בתשובה לליאור גולגר, 25/12/02 19:33
בטח נחשב 116037
עוזי ו. • בתשובה לליאור גולגר יום ד', 25/12/2002, 21:01
(ההוכחה הראשונה ניתנה על-ידי לז'נדר (Legendre) ב-‏1823).

אנא פרט.
טוב, נדמה לי שהצלחתי להכליל את זה לכל n 116071
ליאור גולגר • בתשובה לעוזי ו. יום ד', 25/12/2002, 22:13
אז הנה ההוכחה עבור n=3, וההוכחה לכל n נראית כמעט אותו דבר.
נניח שא, ב, ג הם שלמים חיוביים המקיימים
(1) א^3 + ב^3 = ג^3
ללא הגבלת הכלליות ניקח ג>ב>א ונגדיר ט = ג - (ב + א) כמשתנה עזר, שערכו כמובן שלילי (זה ג פחות ב וא, לא להיפך, אני פשוט כותב מימין לשמאל כדי לבלבל את האויב). אשתמש בשתי נוסחאות כפל מקוצר:
(ז + ח) ^ 3 = ז^3 + ח^3 + 3*ז*ח*(ז+ח)
ז^3 - ח^3 = (ז - ח) * (ז^2 + ז*ח + ח^2)

נציב את ט לתוך (1) ונפעיל את הזהות הראשונה דלעיל:
(2) א^3 + ב^3 = (ט +א)^3 + 3*ב*(א+ט)*[ב+(א+ט)] + ב^3

נצמצם את ב^3 ונעביר את (ט+א)^3 אגף:
(3) א^3 - (ט +א)^3 = 3*ב*(א+ט)*(ב+א+ט)

עתה נפעיל את הזהות השניה על אגף ימין:
(4) [א - (ט+א)] * [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] = 3*ב*(א+ט)*(ב+א+ט)

נבודד את ה- 3:
(5) [א - (ט+א)] * [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] / ב*(א+ט)*(ב+א+ט) = 3

משיקולי סימטריה המשוואה נכונה גם אם מחליפים כל א' בב' ולהיפך. כמובן שאפשר לקבל זאת פורמלית ע"י חזרה על סדר הפעולות, ואשאיר זאת כתרגיל לקורא:
(6) [ב - (ט+ב)] * [ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2] / א*(ב+ט)*(א+ב+ט) = 3

נדרוש שוויון בין (5) לבין (6) ונצמצם ב(ט-) / (א+ב+ט):

(7) [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] / ב*(א+ט) =
[ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2] / א*(ב+ט)

נכפול ב א*(ב+ט) ונחלק ב [ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2]
(8) [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] * א*(ב+ט) / {[ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2]*ב*(א+ט)} = 1

מ(8) נדרש שהמונה יתחלק במכנה ללא שארית. ובכן, ב גדול מא ולכן:
(9) ט+ב = ג-א > ג-ב = ט+א

לכן:
(10) [א^2 + א*(ט+א) + (ט+א)^2] < [ב^2 + ב*(ט+ב) + (ט+ב)^2]

עתה אם אוכיח כי ב*(א+ט) > א*(ב+ט) נמצא שהמונה ב(8) קטן מאחד ובכך נסיים את ההוכחה. למרבה הצער שלב ההוכחה הזה הוא אלגברי, ארוך ומעצבן, לכן לא איעלב אם תתנו רק לעוזי לבדוק בשבילכם שלא טעיתי כאן. ובכן, צ"ל:
(11) ב* (ג-ב) > א*(ג-א)

נכפול את שני האגפים ב(ג-ב)*(ג-א) ונפתח סוגריים. נתחיל באגף ימין:

(12) ב*(ג-א)*(ג-ב)^2 =
ב*(ג-א)* (ג^2 + ב^2 - 2*ב*ג) =
ב* (ג^3 + ג*ב^2 + 2*א*ב*ג - א*ג^2 - א*ב^2 - 2*ב*ג^2) =
ב*ג^3 + ג*ב^3 + 2*א*ב^2*ג - א*ב*ג^2 - א*ב^3 - 2*ב^2*ג^2

מסימטריה, אגף שמאל יתקבל מהחלפת כל ב בא ולהיפך:
(13) א*(ג-ב)*(ג-א)^2 = ... =
א*ג^3 + ג*א^3 + 2*ב*א^2*ג - ב*א*ג^2 - ב*א^3 - 2*א^2*ג^2

אם נבדוק כל איבר ב(12), נגלה שהוא גדול או שווה לאיבר המתאים לו ב(13), לכן (12) > (13). לכן (11) נכון, ומכיוון שגם (10) נכון, אז (8) לא נכון. מש"ל.

עבור n גדול יותר משלוש משוואה (4) תשמין בעוד כמה וכמה איברים ובהם כפולות של חזקות של ב בחזקות של (א+ט). אני מציע לבודד את האיבר(ים) האמצעי(ים) בטור החזקות הזה, זתאומרת אלה שעבורם החזקה של ב ו(א+ט) היא n/2 או (n+1)/2, תלוי בזוגיות של n. בקיצור נקבל משוואה הדומה ל(5) ע"י בידוד המקדם המספרי של האיבר(ים) האמצעי(ים), משהו כמו
n! / (n/2)!^2
ואז נדרוש שוויון עבור הפיתוח הסימטרי ל(ב+ט) וא, ובתקווה נצליח לחסום באופן דומה את השבר.

טוב, לא יכול להיות שבאמת הוכחתי את משפט פרמה, אפילו לא למקרה הפרטי של לג'נדר. אז איפה טעיתי?
הוכחת יותר מדי 116094
עוזי ו. • בתשובה לליאור גולגר יום ד', 25/12/2002, 23:55
ההוכחה שלך עובדת גם בלי להניח שהמספרים שלמים; וזה קצת חשוד, כי ברור שלכל a,b אפשר למצוא c ממשי שיפתור את המשוואה.

התקלה היא ב-(11): כשעוברים על ההוכחה שלך, נראה שהשווית גם אברים עם סימן שלילי (תוך התעלמות מהסימן).
דוגמא נגדית: קח a=1 ו- c=2, עם b=7^{1/3}/2. אז t=1-b, והטענה (b(c-b)>a(c-a מתורגמת ל- 2b(4-2b)>4, אלא שזה לא נכון.
לא הבנתי 116095
ליאור גולגר • בתשובה לעוזי ו. יום ה', 26/12/2002, 0:05
ב(11) נכתב ב*(ג-ב) > א*(ג-א)
שזה בכתיב לועזי מוכר:
b * (c-b) > a * (c-a)

מה לא פסדר פה? הרי הניצבים חיוביים, והיתר חיובי הגדול מן הניצבים, ולכן אני עוסק רק באיברים חיוביים. לא?
אופס 116097
ליאור גולגר • בתשובה לליאור גולגר יום ה', 26/12/2002, 0:17
האיבר האחרון ב(13) הוא כמובן קטן בערך מוחלט מן האיבר האחרון ב(12), ולכן גדול ממנו. אני בודק עכשיו אם זה מפיל לי את כל ההוכחה.
I'll guess I'll prove another day 116108
ליאור גולגר • בתשובה לליאור גולגר יום ה', 26/12/2002, 2:19
צ"ל:
b*(c-b) > a* (c-a)
נכפול את שני האגפים בביטוי
(c^2+bc+b^2)*(c^2+ac+a^2)
ונקבל:
b*(c^3-b^3)*(c^2+ac+a^2)>a*(c^3-a^3)*(c^2+bc+b^2)
מטעמים קוסמטיים נחלק בba ונקבל
a^2 * (c^2+ac+a^2) > b^2 * (c^2+bc+b^2)
כל האיברים באגף ימין גדולים מהאיברים באגף שמאל ולכן זהו אי-שוויון שקרי. הוכחתי נופלת בקול ענות חלושה, ונותר רק לומר - ידעתי. תודה לכל המאזינים.
__
(ולחשוב שבשביל זה קמתי מהמיטה והדלקתי את המחשב. נחת)
הכישלון יתום 116137
ליאור גולגר • בתשובה לליאור גולגר יום ה', 26/12/2002, 11:23
כמובן שבסופ"ד (8)=1, כלומר שוויון מלא בין שתי צורות הפיתוח של (ט+א+ב)^3. בעצם, כפי שהעיר עוזי, זה היה צריך להיות מובן מאליו - בשום מקום לא השתמשתי בשלמות של המספרים, רק דרשתי קונסיסטנטיות. החוכמה הגדולה היא להוכיח שאמנם לא יתכן שהמונה ב(5) מתחלק בדיוק במכנה ועוד נותן 3.
חזרה לעמוד הראשי
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות