בתשובה להאייל האלמוני, 31/12/04 7:35
 |
|
 |
||
|
||||
 |
נדמה לי שאמרת כאן שני דברים סותרים: אם הטענה נובעת מההגדרה, הרי שלא צריך שום אקסיומה בשבילה. אלא שכמובן, הטענה אינה נובעת מההגדרה (מה באמת ההגדרה?) ולקח למתמטיקאים אלפיים שנים כדי להגיע למסקנה הזו. השאלה נותרת בעינה: מדוע לקבל את האקסיומה הזו? (כאן נשאלת השאלה גם מה הכוונה ב"לקבל" או ב"להאמין") |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ההגדרה של קוים מקבילים היא קוים במישור שאינם נחתכים. אקסיומת המקבילים לא טוענת שמקבילים לא יפגשו אלא שדרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר בדיוק מקביל אחד לאותו ישר. יש מספר גאומטריות אחרות שטוענות שדרך אותה נקודה אפשר להעביר אינסוף מקבילים או שאי אפשר להעביר מקבילים בכלל. שמעתי שלא מזמן נערך ניסוי שהראה שהיקום שלנו מתנהג דוקא לפי החוקים של אחת הגאומטריות האחרות, ולא על פי חוקי זו האוקלאידית אלא שההבדלים בקנה המידה של המימדים הארציים אינם משמעותיים. לגבי קבלת אקסיומת המקבילים, אני לא ממש מבין למה מה שיקרה באינסוף להמשכי הקטעים שאני משרטט צריך להשפיע עלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי (מהזיכרון) שהדיון בנוגע לאיזה מהנחות היסוד של אוקלידס הן הגדרות ואילו הן אקסיומות, תלוי ועומד מאז. אפשר להגדיר ''נקודה מחוץ לישר'' כנקודה שדרכה עובר רק מקביל אחד, אחר לישר. ואפשר להגדיר ''קו מקביל לאחר'' ככזה שכל הנקודות שבו הן ''נקודות מחוץ לישר'' ההוא. השאלה אם, איך ולמה מה שקורה באינסוף משפיע עליך, היא מענינת אבל לא לענינינו. כל מה שביקשתי מגדי הוא, שאם הוא סבור ש''שני מקבילים אינם ניפגשים'' או ש''דרך נקודה מחוץ לישר עובר רק מקביל אחד'', שינסה להסביר את זה בהגיון. אני חושב שהוא לא יכול אבל לא עולה על דעתי להפריע לו לנסות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל הרי הוסכם כבר שאין סיבה ''הגיונית'' לבחור בדרך זו או אחרת. לעומת זאת אין כל פסול בטיעון כמו ''הגיאומטריה האוקלידית יותר יפה ויותר מסודרת מהגיאומטריה הלא אוקלידית, ומהווה קירוב יותר טוב למציאות הפיזית שאני מכיר מאשר הגיאומטריה הלא אוקלידית, ולכן כשאני עוסק בגיאומטריה אני מתעסק לרוב בגיאומטריה אוקלידית''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגיאומטריה האוקלידית היא כמובן *פחות* יפה מזו הלא אוקלידית; היא גם פחות מסודרת (למשל, יש בה את כל הבלגן הזה של "משולשים דומים"). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כבר כמובן עניין של טעם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין כמו הגאומטריה ההיפרבולית! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את הטענה שדרך נקודה מחוץ לישר עובר רק מקביל אחד אי אפשר להסביר בהגיון זו טענה שמבוססת על איטואיציה בלבד. בגלל זה היא משמשת כאקסיומה ולא כמשפט הנובע מטענות מוקדמות יותר. הטענה שמקבילים לעולם לא יפגשו היא טאוטולוגיה. מקבילים הם בהגדרה קוים שאינם נפגשים. קוים נפגשים כאשר הנקודות שלהם מתלכדות כלומר ההגדרה שנתת לפיה קוים מקבילים הם ישרים שכל הנקודות של אחד מהם נמצאות מחוץ שלני היא ההגדרה המקורית בניסוח מסורבל. הגדרה של נקודה מחוץ לישר כנקודה שדרכה עובר רק מקביל אחד לישר היא מטופשת. בעצם אתה מגדיר את המושג ''מחוץ'' כ ''משהו שאפשר להעביר דרכו מקביל'' במקום ההגדרה המתבקשת ''לא בתוך''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אתה צודק. אני רק צילצלתי בשיל לדעת איך קוראים בעברית לצ'ופצ'יק של הקומקום. (יעני, כל מה שביקשתי מגדי הוא, שאם הוא סבור ש''שני מקבילים אינם ניפגשים'' או ש''דרך נקודה מחוץ לישר עובר רק מקביל אחד'', שינסה להסביר את זה בהגיון. וגם על זה כבר הסכמנו שלא חיבים) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודק, טעות מטופשת שלי. משום מה שכחתי את אקסיומת המקבילים... | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |