בתשובה לעוזי ו., 01/08/02 2:36
 |
|
 |
||
|
||||
 |
למה אתה שם במרכאות את שני המשפטים הראשונים, כאילו אתה מצטט אותי? אני לא חושב שאני מחדש לך הרבה בטענתי שבתורת הקבוצות, כמו בכל מערכת אכסיומטית אחרת, יוצאים ממושגים לא מוגדרים, ושכל חיפוש מילונאי של, לדוגמא, המושגים: קבוצה, איבר, עוצמה הופך במהרה לחיפוש מעגלי (טוב, כל חיפוש מילונאי הופך לכזה בהכרח כי יש רק מס' סופי של מילים במילון). אני לא קראתי את ראסל ווויטהד, אבל אם הם לא השתמשו בשום מושג יסוד אני אשמח לשמוע איך הם הצליחו. מה זאת אומרת ההגדרה של 2 היא 1+1? ראשית, אתה צריך להגדיר 1, וזאת אתה עושה בהסתמך על מה שנקרא "עוצמה" שמוגדרת עבור היצור שנקרא "קבוצה", ואם אני זוכר נכון גם "איבר" משתרבב לשם , וכמדומני גם מושג ה"הכלה", ונדמה לי שרק אז אפשר להגדיר את ה"0" בתור העוצמה של הקבוצה הריקה ומשם אתה כבר יכול באמת להמשיך ל"ההגדרה של 4 היא "3+1", ההגדרה של 3 היא "2+1", וההגדרה של 2 היא "1+1"" (אגב, מעניין למה החלטת ללכת דוקא בסדר הזה ולא הפוך). אני מתנצל מראש אם עשיתי כאן איזו טעות נוראה והשתמשתי במשהו שהוא *כן* מוגדר באמצעות המושגים האחרים (שוטים נוטים לעשות טעויות כאלה). מכל מקום, אני לא חושב שאנחנו באמת מתווכחים על העיקרון שלא ניתן להגדיר שום דבר בלי להשתמש במושגי יסוד או בלי שההגדרה מעגלית. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
מר שוטה הנכבד, הגבתי ל-GeG ולא לך; ציטטתי אותו, ולא אותך. (הציטוט אמנם אינו מלה-במלה, אבל בכל זאת מדויק והוגן). אם לא תתעקש, אני גם מעדיף לענות באריכות (שמן הסתם תדרש) לו ולא לך. בכל אופן (ובקיצור): ישנן שתי גישות ליסודות המתמטיקה. הגישה הנאיבית (והפרקטית) מניחה קיום של מושג לא-מוגדר אחד בלבד ("קבוצה"). עם כל השאר מסתדרים מצוין. הגישה הדקדקנית יותר לא צריכה אפילו את זה (היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות ויחס שייכות; כך לא צריך "להגדיר" כלום). בכל אופן הסדר הנכון הוא להגדיר את הקבוצה הריקה, ולקרוא לה אפס. לקבוצה שאיברה היחיד הוא אפס, קוראים אחד. לקבוצה שאיבריה הם אפס ואחד, קוראים שתיים. באופן הזה מגדירים את המספרים הטבעיים (ופעולת החיבור) הרבה לפני שמתחילים לחשוב על עוצמות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מר ו. הנכבד מאד, לא אתעקש. יתר על כן, אני מקבל בתודה את הערתך על תורת הקבוצות הפורמלית בה פשוט מדלגים על ההגדרות, ולהבא אשתדל לנסח טענות על המתמטיקה1 בצורה שתכלול גם את האפשרות הזאת. בברכה, ש. הכפר ------------------- 1 ובמיוחד אשתדל לא לנסח טענות על המתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ששייך יותר לויכוח שלך בענייני חיות, אינטליגנציה וניסויים, אבל מתחבר יפה גם ל 1+1=2 שלנו כאן: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ועל מה מתבססת הידיעה של המתמטיקה שקיים עולם כזה?? למיטב ידיעתי, לא ניתן להגדיר כל מתמטיקה ללא יציאה מאיזשהו מושג יסוד. בד"כ מושג היסוד הזה הוא המושג 'קבוצה'. אחת הבעיות היא שהמושג הזה *אינו* כל-כך אינטואיטיבי כפי שהוא נראה, כפי שהוכיח הפרדוקס של ראסל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה היופי של כל הענין - המצב הוא הרבה יותר גרוע. לא רק שאין הוכחה שקיים "עולם כזה" (דהיינו מודל לתורת הקבוצות); לפי אחד המשפטים של גדל, יתכן1 שאפשר להוכיח2 שאין עולם כזה. 1: "יתכן" כאן במשמעות קצת מוזרה: לא ניתן להוכיח את ההיפך. 2: להוכיח - בכך שנצביע על סתירה פנימית במערכת האקסיומות הסטנדרטית3. 3: המשפט של גדל נכון לכל מערכת חזקה מספיק (שזה די מעט), ולכן "סטנדרטית" הוא מונח רחב מאד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Well said. זו (היעדר ההוכחה) אגב הסיבה המקורית שזנחתי את הלוגיציזם, עוד לפני שידעתי מה *בדיוק* אומר גדל, ונזקקתי למטאפיזיקה (של קאנט. על הטיעונים הטרנסצנדנטליים שלו). מעניין אם נשארו עדיין חסידי לוגיציזם (אולי באייל?). למיטב ידיעתי זהו דינוזאור אינטלקטואלי, ממש מאובן מושלם!
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם את/ה לוגיציסט/ית? אני בטוח שההענות תהיה פנטסטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שההענות תהיה באותה עצמה, אבל התשובה "מה זה לוגיציזם?" תהיה המנצחת. כאמור, זה דינוזאור אינטלקטואלי. ובכל זאת, כל מי שמכיר את המושג יסכים שהוא מרתק. לפחות ממי שאני מכיר. שווה ללמוד אותו; לא כדי לעשות סקר כזה... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה. (דובי, הצתה מאוחרת) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "לוגיציזם"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני הייתי רוצה לדעת מה זה לוגיציזם. המחשבה שאולי אני כזה ואפילו לא ידעתי, מטרידה אותי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקום לשטוח הסבר של עמוד פוליו, בסופו אני אזכה רק לתגובה מסוג "אתה משעמם", אנסח את כל הרעיון בשלוש מילים: מה שראסל אמר. או: מי שגדל הרס לו את החלום. אגב,לכל אוהבי בעיית המורכבות במתמטיקה, מה אתם אומרים על קידוד תפיסה שלמה ומורכבת-עד-אימה לשלוש מילים? :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי תהיה נחמד ותסביר לנו את זה בשלושה משפטים בלתי מחייבים? הנה עזרה: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע אם הרזולוציה של שלושה משפטים היא הטובה ביותר: אני (כרגיל) מקבל את ההסבר של xrefer; במשפט אחד: 'Mathematics is logic' הרזולוציה המתבקשת הבאה היא החצי-עמוד של xrefer (אמרתי כבר שזה אתר נהדר?): http://www.xrefer.com/entry/552663, ולמעוניינים, הרחבה מתבקשת בערך 'גדל': http://www.xrefer.com/entry/552184 (ציטוט: the only serious alternatives to the empiricist view and Gödel's own were logicism, i.e. the view that mathematics is a body of tautologies deducible from a system of purely logical axioms, and formalism, i.e. the view that mathematics is a purely formal extension of finitary reasoning, an extension which could never lead us into falsehood; but these views, logicism and formalism, had been effectively destroyed by Gödel's mathematical work.) אני, כמובן, רואה בכך את ניצחונו הגדול של קאנט מול הפוזיטיביזם הלוגי, שאמר 250 שנה לפני גדל, ש 12 = 7 + 5 איננו משפט אנליטי, ומכאן הגיע לאידיאליזם הטרנסצנדנטלי (בדיוק על זה מדברת היחידה השנייה בקורס "עיון ב"הקדמות" של קאנט" באוניברסיטה הפתוחה: http://www3.openu.ac.il/ouweb/owa/yed.daf_kurs?mid=3...) זה גם המקום בו הפורמאליזם הישן שלי, בסיגנון של רודוךף קרנפ, הוגבל ע"י קאנט. לאט לאט תוכלו לעקוב אחרי נתיבי השכנוע שאני עברתי, ובגללם הפכתי לקאנטיאני... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה יהיה מסע מרתק, אני בטוח, אבל אני פשוט אחכה לקרוא את הביוגרפיה שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנ"ל. איך אמר אהוד ברק? "חכו ותראו". (טוב, אז לא דוגמא מוצלחת...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מקור בעברית: הספר "משפט גדל ובעית היסודות של המתמטיקה" של ארנון אברון, שהמלצתי עליו כבר: תגובה 22928 (זה כמובן לא תכליתי במיוחד לקרוא אותו רק כדי לדעת על איזה מילה שמישהו זרק באייל, אבל זה ספר חובה בלי קשר) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצטרף להמלצה. ספר נפלא באמת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומי שקורא אנגלית, בל יחמיץ את Goedel Escher Bach של הופשטטר. את גדל הייתי זורק יחד עם הייזנברג לאגף מיוחד בגיהנום, וממנה את ראסל ואיינשטיין לאחראים על טמפרטורת הזפת. נו, מה, צריך להוסיף אמוטיקון של קריצה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם תורגמו ספרים של הופשטטר לעברית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למיטב ידיעתי לא, אבל מישהו ששנינו מכירים מנסה בימינו אנו לעשות בדיוק את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, אני אשמח לשמוע על התפתחויות בנושא. בינתיים, האם יש דרך להשיג את הספרים האנגליים בארץ ללא צורך בכרטיס אשראי בין לאומי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסית בספרייה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתפלא, אבל כן. אפילו בכמה ספריות, שאינן ספריות של אוניברסיטאות. אולי כאן נעוצה הבעיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את GEB קניתי בסטימצקי, אבל זה היה לפני המון שנים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(ask a stupid question...)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תהיה מעצבן. הוא שאל על "ספרים של הופשטטר", רציתי לדעת אם התכוונת ל-GEB או לאחד מספריו האחרים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה. תשאל במסדרונות של הטכניון. מסתבר שרצות שם שמועות בנושא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שים לב: "לוגיציזם: ההשקפה לפיה המתמטיקה היא גוף של טאוטולוגיות שניתן להסיקן מתוך מערכת של אקסיומות לוגיות לחלוטין." הייתי טורח לנסות להבין מה זה אומר אם היה אכפת לי, אבל לא, אז לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה לא ברור כאן? אגב, בנוסף להמלצה של ירדן ניר, דיון מקיף בנושא קרוב מאוד (האנליטי והא-פריורי. והשאלה אם כל טענה אנליטית היא טאוטולוגיה) ניתן למצוא בספרו של שטייניץ, שכבר המצלתי עליו, "לעולם תהא המטפיזיקה". ובכל זאת, נסביר את המשפט: אם כל הטענות האנליטיות (המתמטיקה, למשל) הן טאוטולוגיות, הרי שניתן לעשות רדוקציה מלאה של המתמטיקה ללוגיקה ללא שום צורך בשום טענות מטאפיזיות, שאתם הפוזיטיביסטים שוללים (בהנחה שאתה אמפיריציסט-פוזיטיביסט, אסכולה שנעשתה הרבה פחות פופולרית מאשר בתחילת המאה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חצי מהמילים בתור התחלה. והפעם אני אפילו לא יכולה להאשים את העובדה שיש לי חסך רציני בשעות שינה ושאני אפוצה לחלוטין. והחלק היותר בעייתי היה ההסבר שלך. לי אמרו פעם שהסבר אמור לתת פירוש למושג מורכב בדרך פשוטה ומובנית יותר. יכול להיות שהדפיקות היא שלי (וזה אכן יכול להסביר הרבה מאד דברים), אבל מההסבר שלך הבנתי בעיקר את מילות הקישור, ואת המילה "שוללים"... נו טוף,אני אתמודד עם זה. _______ העלמה עפרונית, בפרץ חשיפה מרגש, עדיין מחפשת בית לשלושה חתולים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, טוב, נו. בשביל זה היה הקישור ל xrefer קודם לכן. לא ניסיתי להיות במקומו. וההסבר שלי היה לדובי, שאני *יודע* שהוא מכיר ומשתמש במילים 'טאוטולוגיות' ו 'מטאפיזיות', שאלו המילים הקשות לדעתי, בהסבר. (המילה הקשה הנוספת 'האנליטיות', שהיא אולי הקשה מכולן, הוסברה כאן: תגובה 58018) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
____ העלמה עפרונית, עדיין מחפשת בית לשלושה חתולים. וגם עבודה באזור הנגב. יש הצעות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי החתולים, אני אשלח לך דוא''ל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לוגיציזם: ההשקפה לפיה המתמטיקה היא גוף של טאוטולוגיות שניתן להסיקן מתוך מערכת של אקסיומות לוגיות לחלוטין." מה פירוש "לוגיות לחלוטין"? איך אקסיומה (מתמטית) יכולה להיות או לא להיות לוגית (ועוד לחלוטין)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להגיד ארבע שורות וחצי בלי שום משמעות בכלל. ועם המון מילים מסובכות שאני בטח הייתי טועה באיות שלהן. ומטאפורות נפלאות. שיחקת אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע. לדעתי, אלו היו ארבע שורות וחצי דחוסות משמעות, באופן יחסי. אבל אצלי מעריצות זוכות ליחס מיוחד, אז אני אסביר לאט: ראשית, "Well said". בערתן האדיבה של זוג המילים הללו הבעתי גם הסכמה לדבריו של עוזי וגם ציון לשבח על הבחירה הנאותה במילים. "זו (היעדר ההוכחה) אגב הסיבה המקורית שזנחתי את הלוגיציזם" - כלומר, למרות שמהפרספקטיבה של מי שמכיר את דעותיי היום, נראה כאילו זנחתי את הלוגיציזם משום משפט אי השלמות של גדל, הרי שכבר זנחתי אותו קודם בשל אי יכולת ההוכחה לקיומו של העולם ההוא. "עוד לפני שידעתי מה *בדיוק* אומר גדל, ונזקקתי למטאפיזיקה (של קאנט. על הטיעונים הטרנסצנדנטליים שלו)" - כלומר, כבר בגלל עצם הטיעונים הטרנסצנדנטליים של קאנט. כמובן שכאנטי-מטאפיזיקאי, וחסיד של הלוגיציזם, כפרתי בטיעונים הטרנסצנדנטליים של קאנט. עם קַבלתם, זנחתי את הלוגיציזם. "מעניין אם נשארו עדיין חסידי לוגיציזם (אולי באייל?). למיטב ידיעתי זהו דינוזאור אינטלקטואלי, ממש מאובן מושלם!" - לא רק אני זנחתי. עם ירידת הפופולאריות של הפוזיטיביזם הלוגי, וגל הביקורות על אי השלמות במודל תורת הטיפוסים של ראסל/וויטהד (על שמו, כמובן, האימייל שלי, אם ניחשת...), חדל הלוגיציזם להוות זרם חשוב ורב משמעות כפי שהיה. הפופולאריות של משפט אי-השלמות הרגה אותו לחלוטין. לכן, לא כל דבר שכבודה לא מבינה הוא חסר משמעות. רק בעיניך. ואני מתנצל אם השימוש הרב ב "מילים מסובכות", כפי שאמרת זאת בשפתך שלך, חורה לך. כבר הסברתי פעם (מי האייל הזריז שייתן את הלינק?) מדוע אני עושה זאת: חשוב לשמור על הקונסיסטנטיות של המושגים המקובלים, כך הקישורים שיעשה הקורא יהיו ברורים יותר. חוץ מזה, את רוב המושגים יהיה קשה ארוך ומתיש 'לתרגם' לשפה מדוברת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי קצת, ואם לוגיציזם הוא באמת ההשקפה ש"המתמטיקה היא גוף של טאוטולוגיות שניתן להסיקן מתוך מערכת של אקסיומות" (את הזנב "לוגיות לחלוטין" קצצתי, כי הוא חסר משמעות בעיני) - אז אני, כמו גם כל מתמטיקאי אחר שאני מכיר, לוגיציסט. מתמטיקה היא מה שמתמטיקאים עושים (זו ההגדרה של G.H.Hardy, שהולמת ממנה אני לא מכיר). מתמטיקאים מוכיחים משפטים. את אלה אפשר להסיק מתוך האקסיומות (כך מוכיחים אותם). צריך להעיר שהמתטיקה היא יצירה אנושית, ולכן הבחירה *אילו* משפטים לנסות ולהוכיח תלויה במה שמעניין; וזה כמובן עניין סובייקטיבי. ועדיין, המשפטים לא נחשבים לכאלה עד שעמדו בדרישות (דהיינו, נגזרו מן האקסיומות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הזנב שקצצת הוא, כמדומני, לב לבו של הלוגיציזם. הרעיון שעומד בבסיסו הוא שניתן למפות את המתמטיקה אל הלוגיקה הפורמלית (בדומה למיפוי של הגיאומטריה אל האלגברה דרך הגיאומטריה האנליטית) - והרעיון הזה נכשל בעקבות משפט גדל, אלא אם כן אתה מוכן לקבל שהלוגיקה אף היא מכילה משפטים נכונים אך אינם ניתנים להוכחה, מה שנשמע לאזני הלא מלומדות כבעיה גדולה בהבנת המושג ''לוגיקה''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שהאקסיומות הן "לוגיות" ("לחלוטין") - מה הן יכולות להיות חוץ מזה? הרעיון למפות את המתמטיקה אל הלוגיקה לא נכשל; משפטי גדל מוכיחים את מה שהם מוכיחים, לא יותר מזה. לפי משפטי גדל, יהיו דברים נכונים שלא נוכל להוכיח ממערכת האקסיומות המקובלת. ברוב תחומי המתמטיקה, אלו לא יהיו טענות מעניינות (ולכן לא ניתקל בהן). אנשי תורת הקבוצות הצליחו לבנות טענות רבות שהן בלתי תלויות באקסיומות היסודיות (ZFC); זו לא חוויה כל-כך טראומטית כמו שאפשר לחשוב: אם רוצים, מצרפים את הטענות החדשות האלה למערכת האקסיומות (ואם לא רוצים, אז לא). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שהן "לוגיות" במובן שהן הגיוניות, אבל הן אינן האכסיומות של הלוגיקה. אתה מוכן לקבל שהלוגיקה מצריכה מס' אינסופי של אכסיומות (כי משפט גדל מראה איך אפשר לבנות סדרה אינסופית של "מס' גדל" שכל אחד מהם תצטרך להוסיף כאכסיומה כי הוא בלתי ניתן להוכחה)? או, לחילופין, אתה חושב שאפשר לדבר על "משפט נכון אך אינו ניתן להוכחה" בלוגיקה שמס' האכסיומות שבה סופי? יש משמעות בכלל לחיה כזאת? או שמא אתה מוכן לוותר על כך שהלוגיקה היא חסרת סתירות (וכידוע מסתירה לוגית אחת אפשר לגזור הכל)? לפי הבנתי, אם התשובה לכל אלה שלילית, אתה לא יכול להיות לוגיציסט, שכן אלה הסדים שבתוכם נמצאת המתמטיקה עפ"י משפט גדל, או ליתר דיוק מערכות ברמת הסיבוך של המס' הטבעיים לפחות. אני מניח שהמהGeg יכול לעשות כאן עבודה יותר טובה ממני, אז אני אשמח להעביר לו את הלפיד ולהתרכז יותר בפלירטוטים עם ברקת ועדי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא יהיה סימפטי לעבוד עם מספר אינסופי של אקסיומות (גם המתמטיקה הסופית שלנו מספיק מסובכת), ובפועל יספיק מספר קטן (וסופי עד מאד). אני מבין שבמקרה כזה יש משפטים נכונים שלא ניתן להוכיח אותם; אז מה? הטענות שהמשפטים האלה מייצגים הן, לרוב, לא מעניינות; אפשר להמשיך לעבוד בשאר התחום. אין לי גם שום בעיה עם משפטים שהם ככל הנראה נכונים ולא יודעים להוכיח אותם; משלמים לי בשביל להקטין את מספרם של היצורים האלו. עם סתירות בלוגיקה אני באמת לא מוכן לחיות. ובהצלחה עם ברקת ועדי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(דילגתי על המשפט הראשון שלך!) עכשיו אני מבין ש"אקסיומות לוגיות (לחלוטין)" הן *האקסיומות של הלוגיקה הפסוקית*. שהן, כמובן, חלשות מכדי לעשות בהן משהו מעניין (דהיינו, לבנות את תורת הקבוצות). אז אני לא לוגיציסט; וגם לא אף מתמטיקאי שאני מכיר. למה שמישהו ירצה להיות לוגיציסט? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא רק הלוגיקה הפסוקית. אתה (בניגוד לי) יכול ודאי לקרוא את פרינציפיה מתמטיקה של וויטהד וראסל וללמוד על כל האמור לא מפי השמועה. מי שרצה להיות לוגיציסט הם האדונים הנ"ל, וכמדומני מתמטיקאים לא מעטים בזמנם (הילברט?). אלא שלאחר משפט גדל אפילו ראסל הודה, במפח נפש גדול, שזה לא הולך. (ורק בשביל לטהר את שמי ברצוני להדגיש שאת עניין ה"אקסיומות הלוגיות" לא אני הכנסתי לדיון, רק ניסיתי להסביר את הכוונה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רשמתי לפני (כבר מזמן) לברר מה זה בדיוק לוגיציסם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתפלא לשמוע, אבל כולנו, כל אחד מאיתנו, מבין היטב את משמעותן של מילות קישור, ובכלל, כל מיני מילים בעברית. נחש מה מהדברים שאתה אומר אנשים נורמליים לא מבינים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
________ העלמה עפרונית, חוזרת לעמוד בפינה בשקט, ומהרהרת על יום העבודה הראשון שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היי! אתה סתם מקנה במעריצות שלי! לא, באמת; מה לא ברור / לא בסדר? (אף פעם לא טענתי לנורמליות1) ------------ 1 באנגלית זה נשמע יותר נחמד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אויש, פאדיחה. התכוונתי לומר 'מקנא', כמובן. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |