בתשובה למעריצה, 02/09/02 14:17
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני לא יודע. לדעתי, אלו היו ארבע שורות וחצי דחוסות משמעות, באופן יחסי. אבל אצלי מעריצות זוכות ליחס מיוחד, אז אני אסביר לאט: ראשית, "Well said". בערתן האדיבה של זוג המילים הללו הבעתי גם הסכמה לדבריו של עוזי וגם ציון לשבח על הבחירה הנאותה במילים. "זו (היעדר ההוכחה) אגב הסיבה המקורית שזנחתי את הלוגיציזם" - כלומר, למרות שמהפרספקטיבה של מי שמכיר את דעותיי היום, נראה כאילו זנחתי את הלוגיציזם משום משפט אי השלמות של גדל, הרי שכבר זנחתי אותו קודם בשל אי יכולת ההוכחה לקיומו של העולם ההוא. "עוד לפני שידעתי מה *בדיוק* אומר גדל, ונזקקתי למטאפיזיקה (של קאנט. על הטיעונים הטרנסצנדנטליים שלו)" - כלומר, כבר בגלל עצם הטיעונים הטרנסצנדנטליים של קאנט. כמובן שכאנטי-מטאפיזיקאי, וחסיד של הלוגיציזם, כפרתי בטיעונים הטרנסצנדנטליים של קאנט. עם קַבלתם, זנחתי את הלוגיציזם. "מעניין אם נשארו עדיין חסידי לוגיציזם (אולי באייל?). למיטב ידיעתי זהו דינוזאור אינטלקטואלי, ממש מאובן מושלם!" - לא רק אני זנחתי. עם ירידת הפופולאריות של הפוזיטיביזם הלוגי, וגל הביקורות על אי השלמות במודל תורת הטיפוסים של ראסל/וויטהד (על שמו, כמובן, האימייל שלי, אם ניחשת...), חדל הלוגיציזם להוות זרם חשוב ורב משמעות כפי שהיה. הפופולאריות של משפט אי-השלמות הרגה אותו לחלוטין. לכן, לא כל דבר שכבודה לא מבינה הוא חסר משמעות. רק בעיניך. ואני מתנצל אם השימוש הרב ב "מילים מסובכות", כפי שאמרת זאת בשפתך שלך, חורה לך. כבר הסברתי פעם (מי האייל הזריז שייתן את הלינק?) מדוע אני עושה זאת: חשוב לשמור על הקונסיסטנטיות של המושגים המקובלים, כך הקישורים שיעשה הקורא יהיו ברורים יותר. חוץ מזה, את רוב המושגים יהיה קשה ארוך ומתיש 'לתרגם' לשפה מדוברת. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי קצת, ואם לוגיציזם הוא באמת ההשקפה ש"המתמטיקה היא גוף של טאוטולוגיות שניתן להסיקן מתוך מערכת של אקסיומות" (את הזנב "לוגיות לחלוטין" קצצתי, כי הוא חסר משמעות בעיני) - אז אני, כמו גם כל מתמטיקאי אחר שאני מכיר, לוגיציסט. מתמטיקה היא מה שמתמטיקאים עושים (זו ההגדרה של G.H.Hardy, שהולמת ממנה אני לא מכיר). מתמטיקאים מוכיחים משפטים. את אלה אפשר להסיק מתוך האקסיומות (כך מוכיחים אותם). צריך להעיר שהמתטיקה היא יצירה אנושית, ולכן הבחירה *אילו* משפטים לנסות ולהוכיח תלויה במה שמעניין; וזה כמובן עניין סובייקטיבי. ועדיין, המשפטים לא נחשבים לכאלה עד שעמדו בדרישות (דהיינו, נגזרו מן האקסיומות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הזנב שקצצת הוא, כמדומני, לב לבו של הלוגיציזם. הרעיון שעומד בבסיסו הוא שניתן למפות את המתמטיקה אל הלוגיקה הפורמלית (בדומה למיפוי של הגיאומטריה אל האלגברה דרך הגיאומטריה האנליטית) - והרעיון הזה נכשל בעקבות משפט גדל, אלא אם כן אתה מוכן לקבל שהלוגיקה אף היא מכילה משפטים נכונים אך אינם ניתנים להוכחה, מה שנשמע לאזני הלא מלומדות כבעיה גדולה בהבנת המושג ''לוגיקה''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שהאקסיומות הן "לוגיות" ("לחלוטין") - מה הן יכולות להיות חוץ מזה? הרעיון למפות את המתמטיקה אל הלוגיקה לא נכשל; משפטי גדל מוכיחים את מה שהם מוכיחים, לא יותר מזה. לפי משפטי גדל, יהיו דברים נכונים שלא נוכל להוכיח ממערכת האקסיומות המקובלת. ברוב תחומי המתמטיקה, אלו לא יהיו טענות מעניינות (ולכן לא ניתקל בהן). אנשי תורת הקבוצות הצליחו לבנות טענות רבות שהן בלתי תלויות באקסיומות היסודיות (ZFC); זו לא חוויה כל-כך טראומטית כמו שאפשר לחשוב: אם רוצים, מצרפים את הטענות החדשות האלה למערכת האקסיומות (ואם לא רוצים, אז לא). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שהן "לוגיות" במובן שהן הגיוניות, אבל הן אינן האכסיומות של הלוגיקה. אתה מוכן לקבל שהלוגיקה מצריכה מס' אינסופי של אכסיומות (כי משפט גדל מראה איך אפשר לבנות סדרה אינסופית של "מס' גדל" שכל אחד מהם תצטרך להוסיף כאכסיומה כי הוא בלתי ניתן להוכחה)? או, לחילופין, אתה חושב שאפשר לדבר על "משפט נכון אך אינו ניתן להוכחה" בלוגיקה שמס' האכסיומות שבה סופי? יש משמעות בכלל לחיה כזאת? או שמא אתה מוכן לוותר על כך שהלוגיקה היא חסרת סתירות (וכידוע מסתירה לוגית אחת אפשר לגזור הכל)? לפי הבנתי, אם התשובה לכל אלה שלילית, אתה לא יכול להיות לוגיציסט, שכן אלה הסדים שבתוכם נמצאת המתמטיקה עפ"י משפט גדל, או ליתר דיוק מערכות ברמת הסיבוך של המס' הטבעיים לפחות. אני מניח שהמהGeg יכול לעשות כאן עבודה יותר טובה ממני, אז אני אשמח להעביר לו את הלפיד ולהתרכז יותר בפלירטוטים עם ברקת ועדי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא יהיה סימפטי לעבוד עם מספר אינסופי של אקסיומות (גם המתמטיקה הסופית שלנו מספיק מסובכת), ובפועל יספיק מספר קטן (וסופי עד מאד). אני מבין שבמקרה כזה יש משפטים נכונים שלא ניתן להוכיח אותם; אז מה? הטענות שהמשפטים האלה מייצגים הן, לרוב, לא מעניינות; אפשר להמשיך לעבוד בשאר התחום. אין לי גם שום בעיה עם משפטים שהם ככל הנראה נכונים ולא יודעים להוכיח אותם; משלמים לי בשביל להקטין את מספרם של היצורים האלו. עם סתירות בלוגיקה אני באמת לא מוכן לחיות. ובהצלחה עם ברקת ועדי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(דילגתי על המשפט הראשון שלך!) עכשיו אני מבין ש"אקסיומות לוגיות (לחלוטין)" הן *האקסיומות של הלוגיקה הפסוקית*. שהן, כמובן, חלשות מכדי לעשות בהן משהו מעניין (דהיינו, לבנות את תורת הקבוצות). אז אני לא לוגיציסט; וגם לא אף מתמטיקאי שאני מכיר. למה שמישהו ירצה להיות לוגיציסט? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא רק הלוגיקה הפסוקית. אתה (בניגוד לי) יכול ודאי לקרוא את פרינציפיה מתמטיקה של וויטהד וראסל וללמוד על כל האמור לא מפי השמועה. מי שרצה להיות לוגיציסט הם האדונים הנ"ל, וכמדומני מתמטיקאים לא מעטים בזמנם (הילברט?). אלא שלאחר משפט גדל אפילו ראסל הודה, במפח נפש גדול, שזה לא הולך. (ורק בשביל לטהר את שמי ברצוני להדגיש שאת עניין ה"אקסיומות הלוגיות" לא אני הכנסתי לדיון, רק ניסיתי להסביר את הכוונה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רשמתי לפני (כבר מזמן) לברר מה זה בדיוק לוגיציסם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתפלא לשמוע, אבל כולנו, כל אחד מאיתנו, מבין היטב את משמעותן של מילות קישור, ובכלל, כל מיני מילים בעברית. נחש מה מהדברים שאתה אומר אנשים נורמליים לא מבינים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
________ העלמה עפרונית, חוזרת לעמוד בפינה בשקט, ומהרהרת על יום העבודה הראשון שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היי! אתה סתם מקנה במעריצות שלי! לא, באמת; מה לא ברור / לא בסדר? (אף פעם לא טענתי לנורמליות1) ------------ 1 באנגלית זה נשמע יותר נחמד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אויש, פאדיחה. התכוונתי לומר 'מקנא', כמובן. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |