בתשובה לאלון עמית, 03/08/05 11:32
 |
|
 |
||
|
||||
 |
לפני שאתה מכריז הכרזות, הייתי רוצה לדעת מהו בדיוק (בדיוק) הפלטוניזם האריתמטי שאתה מדבר עליו. לאילו טענות יש ערך אמת 'טבעי' - באיזו שפה הן צריכות להיות מנוסחות, מה אתה מניח על המבנה הטכני שלהן, ועל מה הן צריכות לחול. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בשלב זה, אני מסתפק בטענה שכל טענה מסדר ראשון בשפה של האריתמטיקה1 היא בעלת ערך-אמת. אין כל הנחה על המבנה הטכני. את השאלה האחרונה אני לא בטוח שאני מבין - אני מפרש את הטענות (באופן ברור) כטענות על המספרים הטבעיים. פסוק מהסוג "קיים x כך ש-P" הוא נכון אםם יש מספר טבעי כך ש-P; שאר המרכיבים של פסוקים מסדר ראשון הם אפילו עוד יותר טריוויאליים. 1 עם סימן =, ועם אוסף לא מוגבל של סימני פרדיקטים ופונקציות מכל arity. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "בשפה של האריתמטיקה"? דווקא מערכת עם קבוע ופונקצית עוקב כמו ב- PA? מותר חיבור וכפל (גם כמו ב-PA, בערך)? האם אתה מרשה להשתמש בשפה של ZFC? למה לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סברתי, אולי בטעות, ש"השפה של האריתמטיקה" היא מונח מקובל. בכל אופן, כן, הכוונה לשפה שמכילה את הקבוע 0, את סימן העוקב, ואת הסימנים +, * ו-> (למה "בערך"?). הניסוח "כמו ב-PA" מפריע לי; PA היא מערכת של אקסיומות בשפה הזו, אבל לשפה עצמה אין שום קשר למערכת אקסיומטית מסויימת. למה אני צריך את השפה של ZFC? אני רוצה לדבר על מספרים טבעיים, לא על קבוצות עם יחס שייכות. אין איזה משפט אריתמטי שאפשר *לנסח* בשפה של ZFC ולא בשפה שציינתי, אלא אם אני מחמיץ משהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(לגבי הטרמינולוגיה: PA היא שפה עם מערכת אקסיומות; באחת הדרכים לנסח את המערכת, השפה לא כוללת + ו- *, אבל ממילא יש מספיק אקסיומות האינדוקציה כדי שאפשר יהיה להגדיר אותן. לכן "בערך"). לאן אני חותר? אני יודע שיש משפחה גדולה של טענות שאפשר לנסח ב- PA, ועבורן אין צורך ב- ZFC. אני מנסה להבין איך אתה, בתור מי שמאמין בקיומו של מודל "אמיתי" למספרים הטבעיים, מבדיל בין טענות ZFC שיש להן פירוש טבעי (בשני המובנים), ולכן גם ערך אמת מסויים, לבין טענות ZFC שהן מדי מורכבות (?) שלא חלות על המודל הזה. בסופו של דבר אני מניח שאפשר לנסח גם את אקסיומת הבחירה כך שתחול על המודל היחיד שקיים באמת, ואז הייתי שמח לשמוע מה ערך האמת האמיתי שלה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא לגמרי הבנתי. אני לא יודע אם ואיך אפשר לנסח את אקסיומת הבחירה בשפה שתיארתי, וגם אם כן, ברי שזו תהיה גרסה חלשה שלה (בת-מנייה). אני אנסה להתעקש עוד פעם אחת להשאיר את השפה המורכבת של קבוצות מחוץ לתמונה, ולהסכים (או לא להסכים) על קיום ערך-אמת לפסוקים בשפה שתיארתי. (המונח "מודל אמיתי למספרים הטבעיים" בעייתי בעיני, כי ל"מודל" יש פירוש פורמלי כמודל של מערכת אקסיומטית מסויימת. אני לא חושב על הטבעיים כמודל של כלום, אלא כמשהו שקודם למושגים "מודל" ו"הוכחה"). ("המודל היחיד שקיים באמת" זה לא ביטוי שלי... הסברתי כבר שאני עובד בשמחה עם הממשיים, עם עולם הקבוצות של ZFC, עם קטגוריות, וכו'. לענייננו כרגע אני מבקש להתרכז במושג פשוט: המספרים הטבעיים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 432288 (וגם התגובה שמעלי, אם רוצים להמשיך את השיחה המסויימת הזו). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |