בתשובה לעוזי ו., 25/12/02 12:53
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני עוד אצטרך להתעמק קצת בפתרון שלך ע"מ שאהיה משוכנע שאני מבין אותו. בכל מקרה, חשבתי שאציין כאן את הפתרון שלי למי שמעונין. --------- הדרך שלי היא כזאת: טענה 1: המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם 1/2 (כלומר כל צלע היא או שלמה או באורך n+1/2 כאשר n שלם). הוכחה: נניח בדרך השלילה שיש ריצוף למלבן לא נחמד שמורכב ממלבנים נחמדים. נשנה יחידות ונכפיל את כל האורכים ב 2. כלומר, צלע שלמה הופכת להיות צלע באורך זוגי וצלע לא שלמה הופכת להיות באורך אי-זוגי. אנו רואים שהשטח של כל מלבן נחמד הוא זוגי ולעומת זאת השטח של מלבן לא נחמד אינו זוגי. אבל השטח של המלבן הגדול הוא סכום שטחי המלבנים הקטנים. מאחר ושטח כל אחד מהם זוגי אז שטח המלבן הגדול צריך להיות גם זוגי והגענו לסתירה. טענה 2: המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם 1/17 , 2/17 , 3/17 ... 16/17. הוכחה: באותה צורה: נכפיל את כל הצלעות ב 17 ונחליף את המלה "זוגי" במלה "מתחלק ב17". אפשר להכליל באותה צורה לכל ראשוני p. כלומר, המשפט נכון אם כל השברים שמדובר בהם הם מהצורה i/p כאשר p ראשוני ו i בין 1 ל p-1. ---- עכשיו נרצה להשתמש בהכללה הזו כדי להוכיח את המשפט במקרה הכללי. נניח שיש לנו מלבן לא נחמד בגודל n+x על m+y שאפשר לרצף אותו במלבנים נחמדים (n,m שלמים , x , y בין 0 ל 1 ). נבחר ראשוני p שיהיה מספיק גדול (בהמשך נגיד כמה גדול הוא בדיוק צריך להיות). לשם פשטות נניח ש p=17 נשים את המלבן שלנו על דף משבצות שבו כל משבצת היא 1/17 על 1/17 ס"מ. ניישר אותו כך שהפינה השמאלית העליונה שלו תתאים לפינה של משבצת. נצייר על הדף גם את הריצוף. עכשיו "נעגל" את הריצוף בצורה הבאה: נזיז כל פינה של כל מלבן לנקודה הקרובה ביותר אליה שנמצאת על הגריד (כלומר שהיא בפינה של משבצת בדף המשבצות). יש לי 3 טענות לגבי הריצוף הזה: טענה א': אם 2 נקודות היו על קו ישר מאונך (כלומר היתה להן אותה קואורדינטת x ) אז הן עדיין על קו ישר מאונך. כנ"ל לגבי קו מאוזן. (ההוכחה: אם יש להם אותה קואורדינטת x אז לנקודה הקרובה לכל אחת על הגריד גם תהיה אותה קואורדינטת x ) מסקנה: אחרי העיגול כל מלבן הופך למלבן (ולא "מתעוות" למקבילון או משהו כזה). טענה ב': אם 2 נקודות היו על קו ישר מאונך והמרחק בינהן הוא מספר שלם של ס"מ אז הן עדיין על קו ישר מאונך במרחק שלם. כנ"ל לקו מאוזן. (הוכחה: אם יש להן אותה קואורדינטת x והמרחק בינהן שלם אז לקואורדינטת ה y שלהן יש אותו ערך שבור ולכן או ששתיהן יתעגלו ביחד כלפי מעלה או ששתיהן יתעגלו ביחד כלפי מטה) מסקנה: אחרי העיגול מלבן נחמד הופך למלבן נחמד. טענה ג': אחרי העיגול המלבן הגדול (שהיה בגודל n+x על m+y ) נשאר "לא נחמד". זה לא תמיד נכון אבל זה יהיה נכון אם נבחר את p כך שיהיה יהיה גדול מספיק. צריך לבחור את p כך שאחד חלקי p יהיה קטן יותר מאשר x ו y וגם יותר קטן מ1 פחות x ו 1 פחות y. (אין בעיה למצוא ראשוני כזה). לאחר העיגול ברור שכל השברים שמעורבים הם 1/17 , 2/17 , ... או 16/17 ולכן אפשר להפעיל את טענה 2 ולסיים. |
 |
 |
 |
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |