בתשובה לעוזי ו., 30/10/05 17:24
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"בטרמינולוגיה המתמטית אפשר להשתמש לשתי מטרות: להוכיח טענות, או לתאר מבנה. את הראשון אינך עושה בכלל. כדי לתאר למתמטיקאי-עמית את התאוריה שלך על "המרחב הפנימי של מספרים טבעיים" הייתי אומר משהו כזה: - תחשוב על עץ סדור (סופי) עם שורש. מספר הקודקודים של העץ זה 'המספר' של העץ. [הוא מניד בראשו קלות; בשביל מה אני צריך להמציא שם חדש למושג כל-כך פשוט]. כל קודקוד הוא השורש של העץ הקטן המתקבל מגיזום העץ המקורי ממש מעליו. עכשיו תדביק לכל קודקוד את חבורת האוטומורפיזמים של העץ שלו. לזה אני קורא "סימטריה" ["שיהיה", הוא מהנהן בסבלנות. "ומה הלאה?"] זהו. אין הלאה. זה מה שרציתי להגיד. כמו-כן הכנתי רשימה של כל העצים שהמספר שלהם הוא 5. יש 46 כאלה! [הוא כבר לא שם]" עוזי, היררכית פון-נאומן המשמשת כשיטה לייצוג המספרים הטבעיים ע"י קבוצות ריקות, מבוססת על עץ בינרי http://www.geocities.com/complementarytheory/VONTREE... . עץ זה הוא תוצר האקסיומות המגדירות את המספר הטבעי, ואנו רואים כי לפי אקסיומות אלה הן הכמת והן הסדר ידועים היטב, כי יתירות ואי-וודאות אינן משמשות כתכונות מסדר ראשון במערכת האקסיומטית הנדונה. בעבודתי אני מרחיב את מושג הסדר ועל ידי שימוש ריגורוזי ביתירות ואי-וודאות כתכונות מסדר ראשון, אני מסוגל להגדיר מספר רמות מובחנות המתקיימות בין אי-מובחנות מלאה (שבה כל איבר בקבוצה יכול להחליף מקומות עם כל איבר אחר בקבוצה, מבלי שניתן יהיה להבחיו בכך) למובחנות מלאה, שבה כל החלפת מקומות בין איברים מובחנת היטב. יש ברשותי את האלגוריתם המדוייק ש: א) מסוגל לחשב את הכמות הכוללת של מצבי המובחנות השונים. ב) מסוגל לתאר בצורה סדורה את כל מצבי המובחנות מן הלא-מובחן עד למובחן. ג) היות ואנו עוסקים בהרחבת תכונה יסודית של המספר הטבעי והיא תכונת הסדר, הרי שלא ניתן להשתמש במספר הטבעי הרגיל כדי לתאר באופן מלא את מבנהו הפנימי, ולכן משמש המספר הטבעי הרגיל רק כאינדקס שאינו מסוגל לספק את המידע המלא על מצבי המובחנות השונים שהוא מאנדקס. משמעות הדבר היא, שאין כאן שימוש במספר טבעי כדי להגדיר מספר טבעי, אלא יש כאן הרחבה של תכונה יסודית שלו, אשר חורגת, לדוגמא, מעבר למגבלות היררכיית פון-נאומן, ומעשירה לעין ערוך את מושג המספר הטבעי. בתוך מרחב פנימי זה מקיימות הפעולות האריתמטיות כפל וחיבור יחס משלים, אשר אינו משנה את הקרדינל של המספר הטבעי אלא משנה את דרגת המובחנות של תכונת הסדר שלו. המתמטיקה הרגילה כל מספר טבעי הינו אלמנט אחד ויחיד לכל מספר טבעי ולכן אין שום הבדל בין 1*4 ל- 1+1+1+1 וכמו כן לביטוי כמו 2+3 יש תוצאה אחת בהתאם למערכת החישוב (אריתמטיקת-שעון, וכו'). במתמטיקה המונדית ניתן לקבל עולם פעולות אריתמטיות עשיר לעין ערוך, כי ל-2 יש 2 גרסאות, ל-5 יש 24 גרסאות , ל-7 יש 236 גרסאות ל-10 יש מעל ל-9000 גרסאות ולכן התוצאות האריתמטיות משתנות בהתאם לגרסת המספר שאנו בוחרים לשלב בפעולה האריתמטית. עושר זה מתקיים כבר ברמת היסוד של המספר הטבעי, ולכן הוא משפיע על כל האריתמטיקה שיש בה שימוש בייצוגים של מספרים טבעיים. שיטת הייצוג הלינארית המבוססת על בסיס/חזקה הופכת למקרה פרטי מני רבים, והשיטה החדשה מאפשרת לבנות מספרים שהם תערובת של בסיסים שונים, כאשר כל בסיס הינו ייצוג של דרגת מובחנות רצויה. בכך מועשרת יכולתנו לתאר בצורה מדוייקת מודלים מספריים הרבה מעבר למערכת הייצוג הקיימת, כאשר דרגות המובחנות המתאימות לנו ניתנות לכיול ולעידון באופן שלא מתאפשר על-ידי מערכת המספרים הקיימת, שייצוגיה אינם אלא מסלולים לינאריים יחידים המורכבים מערכים שלא ניתן לכייל את דרגת מובחנותם, ומסלולים אלא אינם אלא מקרה פרטי סדרתי של מספר טבעי חדש, המתקיים במתמטיקה-המונדית כשילוב בר-כיוונון שבין מצב מקבילי למצב סדרתי. כמו כן, המרחב הסדור של המספרים הטבעיים של המתמטיקה המונדית, הינו מעין "מפת-מנדלייב" של סימטריות, המאפשרות לנו למצוא את הזיקות השונות שבין הסימטריות, ובכך להעמיק ולהעשיר את הבנתנו הנובעת כתוצאה מניתוח הקשרים העמוקים ביניהם. המתמטיקה-המונדית יכולה להיות מיושמת טכנולוגית בשניי תחומים עיקריים: א) בגלל עושרה היא מתאימה במיוחד לעסוק בחקר מערכות מורכבות המקיימות דרגות חופש רבות ומקדם אי-וודאות ויתירות גבוהים. ב) היות ויסודותיה של המתמטיקה המונדית נובעים ישירות מחקר תכונותיה הלא-אישיות של התודעה, ניתן להשתמש בה בשיטה לחקר התודעה ולפתח דרכה שפה העוסקת במה שאני מכנה "הטכנולוגיה של התודעה". אנשי המקצוע בתחומים שאני נוגע בהם אכן חייבים להעמיד כל רעיון במבחן, בהתאם למערכת הכללים והמושגים של קהילתם, ואפשר ללמוד עד כמה קשה היה להטמיע רעיונות המקובלים כיום כמו מושג המספר השלילי, מושג המספר הדימיוני, אוספים אינסופיים וכו'. המקרה שלי יוצא-דופן בחומרתו, כי איני מנסה להוסיף אלמנט חדש לעולם קיים, אלא אני מרחיק לכת עד כדי שינוי מהותי במושגים המכוננים של שפת המתמטיקה עצמה כאשר כמעט ואיני משאיר שום מושג יסוד על כנו. המהפיכה העמוקה ביותר הינה ביסוסה של המתמטיקה לא על הגדרות פורמליות גרידא, אלא על תובנות הנובעות במישרין ובעקיפין מחקר יכולותיה המובנות והלא-אישיות של התודעה להמציא/לגלות ולהשתמש במתמטיקה. זו איננה המתמטיקה הרגילה, אלא (כפי שאמרתי לעיל) שימוש בעקרונותיה כבסיס לפיתוח מה שאני מכנה "שפת הטכנולוגיה של התודעה", שבה התודעה עצמה הינה חלק אינהרנטי ומרכזי של פיתוח שפת המתמטיקה. גישה זו מנסה לחקור את מושג התודעה ע"י שימוש במושג הסימטריה, ולאורך חקירותי ב-25 שנים האחרונות גילתי/המצאתי את הזיקות שבין תכונותיה הלא-אישיות של התודעה לסימטריה. רוב המדע המודרני ב-500 שנים האחרונות מבוסס על הרחקת רציותיו או תכונותיו של החוקר עצמו על מנת לאפשר פיתוח הבנה אובייקטיבית של מרחב החקירה, אך לדעתי, מגיע השלב שהתעלמות מוחלטת מהחוקר והניסיון לקבעו כצופה אובייקטיבי שאינו קשור או משפיע על הנחקר, מפתחת גישה לא ראלית שאינה עולה בקנה אחד עם הצורך להבין את ההיזון-החוזר הקיים בין החוקר לתוצריו, והשפעתם עליו ועל סביבתו הקרובה והרחוקה במקום ובזמן. המדע המודרני פותח הודות לגישה אובייקטיבית זו, אך גישה זו אינה יכולה להתעלם כליל משאלות קיומיות באשר לשימוש בטכנולוגיות רבות העוצמה העומדות לרשותנו ויכולות להשפיע עמוקות על עתידנו בתוך פרק זמן קצר ביותר. זהו, לדעתי, הזמן להחזיר את החוקר למרחב החקירה, אך לא כגורם ערטילאי המבוסס על שיטות מיסטיות, אלא נהפוכו , יש להשתמש בשיטות המדעיות שפותחו ב-500 שנים האחרונות, כדי להחזיר את החוקר למרחב-החקירה באופן נבון ומפוכח, ואחת הדרכים לעשות זאת היא להשתמש בשפת המתמטיקה ככלי מועדף לחזרה מפוכחת זו. אנו יודעים היום, כי לא קיימת מחיצה אמיתית בין העולם הנחקר על ידינו לביננו, וכי התנהלות תבונית בעולמנו המשופע בטכנולוגיות רבות עוצמה, מחייבת חינוך לאחריות תוך שילוב תבוני של כישורינו הלוגיים עם כישורינו האתיים למערכת משולבת תומכת-חיים. המתמטיקה-המונדית היא ניסיון להגדיר את תוואיה הראשוניים של מערכת משולבת זו, וכפי שאמרת בחכמה, היא לא תיקלט ותתפתח ללא קהילה. ב-4 השנים האחרונות פיתחתי את המערכת תוך אינטרקציה אינטנסיבית ביותר של כ-7 שעות ביום, עם אלפי אנשים, חובבים ומיקצועיים מכל רחבי האינטרנט, וכתוצאה מאינטרקציה זו התפתחה המערכת ללא הכר, והיום ניתן לדון בעזרתה ביסודות שפה-מתמטית המבוססת על התודעה כגורם מכונן, כאשר גורם זה אינו מבוסס על ערטילאיות מיסטית אלא דווקא על תובנות רציוניליות ועיקביות. בימים אלה הולכת המתרקמת קהילה של אנשי חינוך המעונינים במחקר בכיוון זה, ואני מקווה כי תמצא עניין במחקר מעין זה לשם פיתוח והעצמת רעיונותיך שלך. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
מכל התגובה הזאת, בחרתי להגיב כרגע על משפט אחד, שלדעתי הוא חשוב במיוחד: "היות ואנו עוסקים בהרחבת תכונה יסודית של המספר הטבעי והיא תכונת הסדר, הרי שלא ניתן להשתמש במספר הטבעי הרגיל כדי לתאר באופן מלא את מבנהו הפנימי". מדוע לא? המספרים המרוכבים הם הרחבה של המספרים הממשיים, לדוגמה, ובכל זאת ניתן לתאר אותם כזוגות סדורים של מספרים ממשיים. דוגמה פשוטה יותר: המספרים הרציונליים (החיוביים) הם הרחבה של המספרים הטבעיים, ובכל זאת הם ניתנים לתיאור כזוגות סדורים של מספרים טבעיים זרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מדוע לא?" מכיוון שהמספר הטבעי הרגיל הוא אלמנט שבו הכמות והסדר ידועים היטב. אלמנט זה אינו יכול לתאר את האלמנטים השווים לו מבחינת הכמות, אך הסדר שלהם אינו ידוע-היטב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהמשך לתגובה קודמת, ראה נא כיצד המספר הטבעי הרגיל (המסומן בכחול) שבו הכמות והסדר ידועים היטב, אינו מסוגל לתאר אף אחד מאלמנטים הסגולים, שהסדר בהם אינו ידוע היטיב: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלוהים ישמור, 7 שעות ביום? אתה גם עובד? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על זה אתה אומר "אלוהים ישמור"? מה עם "קהילה של אנשי חינוך המעונינים במחקר בכיוון זה"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מה עם "קהילה של אנשי חינוך המעונינים במחקר בכיוון זה"?" אייל צעיר, חבריי ואני הגענו למסקנה שהדרך היחידה להצליח בלימוד המתמטיקה-המונדית היא לגדל דור חדש של אנשים, כי הנסיון המצטבר מראה שמתמטיקה-המונדית כמעט ולא ניתנת להבנה ע"י אנשים שכבר אמונים על המתמטיקה הרגילה. אין אני רואה בזה שום פסול אלא עובדה שיש להתיחס אליה ולפעול בהתאם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כהמשך לתגובה קודמת אוסיף כי הסיבה העיקרית לכשל בנסיון ללמד מתמטיקה-מונדית מתמטיקאים מקצועיים, נובע בעיקר מאי-יכולתם להבין את עקרונות הלוגיקה המשלימה המתקיימת כסינתיזה בין תיזה לאנטי-תיזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן יקירי | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |