 |
|
 |
||
|
||||
 |
מה ההבדל בין פתרון אנליטי לנומרי? האם זו הדרך לציין שימוש בקירובים? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא. פתרון אנליטי הוא פתרון בצורת פונקציה, (בד"כ של כמה משתנים המהווים את נתוני המערכת שידועים לנו) שנותנת באופן חד ערכי את התוצאה המבוקשת. פתרון נומרי, הוא משוואה (או מערכת משוואות) שאין לה (או לא ידוע שיש לה) פתרון אנליטי, אבל היא ידועה במדויק עבור תנאי התחלה מסויימים וניתן בעזרת מחשב לחשב אותה בצורה מדויקת מספיק בתחום מסוים סביב תנאי ההתחלה. דוגמאות: לכל מערכת סופית של מטענים חשמליים נקודתיים ניתן לחשב אנליטית את השדה החשמלי שנוצר בסביבתם. כמעט לכל מערכת א-סימטרית של מוליכים טעונים אין פתרון אנליטי, אבל לחלקן יש פתרון נומרי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בד''כ לא רק ''בצורה מדוייקת מספיק'' אלא ''בכל מידת דיוק רצויה''. (אנליזה נומרית. עד היום אני מודה לאל שהצלחתי לקבל ציון עובר בקורס הזה.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש שאלה שמתרוצצת לי בראש, אליכם המתמטיקאים: לפניי שלוש עמודות של נתונים מספריים, ועוד עמודה של תוצאות. איך אני מתאים למידע הזה משוואה בשלושה נעלמים? מה מגבלות הדיוק? מהם מגבלות המימדים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אל"מ = אני לא מתמטיקאי. אני אפילו לא בטוח שאני מהנדס תוכנה) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(רמטכ"ל = ראה מצבך טוב כהשוואה לביולוג) אולי מהדס-תוכנה1 (אפילו אחד שלא בטוח בכך) יצטיין בפתרון בעיה זו אף יותר ממתמטיקאי. דרוש לי פה אלגוריתם, לא כן? 1 זה יצא לי במקור כטעות דפוס, אך לפעמים לשגיאות יופי משלהן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה מייצגים המספרים בעמודות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נ'ערף, נתונים: משקל מיספוא, שעות מהארוחה הקודמת, ריכוז המוגלובין בגוף הסוס לפני הארוחה. תוצאה: ריכוז המוגלובין בגוף הסוס שעתיים אחרי הארוחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התכוונתי, במשוואות שאתה רוצה לקבל, מה מייצגים העמודות. בעיקרון, הדרך האנליטית ביותר (שהיא בהחלט לא הטובה ביותר) לפתור את ה"בעיה" היא בעזרת מעיין טור טילור תלת מימדי. נתחיל בצורה החד ממדית, נניח שהתלות היא רק בין משקל המספוא לריכוז הסופי, נתחיל בשני המספר הראשונים, ונניח תלות ליניארית (ax+b=y), נתונים לך שני xים ושני yים ולכן פתרון הבעיה קל, נמשיך לערך השלישי, ואם התלות הליניארית נופלת, נניח תלות מסדר שני (ax^2+bx+c=y), כאשר נתונים שלושה xים ושלושה yים, שוב מדובר בבעיה פתירה, וכך הלאה. עכשיו, נניח שהתלות היא בשני משתנים (ז"א, גם הריכוז לפני הארוחה), הפעם נתחיל בשלושת השורות הראשונות, ונניח תלות ליניארית (ax+by+c=z), יש לך שלושה xים, שלושה yים ושלושה zים, מכאן שהבעיה פתירה, ועכשיו נוסיף עוד שתי שורות, ונעבור לתלות ריבועית, וכך הלאה. השיטה לשלושה מימדים (או יותר) היא זהה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהמשך לתגובתו של איזי (תגובה 83694), כל זה נכון בהנחה שהתלות בין המשתנים פרידה, בהנחה שלא, צריך להוסיף למקרה הריבועי בשני משתנים (שהיה ax+bx^2+cy+dy^2+f=g) גם את האיבר exy וכך הלאה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. תודה (לכולכם). ואיך אני מתרגם את הכבודה הזו למשהו שאני יכול לעשות? ספר באנליזה נומרית כנראה יירה אל מעבר לראשי (איפשהו באיזור הסטרטוספירה). האם יש אלגוריתם בתחום? אולי פתרון באמצעות רשת נוירונים? מה בדבר מחקרים או מומחים בתחום? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שאתה רוצה, זה תשובה לאחת השאלות הקשות במדע - איך גוזרים מתוצאות של ניסוי את התאוריה. אין אלגוריתם לזה ואין לי מושג מה ניתן לעשות בנושא זה באמצעות רשתות ניורונים. לכל פיזיקאי נסיונאי טוב (ומן הסתם לכל מדען נסיונאי טוב) יש אינטואיציה לגבי גזירת תאוריה מתוצאות הניסוי, כך שמומחים בתחום אני מניח שיש. אני מאמין, שקימות תוכנות מתמטיות, (מהסוג של Matlab) שיכולות לבצע אינטרפולציה על התוצאות לקבלת פונקציה רציפה בשלושה נעלמים. בכל מקרה, תצטרך אתה להחליט באיזו שיטה להשתמש - רגרסיה ליניארית, ריבועית או מעריכית. (יתכן שיש עוד אופציות) נדמה לי, שאפילו Excel מסוגל לבצע דברים כאלו בשני נעלמים. בהצלחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה! א-גב, זה מזכיר מה שטענתי בעבר, כשניסיתי להסביר שהחוק הוא אובייקטיבי, וטענו נגדי שיהיה אפשר להחליף את השופט בתוכנה; באנלוגיה, טענתי שמשום שמוסכם שמושאו של המדע הוא אובייקטיבי, הרי שגם את המדען ניתן יהיה להחליף יום אחד בתוכנה... ומעניין את מי יחליפו קודם... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שאתה צריך זה לא מתמטיקאי, וגם לא מהנדס תוכנה, אלא סטטיסטיקאי. זו לא בעיה באנליזה נומרית, ואין שום טעם להתאים נוסחה פולינומיאלית מדוייקת לנתונים. הרעיון הוא להתאים נוסחה מקורבת, המוגבלת על-ידי האילוץ של שלושה פרמטרים, ומנסה למזער את השגיאות תחת האילוץ. הצעד הראשון הוא להציע מודל. למשל, אם הנתונים היו X1 = משקל הסוס בגיל שנה X2 = כמות מספוא יומית X3 = משקל אבי הסוס בבגרותו ואתה מנסה להסביר את Y = משקל הסוס בגיל שנתיים, המודל יכול להיות Y=a*X1+b*X2+c*X3+d, כלומר: אתה מניח שהערך של Y מוסבר באופן ליניארי על-ידי הנתונים. הנחת היסוד היא שהמשוואה אינה מדוייקת, ויש למצוא את הערכים a,b,c,d שעבורם השגיאה (=סכום ריבועי השגיאות) מינימלית. הבעיה הזו נקראת "רגרסיה ליניארית תלת-ממדית", וקיימות שיטות פשוטות למדי שמוצאות את ערכי הפרמטרים. במודל הזה יש ארבעה פרמטרים (a,b,c,d). כמובן שאפשר לבנות מודלים מסובכים יותר, למשל Y=a*X1+b*X2+c*X3+d+e*X1*X2+f*X1*X1; רק מדען הסוסים (ולא הסטטיסטיקאי) יוכל לומר אם יש בפרמטרים החדשים הגיון. במקרה שלך, אם נסמן ב- W את משקל המספוא, ב- T את הזמן שחלף מאז הארוחה הקודמת, ב- X את ריכוז ההמוגלובין לפני הארוחה וב- Y את הריכוז לאחר הארוחה, הייתי מציע מודל תלת-פרמטרי כזה: (Y=X+a*W+b*exp(-c*T. זה אינו מודל ליניארי, ולכן חישוב הפרמטרים עשוי להיות יותר מסובך מאשר בדרך כלל.ההמשך תלוי בסוג השאלות שמעסיקות אותך: חיזוי (לבנות נוסחה שתתן את רמת ההמוגלובין אחרי הארוחה), או מחקר (להוכיח שהזמן מאז הארוחה הקודמת אינו משפיע על רמת ההמוגלובין). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההשכלה הרלוונטית שלי דומה לשל טל וערן, חוץ מזה שאני מצאתי יופי מסוים באנליזה נומרית (וכמו טל, בעור שיני עברתי את הקורס). לא מספיק כדי שאוכל לשלוף לך אלגוריתם. אם אף אייל אחר לא יעזור לך, ואם זה חשוב לך מספיק, חפש לך ספר לימוד כלשהו באנליזה נומרית, בספריית מדעי המחשב הקרובה למקום מגוריך. דלג על הקטעים העוסקים בנגזרות ואינטגרלים, והתרכז בחישוב פונקציות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה קשה. למעשה (וניתן להוכיח זאת) יש אינסוף משוואות בשלושה נעלמים, שיתאימו למספר סופי של נתונים ותוצאות. כדי לבחור, אנחנו צריכים בד''כ להניח כמה הנחות על המערכת כדי למצוא פתרון. בפיזיקה, מניחים בד''כ הפרדת משתנים כפלית, (או חיבורית) כלומר מניחים, שהפונקציה המבוקשת מורכבת ממכפלה (או מסכום) של שלוש פונקציות במשתנה יחיד. כדי לפתור את זה עדיין צריך לקבל תוצאות עבור שינוי במשתנה יחיד בכל פעם כאשר השניים האחרים קבועים וכך לקבל את שלושת הפונקציות ומהן את התוצאה המבוקשת. הפתרון הזה לחלוטין לא נכון כאשר שלושת המשתנים תלוים זה בזה. במקרה כזה מחפשים את הקשר בין המשתנים ומקבלים מערכת של שלוש משוואות (כל משתנה כפונקציה של השנים האחרים) ובמקרים מסוימים ניתן לפתור אותן ביחד ולקבל בעיה במשתנה יחיד. מגבלות הדיוק תלויות במידת הנכונות של ההנחות. (הקשר בין המשתנים) לא ברור למה הכוונה ב''מימדים''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראה מה שכתב עוזי. קוראים לזה שיטות רגרסייה וסביר שהן ישמשו אותך עוד רבות. שווה להשקיע. אגב, בשנה ג' בפיסיקה, הציון הגבוה היחיד שהיה לי במעבדה היה על פיתוח אלגוריתם די כללי לרגרסייה לשם מציאת קשרים בין מספר כלשהו של משתנים הנמדדים בסידרת ניסויים. רק לאחר מספר חודשים התגלה לי שמישהו כבר הקדים אותי (ניוטון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודעת אם זו השיטה הרשמית, אבל נראה שניתן להשתמש באוסף הנתונים שלך כדי לצייר גרף של הפונקציה הדרושה. אחר כך אפשר להסתכל על הגרף ולנסות לנחש את הפונקציה. אני משערת שככל שיש יותר נתונים הדיוק עולה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לך, כנראה, דמיון מרחבי טוב יותר משל מרבית האנשים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר "לנחש את הפונקציה" רק אם במקרה יש כזו. לפי התאור של ארז מדובר במספרים "מהשטח", ואין שום סיבה להניח שהם מתאימים לאיזושהי פונקציה נחמדה. מצד שני, מותר לקוות שהם מתאימים בקירוב למודל מסויים - ואני מסכים שאחת הדרכים לנחש את המודל היא להתבונן בגרף של הפונקציה (או היטלים שלו, במקרה דנן). את התשובה ה"נכונה" לשאלה נתתי כאן: תגובה 83915 , ועד היום לא ברור לי אם היא הועילה או הזיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאחר והמספוא לא מעוכל באפס זמן, גם ה a*W וגם ה b*exp(-c*T) לא נכונים. dx/dt = f(W) - kx כאשר (f(W היא פונקציה שמתארת את קצב העיכול. אין לי מושג ירוק מה לעשות עם זה, אבל הייתי מנחש שקירוב יותר טוב משלך יהיה בנוסח (Y=X+a*W*exp(-c*T או (Y=X+a*log(W)*exp(-c*T - משהו שיתן צורה של דבשת עם זנב לכוון החיובי של ציר הזמן. הריכוז מתחיל מ X ועולה עד איזה מקסימום ורק ממנו מתחילה הדעיכה האקספוננציאלית. אני מתנצל אם דיברתי שטויות, אבל לא התעסקתי עם משוואות דיפרנציאליות מאז הויכוחים המפורסמים שלי עם לייבניץ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שלנחש את הפונקציה לפי צורת הגרף זה קצת כמו לרתום את העגלה לפני הסוסים (למרות שגם זה שימושי לפעמים). לפי הידע של אשתי שתחיה על המודל האנושי לשאלה הסוסית שלנו, אפשר לנסח משוואות דיפרנציאליות בשלושה משתנים: רמת ההמוגלובין (X), גודל מאגרי הברזל בגוף (נניח I) ורמתו של תוצר הגן המדכא יצור המוגלובין מהמאגרים (נניח G), ותחת הנחות פישוט רחבות. אם אלו היו משוואות שאפשר לפתור אותן (והן לא), אפשר היה לייצר מזה מודל. בנסיון לפשט עוד קצת, נחפש משוואות דיפרנציאליות בלי G, למשל: X' = -0.045*X+0.1*I כאשר C=0 בדרך-כלל, ו- C=2.58 בזמן הארוחות (שאותן הסוס מקבל כאשר הקוסינוס של הזמן t גדול מ- 0.82).I' = -0.5 + C(t) 1. ההגיון הוא שהמוגלובין מתפרק באופן טבעי (ומכאן הגורם 0.045X) ומיוצר מתוך הברזל שבמאגרים. המאגרים מנוצלים באופן קבוע פחות או יותר ומתמלאים רק בזמן הארוחות. 2. המקדמים צריכים להיות פרמטרים שיקבעו לפי הנתונים, ולא הקבועים שאני המצאתי (למרות שהם עובדים מצוין). 3. הפתרון למערכת הזו: I הוא פונקציה ליניארית למקוטעין, ולכן X אקספוננציאלית למקוטעין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חזרתי מהכפור! סלח לי על נימוסיי, בודאי שהיא הועילה, ולו כהמלצה לפתרון. באופן מעשי ההצעה הטובה ביותר היתה המשפט הראשון (רוצה לעזור?) |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |