בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 18/11/05 20:55
תשובה לאח של אייל 347306
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 19/11/2005, 9:11
יש הוכחה פשוטה למשפט על השורש המרובה של פולינום?
תשובה לאח של אייל 347308
אלון עמית • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 19/11/2005, 9:16
כן.
תשובה לאח של אייל 347310
האייל הצעיר • בתשובה לאלון עמית שבת, 19/11/2005, 9:32
אה, טוב לדעת. באופן טבעי, אני גם אשמח אם אתה או גדי תכתבו את ההוכחה.

אגב, יופי של כותרת יש לפתיל הזה.
תשובה לאח של אייל 347313
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 19/11/2005, 9:54
לא מסובכת כל כך אבל טכנית, אני אנסה לאלתר כי אין לי את זה לידי. קודם כל, מדובר בפולינומים מעל שדה (אני לא יודע מה קורה מעל חוג) ואנחנו מדברים על מה שקורה מעל שדה שבו הם מתפצלים (כלומר, יש להם את כל השורשים) ועל פולינומים *מתוקנים* (עם מקדם מוביל 1) מעל השדה הזה (בגלל שאנחנו מעל שדה תמיד אפשר לחלק במקדם המוביל ולקבל פולינום מתוקן).

עכשיו בוא ניקח את הפולינום שלנו, ויהא a שורש שלו. אז אפשר לכתוב את הפולינום בצורה הבאה:

f(x)=(x-a)^n*g(x)

כאשר g(x) לא מתאפס על ידי a. (כלומר, n הוא הריבוי של a).

נגזור את זה על פי כללי הגזירה הרגילים (אפשר להוכיח שהם תקפים גם עבור נגזרת פורמלית):

f'(x)=n(x-a)^(n-1)*g(x)+(x-a)^n*g'(x)=(x-a)^(n-1)(n*g(x)+(x-a)g'(x))

אבל שים לב שהביטוי הימני מבין השניים לא מתאפס על ידי a. לכן a הוא שורש משותף של f והנגזרת שלו אם ורק אם הוא שורש מרובה של f (כלומר, אם n גדול מ-‏1 ולכן n-1 הוא לא אפס).

עכשיו, אם יש ל-f ולנגזרת שלו שורש מרובה ברור שהמחלק המשותף המקסימלי גדול מ-‏1 (כי x-a כש-a הוא השורש מחלק את שניהם). אם המחלק המשותף המקסימלי של שניהם גדול מ-‏1 הוא מדרגה 1 ומעלה (הוכח!) ולכן יש לו שורש (אנחנו הרי בשדה שבו יש ל-f את כל השורשים) - והשורש הזה יהיה שורש משותף ל-f ולנגזרת שלו...

(עכשיו יבואו אלון ועוזי ויתקנו את כל המקומות שבהם טעיתי).
תשובה לאח של אייל 347318
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 19/11/2005, 10:35
תודה רבה.
תשובה לאח של אייל 347531
עוזי ו. • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום א', 20/11/2005, 1:32
רק שתי הערות:

1. הצגת את הוכחת המשפט כאשר השדה סגור אלגברית. אבל המקרה המעניין הוא כאשר צריך לחפש את השורשים בשדה גדול יותר (אחרת אפשר לטפל בשורש ישירות ולבדוק אם הוא מופיע פעם אחת או יותר).

כדי לקבל את המקרה הכללי מספיק לשים לב שחוג הפולינומים מעל שדה הוא תחום ראשי. לכן, אם שני פולינומים מעל השדה הנתון זרים זה לזה, הם ישארו זרים לעולמי עד (ולא משנה כמה נגדיל את השדה).

2. המשפט נשאר נכון גם מעל תחומי שלמות שהם integrally closed, כמו למשל חוג השלמים, לפי הלמה של גאוס.
תשובה לאח של אייל 347541
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לעוזי ו. יום א', 20/11/2005, 7:06
1. צודק. תודה - אף פעם לא חשבתי על הנקודה הזו בתור ה"עוקץ" של המשפט...
חזרה לעמוד הראשי
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש והצהרת נגישות © כל הזכויות שמורות