בתשובה לאלון עמית, 29/05/05 19:30
 |
|
 |
||
|
||||
 |
עם כל הכבוד לעמיתי המלומד... התכונה שנתת תלויה גם בטופולוגיה של הממשיים, ולא רק במבנה המדיד שלהם. אפשר לשנות את הטופולוגיה כך שגם הנקודה מחוץ לקטע תקיים את התנאי הזה או להיפך, מבלי לשנות שום דבר אחר. אין בכך משום סתירה לדבריך אבל חשוב להבין שמנקודת מבט מידתית גרידא, אין שום הבדל בין 0.5 ל-2. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שזו קצת רמאות לדבר על מידת לבג של הישר ואז לשנות פתאום את המבנה הטופולוגי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רמאות שלי? זה אלון שהתחיל לדבר טופולוגית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נכון - מידת לבג היתה ברקע הדיון כל הזמן (והיא מחזיקה במרתף את הטופולוגיה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מחזיקה במרתף את הטופולוגיה? לא בדיוק. אין דרך לשחזר את הטופולוגיה על הממשיים רק בהנתן מידת לבג (ראה תגובתי לאלון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני לא הבנתי את עווני. *איזה* מבנה מדיד של הממשיים? נראה שגם לי לא ברורים חוקי המשחק, ומה השאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהנתן מרחב המידה (R,B,\mu) כאשר R זה הממשיים, B זה שדה בורל, \mu המידה האחידה על הקטע [0,1], אי אפשר להבדיל בין הנקודה 0.5 לנקודה 2 (או בין כל שתי נקודות). ההבחנה שנתת זקוקה לטופולוגיה בנוסף למבנה המדיד. זה כל אשר אמרתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב ויפה, אבל למה אתה כן מרשה לדבר על שדה בורל, ולא על הטופולוגיה? מנין בא שדה בורל זה? שוב, אני לא מבין מה המשחק. אילו תכונות של R מותרות ואסורות בהסבר שמחפשים להבדל בין חצי לשתיים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי שדה בורל הוא חלק מהמידה (התחום עליו היא מוגדרת). גדי תהה מה ההבדל מבחינה הסתברותית בין 0.5 ל-2, והתשובה של עוזי גרמה לו לחשוב1 שיש הבדל כזה - שלשתי הנקודות יש הסתברות 0 אבל 0.5 "אפשר" לקבל ו-2 "אי אפשר". מבחינה סתברותית גרידא, ונושא היום הוא הסתברות, אין הבדל. 1 אני חושב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע. קודם כל אני מקבל את האבחנה (המעניינת) שאי אפשר לשחזר את הטופולוגיה מהמידה; אני הנחתי שהשאלה של גדי מתייחסת לממשיים מכף-רגל ועד ראש (שדה סדור, מרחב טופולוגי, מרחב מידה, הכל). שנית, אני ניסיתי לפרש את הטענה כך: נקודות בקטע [0.49,0.51] אפשר לקבל (ההסתברות ליפול שם היא חיובית), ו-0.5 נמצאת באיזור הסכנה הזה (למרות שהסיכוי לקבל דווקא אותה הוא כמובן 0). נקודות בקטע דומה סביב 2 אי אפשר לקבל - ולכן, 2 היא במצב אחר מ-0.5. האם אתה טוען אפשר לבנות על R טופולוגיה כזו שתשרה את אותה אלגברת בורל, אבל כזו שבה כל סביבה של 2 תכיל סביבה בעלת הסתברות חיובית? זה דווקא מעניין (שוב, אני לא חושב שגדי חיפש קריטריון כל כך עדין). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קח את האוטומורפיזם (של המידה) המחליף בין 2 ל-0.5 . קח את הטופולוגיה שהוא משרה (כלומר הטופולוגיה בה 2 ו-0.5 התחלפו). טא דאם! אפשר לעשות דברים גרועים בהרבה בלי לשנות את המבנה המדיד, נגיד להפוך את {0.5} לקבוצה פתוחה או לחבר את 0 לאינסוף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר להדביק את 2 ו-0.5, ואז להפוך את נקודת החיתוך לנקודה כפולה. אחרי ההכפלה זו כבר לא טופולוגיה מטרית, אבל נראה לי שמתקבלת אותה אלגברת בורל, עם אותה מידה. אם זה נכון, אז מבחינת תורת המידה (כשלעצמה) באמת אין הבדל בין הנקודות, וזה די סביר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דוקא את זה1 אי אפשר לעשות - בשדה שמתקבל אין קבוצה שמפרידה בין שתי הנקודות. אבל, כמו שכתבתי לאלון, אפשר לעשות הרבה דברים אחרים. 1 אם הבנתי נכון |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא כל טופולוגיה מוכרחה להיות T_0. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן, אבל לא תקבל את שדה בורל המוכר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עצור כאן. לא איכפת לי שתעברו לדבר על שדות בורל ומידות טובות, ובלבד שבסוף תסבירו את המסקנה שלכם גם בלשון בני אדם. עשינו עסק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שזה מה שעשינו :-) בקיצור, מחר, אם אלון לא יקדימני. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |