 |
טוב, לא צריך לרדת עלי עם חצי-הגדרות, זה הכי טוב שאני יודע לעשות :-) אכן המטרה היא לקבל אינטואיציה חזותית, אבל אין ברירה אלה לחשוב על צמד נקודות קוטביות כנקודה אחת - שני ישרים מקבילים נחתכים בנקודה זו, ועליה להימצא בו-זמנית בשני ה"קצוות" שלהם. (אגב, למה המעגל החצי-פתוח לא פותר? הרעיון הוא לבחור נציג אחד מכל זוג נקודות, ומעגל חצי-פתוח עושה זאת בהצלחה לדעתי).
אבל, כיוון שכבר אני מואשם באי-דיוק, הנה דרך אחת מסודרת ואף שימושית מאוד להסתכל על המצב. נחשוב על המישור כאילו הוא ממוקם בתוך מרחב תלת-ממדי עם מערכת צירים סטנדרטית (Y, X ו-Z), אך שלא כצפוי נחשוב עליו כעל המישור Z=1, כלומר ממוקם בגובה מטר מעל "הרצפה". נשים לב שכל נקודה במישור זה אפשר לחבר לראשית הצירים ולקבל ישר במרחב, העובר דרך הראשית וחותך את המישור שלנו בנקודה זו. באופן דומה, כל ישר במישור שלנו מגדיר מישור במרחב, המכיל את הישר וגם עובר דרך הראשית. מי שאוהב אלגברה לינארית יכול לחשוב על הישרים-דרך-הראשית כתת-מרחבים חד-ממדיים, ועל המישורים האלה כתת-מרחבים דו-ממדיים.
נשים לב שישרים במרחב העוברים דרך הראשית יש טיפה יותר מאלה שייצרנו עד כה: יש גם את אלה "על הרצפה", המוכלים במישור Z=0 ועל-כן מקבילים למישור המוגבה שלנו. יש גם מישור אחד, Z=0 עצמו, שאיננו חוצה את המישור המוגבה.
עכשיו אפשר לנחש מה התמונה המתקבלת. כדי להגדיר את המישור הפרוייקטיבי, מתייחסים ל*כל* ישר-דרך-הראשית במרחב כאל "נקודה", ולכל מישור-דרך-הראשית כאל "ישר". בינתיים נמשיך להשתמש במרכאות עבור המושגים הפרוייקטיביים כדי לא להתבלבל. אומרים ש"נקודה" נמצאת על "ישר", כצפוי, אם הישר המתאים ל"נקודה" מוכל במישור המתאים ל"ישר". מהגדרה זו אפשר כבר לפתח את שאר המושגים הגיאומטריים: ה"ישר" המוגדר ע"י שתי "נקודות" שונות הוא ה"ישר" המכיל את שתיהן, ויש באמת תמיד בדיוק אחד כזה. החיתוך של שני "ישרים" שונים הוא תמיד "נקודה". אלו טענות קלות באלגברה לינארית, וגם אינטואיטיביות מאוד גיאומטרית.
התמונה ממנה התחלנו, של המישור המוגבה, מאפשרת לראות שעל רוב ה"נקודות" אפשר באמת לחשוב כנקודות במישור המוגבה, ועל ה"ישרים" כישרים במישור זה. אבל רק לרוב. יש "נקודות" המתאימות לישרים במרחב העוברים דרך הראשית במישור Z=0, ולכן לא חותכים את המישור המוגבה. "נקודות" אלו הן כמובן הנקודות החדשות באינסוף, אלא שעכשיו יש להן משמעות מוגדרת ואינטואיציה גיאומטרית ברורה: "נקודה" כזו היא פשוט ישר אופקי במרחב. ה"ישר באינסוף" הוא פשוט המישור Z=0 עצמו. זהו מודל ה"ישרים דרך הראשית" של המישור הפרוייקטיבי שהזכיר ניר, ועכשיו ראינו דרך טבעית לראות במודל זה את המישור הרגיל פלוס נקודות וישר באינסוף.
במקום לחתוך עם הישר המוגבה, אפשר לחשוב על ספירה סביב ראשית הצירים. כל ישר דרך הראשית חותך ספירה כזו בשתי נקודות קוטביות, וכל מישור דרך הראשית חותך אותה במעגל גדול, מעגל שהוא כמו קו-משווה. זו הדרך לראות את המישור הפרוייקטיבי כספירה שבה נקודות קוטביות מזוהות ל"נקודה" אחת.
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש