 |
את קיום W (אומגה, יעני) מניחים ב"אקסיומת האינסוף". מכאן אפשר להגיע לסודרים מעוצמות גבוהות יותר ע"י אקסיומה נוספת ומספר עובדות בסיסיות:
ראשית, איחוד של קבוצת סודרים היא בברור סודר. מכאן נגיע למסקנה ש"אוסף כל הסודרים" או כל אוסף של סודרים אשר -איננו חסום-, לא יכול להיות קבוצה. כעת נניח בשלילה שכל סודר K מעל W הוא מעוצמה א0. אם כך, קיימת פונקציה חח"ע f:K ----> W, ופונקציה זו מגדירה על W סדר טוב מה"טיפוס סדר" של K. אולם אם כך, נוכל כעת להגדיר פונקציה שתחומה (P(WxW (קבוצת החזקה של WxW), כך שתמונתו של איבר היא אפס אם איננו סדר טוב, והסודר המתאים a באם הוא סדר טוב מטיפוס a. בכך יצרנו פונקציה שתחומה הוא קבוצה (לפי אקסיומת החזקה), והטווח שלה הוא מחלקת כל הסודרים פחות W, אשר איננה קבוצה. זה בלתי אפשרי לפי "אקסיומת ההחלפה".
עד כמה שאני מבין עוזי מדייק - הרבה מאוד מודלים שמוכיחים טענות אי-תלות בתורת הקבוצות הם בני-מניה לחלוטין. זה נוח מאוד מכיוון שבדר"כ מנסים "להרחיב" מודל בן-מניה כך שיכלול מה שקרוי "קבוצה גנרית", ובכך "לכפות" על ההרחבה הגנרית לקיים תכונות מסוימות. במודל בן-מניה מובטח לנו שקיימת קבוצה גנרית לכל אוסף תנאים מתיישבים, גם מבלי להשתמש בכלים כגון אקסיומת מרטין (אשר מבטיחה לנו קיום קבוצה גנרית לעוצמות גדולות יותר מ א0). במודל בן-מניה, בפרט כל הסודרים והמונים הם בני מניה.
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש