בתשובה לד.ק., 05/07/05 11:57
 |
|
 |
||
|
||||
 |
נתוני הראייה מוגשים למוח האדם בצורה של מתחים חשמליים בתאי-עצב. מדוע זה שונה מפיקסלים? __ PA זה Peano Arithmetic, כן. אני מנסה לפענח את הביטוי "האדם כמערכת פורמלית". מדובר במשפטים המתמטיים שבני-אדם יודעים להוכיח, או בידע האנושי באופן כללי - כשחם אז מזיעים, דמוקרטיה זה טוב, דברים כאלה? לאור העובדה שאתה מדבר על "עקביות" אני נוטה להניח שזה הראשון (ידע "רך" מהסוג השני לא עונה אפילו על הדרישה הלוגית הבסיסית של היות אמת או שקר). מצד שני, מה שהאדם יודע להוכיח מתמטית, זה מה שהוא יודע להוכיח ב-ZFC (לעיתים נדירות מוסיפים עוד כמה אקסיומות, שלאף אחד אין מושג אם הן נכונות, כמו שלאף אחד אין מושג אם כל האקסיומות של ZFC נכונות). איך ייתכן שנסיק שאדם איננו מ"ט/מערכת פורמלית מתוך התבוננות במערכות הפורמליות בהן אנו משתמשים כדי לעשות מתמטיקה? עניין ה"אינסופיות" גם הוא לא ברור לי. מה זה "מערכת אינסופית"? מספר האקסיומות שלה? גודל המודלים שלה? מה הקשר ל"חשופה למשפט גדל"? עבור *כל* מערכת עקבית, בין אם היא האדם ובין אם לא, זה "נכון ש-Gp נכון עליה", וזה נכון שהיא לא יכולה להוכיח את זה. למה להסתבך? תגיד פשוט, כל מערכת עקבית (המקיימת תנאים מסויימים) לא יכולה להוכיח שהיא עקבית. עכשיו, מה הטיעון? שאנחנו יודעים באיזה אורח-פלא שהמערכת-הפורמלית-האנושית היא עקבית? מהי המערכת הזו, ואיך אנחנו יודעים שהיא עקבית? חסר לי גם הפאנץ'-ליין של הטיעון. נראה לי שסיימת בנקודה בה הראית שהאדם-כמערכת-פורמלית לא יכולה להוכיח משהו (את Gp). אז? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
א. אתה אומר שהאדם שקול למ"ט. מ"ט שקולה למערכת פורמאלית. מכאן שהאדם שקול למערכת פורמאלית. ב. כשאני מוכיח ש:"1+1=2" או משהו כזה, זה אומר שהאינפורמציה הזאת נמצאת בתוכי בצורה זו או אחרת, בשפה זו או אחרת. זה אומר שבשפה הפורמאלית שבה המערכת השקולה לי מנוסחת, ניתן לבטא ולהוכיח "1+1=2". ג. אתה אומר שידע "רך", כמו המשפטים "כשחם אז מזיעים", הוא לא אמיתי או שקרי. האם ידע זה כולל את המשפט "האדם הוא מ"ט"? ד. בהנחה ש-PA עקבית, מוכח לי ש-Gp נכון, כלומר הוכחתי את Gp . אבל אם PA עקבית אז היא לא יכולה להוכיח את Gp. מכאן שאני אינני PA. ה. אלא אם כן PA (או המערכת שהיא אני) איננה עקבית. מכאן שהמשפט "האדם הוא מ"ט ששקולה למערכת לא-עקבית" הוא בהכרח נכון, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב. "להוכיח" - מאילו אקסיומות? כשאנחנו מוכיחים משפטים במתמטיקה, אנחנו באמת עושים זאת במערכת אקסיומטית כלשהי. למה דרוש לדבר על "אינפורמציה שנמצאת בתוכי"? לרוב מדברים על מתמטיקה בשפה טבעית, אבל המתמטיקאים אכן מניחים שכל עובדה שהם מוכיחים ניתנת לפירמול (למשל) ב-ZFC. הם לא טוענים שהם "יודעים" באיזשהו מובן אחר שהטענות נכונות, או שיש להם איזושהי "אינפורמציה". ג. לא, הטענה על היות המוח שקול למערכת חישובית נראית לי די חד-משמעית. למה? ד. איך הגעת למסקנה שאתה אינך PA? אתה כן יכול להוכיח את Gp? אמרת שאתה יכול לעשות זאת *בהנחה ש-PA עקבית*. יפה. זאת יכולה לעשות גם PA! שים לב: אם PA עקבית, אז היא לא יכולה להוכיח את Gp. אבל היא כן יכולה להוכיח את "אם PA עקבית, אז Gp". ההבדל ברור? וברור מדוע זה *בדיוק* מה שגם אתה יכול לעשות? אני חוזר על מה שאמרתי קודם. אתה יכול להסביר שמערכת א' איננה מערכת ב' אם מערכת א' מוכיחה שמערכת ב' עקבית. למשל, עקביות PA מוכחת ב-ZFC; ואכן, ZFC איננה PA. אתה לא יכול להסביר שמערכת א' איננה מערכת ב' סתם מצירוף ההנחה "אם מערכת ב' עקבית", שזה מה שאתה עושה פה. אם יש לבני-אדם הוכחה *פורמלית* ש-PA עקבית, אז זו הוכחה באיזו מערכת אחרת שאיננה PA. יופי, אבל אז נשארים עם האפשרות שהאדם שקול (במילותיך) לאותה מערכת אחרת. ומה עם הוכחת העקביות של אותה מערכת אחרת? זו לא תימצא במערכת האחרת, וגם לא באדם. ה. כיוון ש-ד. שגוי, כך גם ה"אלא אם כן" הפותח את המשפט הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, הבנתי סוף סוף. אחרי שקראתי את המאמר של ראטיקינן. הבעיה היא עקביות המערכת. כלומר, אם נוכיח שלא ייתכן שהאדם הוא מ"ט השקולה למערכת לא-עקבית, אז הוכחנו שהאדם אינו מ"ט, נכון? לא שאני רואה איך אפשר לעשות זאת. אבל לאט לאט... כיצד ניתן להוכיח שמערכת כלשהי היא עקבית? איך מוכחת עקביות PA ב-ZFC? ___ בקיצור, שוכנעתי שכשלעצמו משפט גדל לא גורר את אי-היות האדם מ"ט. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני משתדל לא להיעלב מכך שאחרי כל המאמצים מצאת את האושר בשדות זרים :-) "אם נוכיח שלא ייתכן שהאדם הוא מ"ט השקולה למערכת לא-עקבית, אז הוכחנו שהאדם אינו מ"ט, נכון?" לא הבנתי. למה? ובאיזה מובן של "נוכיח" אתה משתמש כאן? "כיצד ניתן להוכיח שמערכת כלשהי היא עקבית?" - צריך לבנות לה מודל. מן הסתם בשביל לעשות זאת צריך להניח שמערכת *אחרת* היא עקבית... "איך מוכחת עקביות PA ב-ZFC?" - ב-ZFC אפשר (בקלות) לבנות מודל ל-PA. הדרך המקובלת לעשות זאת היא להגדיר את "אפס" כקבוצה הריקה, ואת n+1 כאיחוד של הקבוצה n עם הקבוצה {n}. כמובן שיש להיזהר: ההוכחה הזו לא שווה כלום אם ZFC עצמה אינה עקבית, או אם יש לך סיבה לדחות את אחת האקסיומות של ZFC. למשל, אחת האקסיומות קרויה "אקסיומת האינסוף", והיא אומרת שיש קבוצה אינסופית; מי שלא מאמין שזה נכון, אין לו שום סיבה לקבל את ההוכחה הזו של עקביות PA. סתם, דוגמה, שנזכור מה זה "הוכחה". __ בבקשה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, אתה יודע, לפעמים אפשר להבין טענה כשקוראים אותה במאמר אחרי שהיא לא הובנה במסגרת של פולמוס (ולהיפך). אל תדאג, לא שוכנעתי שייתכן שהאדם הוא מ"ט, וגם לא שמשפט גדל לא קשור לזה. שוכנעתי שאני לא יודע להראות את הנביעה הלוגית ההכרחית מאחד לשני, ושהמאמצים של פילוסופים אחרים גם הם אינם מספקים. בנוגע לראטיקיינן (בינתיים קראתי עוד כמה מאמרים שלו), אני חייב לציין שאני נהנה הנאה צרופה מלקרוא אותו. הוא שקול, יסודי ובהיר. הירידות החוזרות שלו על צ'ייטין (איך בעצם מבטאים את זה?) משעשעות לנוכח האהבה הרבה שצ'ייטין רוחש לעצמו. אבל אני לא חושב שהוא צודק כל כך במה שהוא אומר. שוב, הביקורת שלו על האנטי-מכאניסטים מניחה את המבוקש במובן מסויים, והביקורת שלו על AIT נראית לי לא מוצדקת , אם כי אני צריך לחשוב על למה. בכל מקרה, אני חושב שזה חשוב מאוד. הוא בהחלט מהווה צד פורה בדיאלקטיקה שהנושא הזה נבנה דרכה. יש לו מאמרים חיוביים יותר, כלומר לא רק ביקורתיים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מומחה לראטיקיינן, אבל יש באתר שלו כמה וכמה מאמרים מעניינים. אני לא יודע אם הם "ביקורתיים"; הוא ודאי לא מתעסק רק בלהוקיע את צ'ייטין (איך מבטאים? "צ'אי" כמו תה, "טין" כמו בוץ). אני לא חושב שאתה צריך לנסות לבחון אם הביקורת שלו על AIT היא מוצדקת או לא, אלא להיפך: לנסות לראות אם אתה מסוגל לגזור איזו מסקנה מרחיקת-לכת מ-AIT, ואז להעמיד את טיעונך למבחן. אני סבור שזה dead end, אבל בהצלחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אשמח לנצל את ההזדמנות הזו כדי להגיד גם לך וגם לד.ק. שזה ללא ספק הדיון המהנה, המעשיר והמעניין ביותר שקראתי ב-''האייל הקורא'' עד עכשיו. הייתי גם מחמיא מאוד על רמת ואופן הדיון אבל אני ארגיש כמו מורה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על המחמאה, אני קצת המום מכך שעוד מישהו עקב. כל מה שאני יכול לומר הוא שזה ללא ספק הדיון בעל הכותרת הנגררת הכי מגוחכת שקראתי ב''האייל הקורא'' עד עכשיו (וקראתי הרבה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מתכוון, הכי אוקסימורונית, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מגניב, תודה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |