בתשובה להאייל הצעיר, 06/09/05 17:05
אחדות המתמטיקה 327965
עוזי ו. • בתשובה להאייל הצעיר יום ג', 6/9/2005, 20:15
נדמה לי שבמצב העניינים הנוכחי, זה לא נכון ש"המתמטיקאים יכולים להמשיך לעבוד בשקט". יש שאלות מהותיות על מבנה היקום (באיזו יריעה מדובר; אצל ניוטון היה מדובר ב'מרחב אוקלידי', עם אורך-רוחב-גובה בלתי תלויים, מה שהמתמטיקאים קוראים R בשלישית; אצל (מינקובסקי ו)איינשטיין עברו לדבר על יריעה תלת-ממדית הכוללת ממדי זמן ומרחב, תחת האילוץ t^2-(x^2+y^2+z^2)=1. אם רוצים לאחד את מכניקת הקוונטים עם הגרביטציה, מתברר שזה פשוט מדי), שהפתרון להן צריך לבוא ממיון של יריעות אלגבריות עם תכונות מסויימות.
האינטואיציה הפיזיקלית אמורה לתרום את האקסיומות שהמרחב יקיים, והמתמטיקה את המיון של מרחבים שעונים על כל הדרישות. בהמשך תבוא מתמטיקה שלמיטב ידיעתי עדיין לא קיימת, ותצליח לחשב עבור כל מועמד את 19 הקבועים היסודיים שבאים איתו (מסת האלקטרון, למשל). אז יבוא תורם של הנסיונאים שיצטרכו לבחור מהקטלוג את היקום האמיתי.
אחדות המתמטיקה 327976
האייל האלמוני • בתשובה לעוזי ו. יום ג', 6/9/2005, 20:52
אתה יכול להסביר קצת מה פירוש "מיון של יריעות אלגבריות עם תכונות מסוימות"?
אחדות המתמטיקה 328009
עוזי ו. • בתשובה להאייל האלמוני יום ג', 6/9/2005, 22:50
זה המשפט היחיד מכל התגובה שאני באמת מבין...
הכוונה היא למצוא (עד כדי 'שקילות', שהיא משהו שאתה יכול להגדיר כרצונך) את כל היריעות האלגבריות שמקיימות תכונות מסויימות. כדוגמא ל"תכונות מסויימות", יריעות Calabi-Yau שמופיעות בתורת המיתרים הן יריעות רימן קומפקטיות שנושאות תבנית סימפלקטית תואמת, ומחלקת Chern הראשונה שלהן מתאפסת.
אחדות המתמטיקה 328011
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לעוזי ו. יום ג', 6/9/2005, 22:53
הכל ברור, חוץ ממילה אחת: מה זו "יריעה"?
אחדות המתמטיקה 328029
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ג', 6/9/2005, 23:55
יריעה (manifold) היא מרחב טופולוגי שנראה לוקלית כמו R^n.
דוגמא טריויאלית: R^n
דוגמא פחות טריויאלית: הספרה ב-R^n היא יריעה קומפקטית n-1 מימדית.
דוגמא עוד פחות טריויאלית: (פני השטח של) הטורוס הוא יריעה קומפקטית ממימד 2.
דוגמא לגמרי לא טריויאלית: (פני השטח של) בקבוק קליין הוא יריעה קומפקטית דו-מימדית שאינה ניתנת לשיכון ב-R^3.
אחדות המתמטיקה 328060
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ד', 7/9/2005, 7:02
מה הכוונה המדוייקת ב"נראה לוקלית כמו"?
אחדות המתמטיקה 328065
אלון עמית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ד', 7/9/2005, 8:14
לכל נקודה יש סביבה כך ש-.

(זה "לוקלית". במקרה שלנו, לכל נקודה יש סביבה הומיאומורפית למרחב אוקלידי.)

זה סוג פשוט (או מסובך, תלוי בהשקפה) של יריעות. במקרים אחרים, דורשים גם משהו מהפונקציות ש"תופרות" את הסביבות הללו אחת לשניה (ההרכבה של R^n->יריעה->R^n שהולכת דרך סביבה אחת וחוזרת דרך אחרת, חופפת לה); אפשר לדרוש שתהיינה גזירות n פעמים, אנליטיות-ממשיות, אנליטיות-מרוכבות, לינאריות-למקוטעין, ועוד. כל בחירה כזו יוצרת תורה אחרת של יריעות, והתורות הללו שונות למדי זו מזו.

אגב, עוזי דיבר על "יריעה אלגברית" שזה משהו אחר קצת: Algebraic variety. זו יריעה המוגדרת כאוסף האפסים של קבוצת פולינומים, לא בהכרח מעל הממשיים (או המרוכבים).
אחדות המתמטיקה 328069
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לאלון עמית יום ד', 7/9/2005, 8:39
"יריעה אלגברית" נשמע מסקרן. באיזה ספרים וקורסים שסטודנט לתואר ראשון יכול לא להימלט מהם בצרחות אחרי שתי דקות אפשר למצוא את זה? זה קשור לטופולוגיה אלגברית?
אחדות המתמטיקה 328079
אלון עמית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ד', 7/9/2005, 9:46
הכל קשור להכל, אבל לא - יריעות אלגבריות הן נושא המחקר העיקרי ב*גיאומטריה* אלגברית, דווקא.

יצא לזה מוניטין של תחום קשה מאוד, ואי-אפשר לומר שזה לגמרי בלתי-מוצדק; גיאומטריה אלגברית מודרנית דורשת שליטה בכמות עצומה של אלגברה קומוטטיבית‏1, השפה של סכמות, קטגוריות, טופולוגיה אלגברית, תורת המספרים ועוד.

אני לא יודע לגבי הטכניון, אבל באוניברסיטה העברית לא ידוע לי שיש קורסים על גיאומטריה אלגברית לתואר ראשון. גם ספרים להדיוטות (=בוגרי תואר ראשון) אין ממש בשפע; יש ספר שאני מכיר של Keith Kendig, אבל בעיני הוא ממש לא מלהיב. אני חושב שהספר שהכי כדאי להתחיל ממנו הוא דווקא Rational Points on Elliptic Curves של סילברמן וטייט; הוא לא ממש על גיאומטריה אלגברית (אלא על עקומים אליפטיים ותורת המספרים), אבל הוא מסביר היטב את הקשר בין גיאומטריה ואלגברה שיש בתחום הזה, והוא באמת ספר כיפי.

אומרים ש-Fulton הוא טוב למתחילים, ואולי גם Shafarevich אבל עברו שנים מאז שעיינתי בו ואני לא זוכר כמה הוא נגיש. אם אתה כן מעוניין דווקא להימלט בצרחות, אתה יכול לנסות את גריפית'ס-האריס או את Hartshorne או את ממפורד.

‏1 לאנג כתב פעם "It is possible to write endlessly about commutative algebra", ואני די מאמין לו (גם בגלל שהוא גרפומן לא קטן).
שאלת הבהרה 328098
סמיילי • בתשובה לאלון עמית יום ד', 7/9/2005, 12:09
גיאומטריה אלגברית זה Algebraic Geometry
לעומת זאת Geometric Algebra זה אלגברה גיאומטרית?

ואחר כך אתם מתפלאים שאף אחד לא מבין את הקהילה שלכם?
שאלת הבהרה 328202
אלון עמית • בתשובה לסמיילי יום ד', 7/9/2005, 18:19
Geometric Algebra זה שם של ספר (נהדר) של ארטין, אבל זה לא הפך להיות שם של "תחום".

מי מתפלא? :-)
וואוו. 328204
סמיילי • בתשובה לאלון עמית יום ד', 7/9/2005, 18:34
עכשיו בדקתי‏1, מתברר שיש שני תחומים דומים עם השם Geometric Algebra (אחד באמת ספר של ארטין שלא הכרתי עד עכשיו. השני פותח על ידי הסטניס ודווקא די פופולרי במקומות מסויימים). שניהם לא Algebric Geometry.

בעצם, זאת הבעיה שלכם. אם הייתם ממציאים שמות קצת יותר מקוריים, לא היתה לכם בעיה. אני מציע, בתור התחלה, תפסיקו לקרוא לקבוצה קבוצה (במקום זה תקראו לה "קבוצית"), ולרצף "רצף" (אני מציע "ריצופית"). ואז פתרנו את כל הבעיה של דורון שדמי (טוב, צריך להחליף גם את המושגים קו ונקודה, אבל העיקרון ברור וחסכוני).

‏1 למשל, http://66.102.7.104/search?q=cache:1nzbh6GZvh0J:www....
וואוו. 661030
יהושפט גבעון  (אתר) • בתשובה לסמיילי שבת, 1/8/2015, 11:21
כאשר לא יודעים את ההבדל בין מונחים למושגים, הכול מתבלבל.
אחדות המתמטיקה 328014
האייל האלמוני • בתשובה לעוזי ו. יום ג', 6/9/2005, 23:01
כלום לא ברור, חוץ ממלה אחת - "יריעה"...:)
בכל אופן, תודה.
חזרה לעמוד הראשי
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות