בתשובה לעומר מוצפי, 29/06/00 15:57
 |
|
 |
||
|
||||
 |
עד כמה שזכור לי תורת הקבוצות עוסקת בעוצמות של קבוצות ולא במספרים ואף על פי שבחלק מהמקרים יש דמיון רב לאריתמטיקה המשמעות של הפעולות הללו, במיוחד כשמדובר בקבוצות אינסופיות, היא אחרת לחלוטין. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
מה היא עוצמה של קבוצה? זה מספר האיברים בקבוצה. (לפחות לעוצמות סופיות). אז מה הוא מספר אינסופי? יש לך כאן כמה הגדרות אפשריות, שמתלכדות עבור גדלים סופיים: קארדינלים ואורדינאלים. כמובן שאריתמטיקה של מספרים אינסופיים היא "מוזרה". למשל, לכל מספר אינסופי Y: Y*Y=Y אבל Y^2Yהמשמעות של הפעולות האריתמטיות על מספרים אינסופיים היא פשוט הרחבה של הפעולות שאתה מכיר מחשבון סופי. לא צריך להפתיע אותך שמתקבלות תוצאות "מוזרות" כמו Y+3=Y. ה"פרדוקסים" שעליהן מדברים הם לא באמת פרדוקסים. הם פשוט הפתעות: ברגע שאתה מנסה להרחיב את האריתמטיקה למספרים אינסופיים, תקבל תופעות חדשות ומרתקות. זה לא צריך להפחיד אותך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עבר זמן רב מאז שלמדתי את החומר הזה אבל אני אנסה לאמץ את זיכרוני. עוצמה היא חסרת משמעות ללא קבוצה שהיא משויכת אליה. פעולות החיבור חיסור כפל או החילוק אינן מבוצעות על העוצמות של הקבוצות אלא על הקבוצות עצמן. באריתמטיקה לסימן החיבור יש משמעות של ניקח את ה"ערך" X ונוסיף לו את ה"ערך" Y. בעוצמות המשמעות היא אחרת. אם X הוא עוצמת קבוצה א ו Y הוא עוצמת קבוצה ב אז X+Y היא עוצמת הקבוצה המתקבלת מאיחוד א וב. סימן שוויון בין עוצמות פירושו שישנה פונקציה חד חד ערכית בין אברי שתי הקבוצות שאנו "משווים". המשמעות של הפעולות מאוד דומה כשמדובר בקבוצות סופיות עד כדי כך שבכיתות הנמוכות מלמדים אריתמטיקה באמצעות דוגמאות פשוטות מתורת הקבוצות ("אמא שמה בתיק 3 תפוחים ו 2 תפוזים, כמה פירות יש בתיק? "= מהי עוצמת הקבוצה המתקבלת מאיחוד קבוצה המכילה 3 תפוחים עם קבוצה שאיבריה הם 2 תפוזים). אבל כשמגיעים לקבוצות אינסופיות הניסוחים המורכבים מקבלים משמעות אמיתית שמבדילה בין תורת הקבוצות לאריתמטיקה. למשל עוצמה אינה יכולה להיות מספר האיברים בקבוצה כשמדובר בקבוצה אינסופית משום שאין בנמצא מספר כזה. עבור קבוצות אינסופיות הוגדרו טיפוסים שונים של אינסוף, א0 פירושו שישנה התאמה בין הקבוצה לקבוצת המספרים הטבעיים (או מה שניקרא אינסוף בר מניה), א1 פירושו שישנה התאמה בין הקבוצה לקבוצת המספרים הממשיים (אינסוף שאינו בר מניה). אני לא יודע מה ההמשך אבל זה משהו בסגנון הזה (העלאה בחזקת אינסוף כדי להוסיף אינדקס לסימן א). איחוד קבוצות שעוצמתן א0 ייתן קבוצה שעוצמתה א0 אך המשמעות היא לא חיבור שני מספרים שערכם אינסוף אלא הערכת העוצמה של קבוצה שנוצרת כתוצאה מאיחוד שתי קבוצות אינסופיות ברות מניה ע"י והוכחת קיום פונקציה חד חד ערכית ועל בין האיחוד של שתי הקבוצות ההן לקבוצת המספרים הטבעיים. זה לא מפחיד, זה אפילו יפה. אבל כשעושים קורס שאחוז המעבר שלו עומד על 30%, אין בו מועדי ב' וסיומו בציון סביר הוא תנאי הכרחי למעבר לשנה ב במדעי המחשב קצת קשה לראות את היופי שבו (זה לחלוטין לא קשור לעניין שלנו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סימן שיוויון בין עוצמות פירושו שיש פונקציה חד-חד ערכית *ועל* בין אברי שתי הקבוצות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק, נשמטה לי מילה (אם תבדוק תראה שבדוגמא שנתתי בהמשך המילה שבה והופיעה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה למדתם את כל זה??? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שנה ראשונה מתמטיקה. בקורסים ''מתמטיקה בדידה'' או ''תורת הקבוצות'' (תלוי באוניברסיטה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(ערוץ 3, יום א', 20:50) אוטובוס של "הפיקניק השנתי של חתני פרס נובל", והם שרים בשמחה (בהסבה קלה לעברית): יש אינסוף תפוחים על העץ אחד נפל והתפוצץ יש אינסוף תפוחים על העץ אחד נפל והתפוצץ יש אינסוף תפוחים על העץ אחד נפל והתפוצץ ... |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |