בתשובה לאלון עמית, 18/07/05 4:04
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"מכפלות קרטזיות שלא נעלמות נותנות לי שני תפוזים לבנות מהם שמש," את השירה הזאת אי אפשר להפסיק... מה ההמשך? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
עוד 2-3 אקסיומות ונתחיל לבנות את מכונת הטיורינג המתאימה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
והפיוט, מה יהיה עליו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון מתיחס לפרדוקס בנך-טרסקי: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכלל לא קישרתי את "מכפלה קרטזית אינסופית נותנת קבוצה לא-ריקה" עם אקסיומת הבחירה. אבל למה שמש? מכפלה קרטזית שלא נעלמת נותנת שני תפוזים לבנות מהם תפוז. וכן, זה ניסוח מאוד פיוטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה שמש?" - לא יודע אם אתה שואל ברצינות, אבל כן: משפט ב"ט מאפשר לחלק תפוז (או שניים) למספר סופי של חלקים, לסובב ולהזיז, ולבנות שמש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגרסה שאני מכיר, המשמעות היא שניתן לחלק כדור למספר סופי של חלקים, לסובב ולהזיז, וליצור שני כדורים זהים לו. זו גם הטענה שמופיעה בויקיפדיה (בקישור לעיל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובאינדוקציה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השמש היא אוסף סופי של תפוזים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אבל אפשר לבנות אותה מהם ע"י פירוק לחלקים, סיבובים והזזות; כיוון שיש לה אותו נפח כמו למספיק תפוזים, זה דווקא החלק הפחות מפתיע בסיפור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחח, אם רק האלכימאים היו יודעים את זה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נשמע הגיוני, אבל לא הייתי בטוח, כי זה לא ממש ברור לי שאת הכדורים ניתן לחבר לכדור גדול פי 2. אבל אם אתה אומר שזה אפשרי, אני מקבל את זה כאקסיומה 1. 1 אם את *כל* מה שאתה אומר אני מקבל כאקסיומה, ואתה אכן מכונת טיורינג, מתקבלת מכך תורה אפקטיבית. נשמע נחמד :). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תקבל שום דבר כאקסיומה, בטח לא ממני... ההוכחה של משפט ב"ט היא ממש לא קשה, ולא דורשת שום דבר מעבר לקצת השכלה מתמטית שנראה לי שיש לך. החלק הכי קשה הוא ההוכחה שחבורת הסיבובים במרחב מכילה חבורה חפשית, וזה דווקא החלק שהכי קל לקבל אינטואיטיבית. יש ספר מאוד נחמד של Stan Wagon על המשפט הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "חבורה חופשית"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הערך בויקי העברית מזעזע, לתשומת לב אלו שמבינים משהו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אנסה להציל את כבודי האבוד כמרצה-ברוחו שאוהב לתת תשובות עם תוכן. "חבורה" - אוסף של דברים (לא חשוב מה; לרוב נקראים "איברים") שאפשר לכפול אותם ("כפל" זו מכונה שלוקחת שני איברים ומחזירה איבר); אחד האיברים מתנהג כמו "1" (כלומר, כשכופלים בו X כלשהו, יוצא X); ולכל אחד מהאיברים יש הופכי (כלומר לכל X יש איזשהו Y כך ש-XY הוא ה-"1" הזה). חבורה חופשית היא חבורה שבנויה באופן הבא (בהגבלה קלה של הכלליות): לוקחים כמה אותיות, נניח שתיים (A ו-B); מוסיפים שתי אותיות שתהווינה הופכיות לשתי אלה (נניח a ו-b); ומגדירים חבורה שהאיברים שלה הן "מילים" באותיות האלה, כשאסור לאות להופיע ליד ההופכית שלה. ABabAA זה בסדר, BaA זה לא. הכפל מוגדר ע"י זה שרושמים את שתי המילים בזו אחר זו, ואז מצמצמים אם אפשר לצמצם: בכל פעם שרואים Aa או aA או Bb או bB, מעיפים את צמד האותיות הללו והמילה מתקצרת. למשל: ABa * AbA = ABaAbA = ABbA = AA (שתי המילים באמצע החישוב הזה הן רק תוצאות ביניים; הן לא מקיימות את האיסור על הופכיות צמודות כי עוד לא גמרנו לצמצם). אפשר לראות שמתקבלת חבורה: "1" זו המילה הריקה שאין בה בכלל אותיות, וההופכית של מילה מתקבלת ע"י זה שהופכים את סדר האותיות ומחליפים כל אות בהופכית שלה.החבורה הזו נקראת "חופשית" כי האיברים שלה לא מקיימים שום "יחס" חוץ ממה שמתחייב מחוקי החבורה. 0=2+3-2-3, למשל, זה יחס לא טריוויאלי בחבורה של המספרים השלמים עם חיבור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. הבנתי כבר את הרוב מהוויקיפדיה, רק לא מדוע החבורה נקראת ''חופשית''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היא חופשית מיחסים. בחבורות שאינן חופשיות יש יחסים שאומרים משהו על היוצרים של החבורה (למשל, ש- ababab=1). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, תודה. התכוונתי שזה החלק שאלון השלים לי אחרי הוויקיפדיה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי כדאי לציין שה''מכונה'' הזאת אינה בהכרח מכונת טיורינג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי (באיחור) ש''מכונה'' היא אכן ביטוי לא מוצלח כאן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרצה שלי (אי שם בשנות השמונים) סיפר פעם שבתואר ראשון הוא חזר הביתה וניסה להסביר לאמו את עניין התפוזים והשמש. אמא שלו אמרה רק: אם אלו השטויות שמלמדים אתכם באוניברסיטה, אולי עדיף שתמצא עבודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נחמד :-) יש כמה דברים כאלה, שאפשר לספר לאמא ולקבל המלצה על שינוי כיוון. הגדרה: "עקום" במרחב הוא תמונה רציפה של הקטע [0,1] (כשמסבירים את זה לאמא, עושים כזו מין תנועה באוויר עם האצבע - מתחילים *פה*, עושים ווש-ווש-ווש, ומסיימים *פה*) משפט: קובייה היא עקום (וגם כדור, צלחת, אקליפטוס ומסננת). שם למשפט (אורי, זה בשבילך): Hahn-Mazurkiewicz. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"Hahn-Mazurkiewicz" נשמע בערך כמו "מחול החרבות". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא עקום פאנו? (בלי שום קשר לאקסיומות פאנו פרט לאב הרוחני, עקום פאנו הוא מסילה רציפה שמכסה את ריבוע היחידה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, חוץ מזה שכאן הוא מכסה קוביה. משפט ה"מ הוא הכללה של הבנייה הקונקרטית של פאנו, והוא נותן את התנאי המדוייק ב-R^n לקבוצה להיות עקום (משהו כמו קומפקטית וקשירה מסילתית, לא זוכר בדיוק; הקטע הוא שכל קבוצה העונה על שתיים-שלוש תכונות פשוטות שברור שיש לעקומים היא אכן עקום, ו"מימד" הוא לא אחת מהתכונות הללו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עקום" הוא *כל* תמונה רציפה של הקטע [0,1]? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן (למה השאלה?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פשוט לא הבנתי. וזה גם לא הוגן. חלק מהתמונות הן בטח ישרות להפליא... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרות מתמטיות הן נורא לא הוגנות. ''עקום'' יכול להיות ישר, ''ישר'' יכול להיות עגול, ''עיגול'' יכול להיות כדור ו''כדור'' יכול להיות פירמידה. ''קבוצה פתוחה'' יכולה להיות גם ''קבוצה סגורה'', ''קומפקטי'' יכול להיות בגודל של גלקסיה, ''טור'' כותבים בשורה ול''גבעול'' אין אף-פעם שיבולת, גם כשהוא ב''אלומה''. כאמור, עדיף לחפש מקצוע אמיתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתם ממש לא רציניים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גבעולים ואלומות? מאיפה זה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גאומטריה דיפרנציאלית אאל''ט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"Sheaf" and "Stalk" (scheme theory, algebraic geometry, some algebraic topology.)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה זה fiber bundle? אגד סיבים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך bundle bundle זה אגד חבילות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה, "והיה הישר לעקום"? לא הגזמתם? אנשים נורמליים משתמשים לפעמים במכבסת מלים. אבל אתם הולכים על לכלוך? תתביישו! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למעשה המשפט היה ידוע לפני כמה אלפי שנים, ואף נמצאו לו שימושים מעשיים: "אמר להם ישוע: אין הם צריכים ללכת, תנו להם אתם לאכול. השיבו לו: אין לנו פה אלא חמש כיכרות לחם ושני דגים. אמר: הביאו אותם אלי הנה. הוא ציוה את בעם לשבת על הדשא, לקח את חמש ככרות הלחם ואת שני הדגים, נשא עיניו השמימה וברך. לאחר מכן בצע את הלחם ונתן לתלמידים והתלמידים נתנו לעם. הכל אכלו ושבעו, וממה שנותר אספו שנים עשר סלים מלאים. מספר האוכלים היה כחמשת אלפים איש מלבד הנשים והטף" (הברית החדשה, מתיוס י"ד 13-21) מסקנה: מזל שלא היו להם גם שני תפוזים. כך נמנע אסון גדול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צב"ר. יש, אגב, אנשים הסבורים שכל האמיתות המתמטיות מצויות בכתבי-הקודש - היהודים, הנוצריים, המוסלמיים או (תמיד זה *או*) ההינדיים. לעומתם יש כאלה הסבורים שמשפט-גדל מוכיח שהם טועים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו כבר לא ברור מה יותר מקסים, הפיוט או הפרדוקס. תודה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |