 |
האם אתה מכיר את קבוצת קנטור? המצב בה גרוע עוד יותר. זו קבוצה שמתקבלת מכך שלוקחים את הקטע [0,1] ומורידים את השליש האמצעי (תוך שמשאירים את נקודות הקצה), אחר שוב לוקחים את מה שהתקבל, שזה שני קטעים באורך שליש כל אחד, וגם מהם מורידים את השליש האמצעי, וכן הלאה וכן הלאה עד אינסוף.
התוצאה היא קבוצה מאוד דלילה של נקודות - אין אפילו קטע אחד בכל הקבוצה, רק נקודות בודדות. פרט לכך, כאשר מחשבים כמה "הוציאו" מהקבוצה, דהיינו מסכמים את אורכי כל הקטעים שהוצאו מהקבוצה, מגיעים ל-1, כלומר הוציאו מהקבוצה את "כל האורך".
אחרי כל זה מגיעה הפצצה - העוצמה של קבוצת קנטור היא הרצף - בדיוק כמו כל הקטע [0,1], כמו כל הישר הממשי, ובעצם כמו כל מרחב n מימדי מעל R. מתברר, אם כך, שהוצאנו מהקבוצה את "כל האורך" מבלי שנשנה את "כמות" הנקודות.
למה אני כותב את כל זה? כדי לציין עד כמה המושג של עוצמה של קבוצה הוא חמקמק, ואינו מסתדר עם האינטואיציה. כשאני ניסיתי להסתדר עם השאלה שאתה שואל, ההוכחות שהרציונליים הם בני מנייה, וההוכחה שהממשיים אינם בני מנייה הפיסו את דעתי - לא מדובר על "כמות", מדובר על היכולת להשוות. העובדה שיש יותר ממשיים מרציונליים הרבה פחות מוזרה מהעובדה שיש בישר (R) אותה כמות נקודות כמו במישור (RXR) - הרי לכאורה, לכל נקודה בישר יש אינסוף נקודות במישור - לכל נקודה בישר אתה יכול להתאים ישר שלם במישור.
אז לדעתי, המאוד מאוד לא מלומדת, לפני שמנסים להבין את המושג של עוצמה אינסופית, רצוי לזרוק הצידה את כל הדעות הקדומות לגבי מה המושג אמור לייצג, ולזכור שכל דוגמא שנוכל לחשוב עליה בראש היא, קרוב לודאי, סופית בלבד.
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש