי אף פעם איך הוא עשה את זה. 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תראה, ההסתברות לעשות את המהלך <ימינה, למעלה, ימינה, שמאלה, למעלה, למעלה> (נניח שיצאנו מהכדור) היא 1/4 בחזקת 6. לכל צעד ההסתברות היתה 1/4 והיו שישה צעדים. על כן, הילוך ארוכים יותר הם מסתברים פחות. עכש"י, כל המסקנות של פיזיקאים בתחום לא באות מ-SLE אלא ממשהו שנקרא Conformal Field Theory - CFT. גם Quantum Gravity היא זימזומילה שנתקלתי בה. על הדברים האלה אין לי ולו שמץ של מושג (בינתיים). אני אנסה לקרוא קצת במאמר שנתת, נראה אם אבין משהו. גם אני נתקלתי באזכורים של SARW כמודל לפולימרים. מה שלא ברור לי הוא האם/למה זה מודל טוב. מבחינה מתמטית הוא נורא מסובך וקשה לי לראות מה האינטואיציה פיזיקלית מאחוריו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר- אני בונה את כל ההילוכים באורך N. עבור כל אחד מהם-אם הוא פוגע בעיגול לראשונה ב N, אני מוסיף אותו לאוסף, עם הסתברות של 4 במינוס N , אחרת אני זורק אותו. חוזר על התהליך עם N+1 וכולי, ואז מנרמל שוב כדי שסכום ההסתברויות יצא 1? בCFT אני מבין אפס, אבל אני יודע שהפילדס של וויטן קשור לכך איכשהו. ההנחה היא שפולימר בתמיסה דוגם את כל המצבים האפשריים שלו בהסתברות שווה. לפיזיקאים גם יש דרכים מופלאות לפתור את המודל (לא רק בסימולציות) ולהשוות לניסויים. למשל, הם הגיעו למסקנה שמספיק להסתכל על הילוכים אקראיים בהם ההסתברות מונחת מעט בכל חיתוך1. אופציה אחרת היא תובנה מקסימה של דה-ג'ן משנות השבעים- SAW על סריג נראה בדיוק כמו הדיאגרמות של תורת ההפרעות של תורת שדה מסויימת2. 1 ספר מעניין (אבל קשה) שאפשר להוריד חינם, נמצא כאן: (צריך לגלול לקראת הסוף עד שרואים For the PDF files of the fourth edition click this line! ) 2 פרק 3.2 כאן (בכלל נראה כמו סקירה מעניינת ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל הענין הוא שלא צריך לנרמל, סכום ההסתברויות יצא 1. זה יהיה ברור אם תסתכל על הזמן הראשון, T, שההילוך (האינסופי) פוגע בעיגול. מה שאתה חישבת זה בעצם את הסיכוי ש T=N לכל N וסיכמת. מכיון שההילוך פוגע בעיגול בסיכוי 1, זה גם מה שיצא לך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן. מה שמוכיח כמה שאני חלוד. אגב- זה הזמן לשאול האם לא עדיף להעביר את הדיון לערוץ פחות ציבורי. מאז הפתיל של שוקי על הניוטרינואים נדמה לי שלא היה כאן משהו כל כך צר וטכני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולגדוע באיבו את הדיון היחיד המחדש משהו באייל בזמן האחרון1? 1 תגובה 408677 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נתחיל ב-LE. נגדיר רצף של פונקציות קונפורמיות המוגדרות ב(חלק מ-) חצי המישור העליון (לא כולל הישר הממשי) ושהן על חצי המישור העליון ומקיימות את המשוואה: g'_t(z)=2/g_t(z) כאשר הנגזרת היא לפי t, ותנאי ההתחלה הוא g_0(z)=z.אם נהרהר קצת נגיע למסקנה כי עבור t מסוים g_t מוגדרת על חצי המישור העליון פחות קטע מעל הראשית. עבור נקודה z בקטע הזה המסלול שלה g_t(z) מגיע לראשית בזמן סופי, שאז המשוואה לא מוגדרת ובכלל דרשנו ש-g_t תהיה על חצי המישור העליון, לא כולל הישר הממשי. עבור הקורא הנבוך הנה גם הפתרון המפורש: g_t(z)= sqrt(z^2+4t) והקטע בו הפונקציה g_t לא מוגדרת הוא [0,2sqrt(t)i].כה רחוק כה טוב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמעט. אני מבין שה*משוואה* לא מוגדרת (אם כי, כשאני מסתכל על המשוואה עבור הריבוע של g_t הכל נראה בסדר), אני לא מבין למה הפונקציה עצמה לא מוגדרת. צריך אמנם להגדיר branch cut עבור השורש, וטבעי להגדיר אותו על הקטע הנתון, אבל האם זה כורח המציאות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא זה לא כורח המציאות, אבל המטרה שלי היא ש-g_t תהיה פונקציה קונפורמית מאיזשהו תחום על חצי המישור העליון. במקרה הזה אם המסלול של g_t(z) מוביל אותה לישר הממשי אז z היא מחוץ לתחום ההגדרה. עוד אח"כ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נמשיך. עכשיו נניח שהמשוואה היתה g'_t(z)=2/(g_t(z)-a) כאשר a מספר ממשי. אז הכל אותו דבר עם a במקום הראשית.עכשיו במקום a שים a_t פונקציה ממשית ורציפה של הזמן. אם הפונקציה הזו מספיק יפה אז הפונקציות g_t מוגדרות בתחום שהוא חצי המישור העליון פחות איזושהי עקומה, c. אם a_t=0 תמיד אז העקומה הזו היא הישר המדומה. גם ההיפך נכון: לכל עקומה (אולי צריך עוד תנאים) אפשר למצוא פונקציה a_t שתיתן אותה. הפונקציה הזו נקראית driving function. כל זה נקרא Loewner evolution. לבנר פיתח את זה בשביל להוכיח חלקית את השערת ביברבאך. הסטוכסטיות תבוא מחר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, עוד תגובה אחת, רק למען השלמות. כפי שכתבתי, אם הפונקציה a_t יפה מספיק מקבלים עקומה רציפה c ורצף של פונקציות קונפורמיות g_t מחצי המישור פחות העקומה עד זמן t על חצי המישור. עכשיו ניקח את a_t להיות תנועה בראונית (חד מימדית) עם מהירות k. תנועה בראונית היא לא פונקציה כל כך יפה אבל מסתבר שהיא בדיוק מספיק יפה בשביל לקבל עקומות כנ"ל. ההתפלגות המתקבלת על עקומות היא SLEk. באופן מפתיע ביותר, למרות ששינוי מהירות של התנועה הבראונית לא משנה שום תכונה מהותית, הרי של-SLEk יש תכונות שונות מאוד בהתאם ל-k. ככל ש-k יותר גדול כך העקומה המתקבלת יותר "פרועה". אם k<4 מקבלים עקומה פשוטה (לא חותכת את עצמה), בעוד שעבור k>4 העקומה כן חותכת את עצמה (נוגעת בעצמה1, ליתר דיוק). אם k>8 אז העקומה כבר ממלאת שטחים. עבור כל מיני ערכים של k יש ל-SLEk תכונות מיוחדות. בפרט עבור k=6 (ורק עבורו) מקבלים תכונה שנקראית לוקליות. גבול-קנה-מידה של פרקולציה קריטית צריך לקיים את התכונה הזו. עם עוד קצת עבודה אפשר להוכיח שאם גבול-קנה-המידה של פרקולציה קריטית הוא אינווריאנטי קונפורמית2 אז הוא SLE6. בצורה דומה לגק"מ של SARW צריכה להיות תכונת ההגבלה (restriction) שיש רק ל-SLE8/3. נראה לי שמיצינו את קיבולת החידושים של האייל. 1 נשמע כמו פורנו ביזארי במיוחד - "העקומה נוגעת בעצמה" שלא לדבר על "חותכת את עצמה". 2 וזה מוכח רק עבור השריג המשולשי בדרכים שאינן קשורות ל-SLE. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני עוד תקוע בתגובה הקודמת, אבל בינתיים, תזכיר לי מה זה "מהירות" של תנועה בראונית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תנועה בראונית סטנדרטית נעה במהירות 1 - כלומר בזמן t התפלגות המיקום שלה היא נורמלית עם שונות t. תנועה בראונית במהירות k היא שינוי של הזמן פי k, כלומר, בזמן t היא מתפלגת נורמלית עם שונות kt. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יעני, קבוע הדיפוזיה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתאר לעצמי שימצא מי שירצה לקרוא לזה ככה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך שינוי הזמן פי k יכול לשנות משהו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, בגלל זה כתבתי שזה מפתיע ביותר. מעבר לזה, אני לא יודע את החומר מספיק טוב בשביל להסביר באופן לא טכני. בכל זאת: יש כאן שני תהליכים שמתפתחים בזמן: המשוואות הדיפרנציאליות והתנועה הבראונית. הפרמטר k קובע את יחסי הכוחות. עבור z קבוע, ההתפתחות של g_t(z) "מושפעת" יותר מהתנועה הבראונית ככל ש-k גדול יותר. מסתבר שעל הסקאלה של k יש מעברי פאזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני קצת איטי, כשאתה אומר שהזמן משתנה פי k אתה בעצם משנה את ההגדרה של התנועה הבראונית (שהיא השאיפה של ההילוך השיכור על השריג תגובה 407955)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא שאתה איטי, זה שהזמן משתנה מהר יותר (k>1). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |