 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני קורא ומגיב באיחור של שנים כך שיהיה לי מזל גדול אם אקבל תגובה... המאמר יפה ומעניין ועוד יותר מכך פתיל התגובות הארוך (רציתי לומר אינסופי אבל מסוכן להגיד את זה כשכל כך הרבה מתמטיקאים בסביבה). מה שכן, התעלמת לחלוטין מהתוצאה של טארסקי שבאה בעקבות גדל, לפיה בתורה עקבית עם שפה מורכבת מספיק אי אפשר להגדיר "אמת". תוצאה זו חשובה בפילוסופיה כי היא מקעקעת את נסיונות הפילוסופים האנאליטיים להגדיר את השפה הטבעית\הפילוסופית או לתקן אותה באופן שיהפוך אותה לעקבית ואפקטיבית. זאת כיוון שהשפה חייבת להיות גם מורכבת מספיק וגם לדבר על "אמת" כדי להכיל היגדים פילוסופיים מעניינים. מה זה "מורכבת מספיק" לענייננו? צריך שבשפה יהיו חיבור וכפל או אקוויוולנטיים שלהם (למשל פעולות אקוויוולנטיות שיופעלו על מחרוזות). אאל"ט בפועל החיבור והכפל נדרשים כדי שהשפה תוכל לדבר על פסוקים לוגיים (דרך יצירה של מספרי גדל), וכיוון שכל שפה שפילוסופים מתעניינים בה מדברת ממילא על פסוקים לוגיים, היא ממילא מקיימת את הדרישה. לגבי כמה נושאים נוספים שעלו בפתיל, תקן אותי אם אני טועה אבל: - אחת הדרישות של משפט גדל היא שהתורה תהיה אומגה-קונסיסטנטית, כלומר שאם לכל n טבעי היא מוכיחה את הטענה P(n)0 (פי-של-אן. הוספתי 0 סתם בשביל שהאנגלית לא תתחרבש), אז היא לא תוכיח גם שקיים x שעבורו P(x)0. זו בטוח היתה דרישה בנוסח המקורי של גדל אבל אני לא בטוח לגבי נוסחים מאוחרים יותר. כמובן שב-"n טבעי" הכוונה היא במודל הסטנדרטי של הטבעיים. התכונה של אומגה-קונסיסטנטיות היא בדיוק מה שכולנו מאמינים שאקסיומות פיאנו בתורה מסדר ראשון מקיימות, שלתחושתי היה חסר בחלק מהדיונים: אם אקסיומות פיאנו בתורה מסדר ראשון הן אומגה-קונסיסטנטיות, אז אי כריעות השערת גולדבך גוררת את נכונותה. - לאקסיומות פיאנו בתורה מסדר ראשון יש הרבה מודלים, אבל לתורה מסדר שני יש רק מודל יחיד (כזכור בתורה מסדר שני, במקום אינסוף אקסיומות אינדוקציה יש אקסיומת אינדוקציה אחת: תהי S קבוצה כך ש-0 איבר בה ושאם n איבר בה אז גם n+1 איבר בה, אז כל m איבר ב-S. קל להוכיח שיש מודל יחיד) - תורה מסדר שני אינה מקיימת את הרישא של משפט השלמות של גדל ולכן זה שיש לה רק מודל יחיד לא סותר את משפט אי השלמות. במילים אחרות, תורה מסדר ראשון שיש לה מודל יחיד היא שלמה, אבל תורה מסדר שני -לאו דווקא, ולכן תורת פיאנו מסדר שני היא באמת לא שלמה כפי שקובע משפט אי-השלמות. על זה אני פחות סגור כי אני לא מכיר כ"כ טוב את משפט השלמות. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
יש לך דוגמה להיגד פילוסופי מעניין שנאמר בשפה כזו? אתה יכול לנסח בשפה כזו היגד מקביל ל"ענו לי מהר באייל הקורא" או כל היגד לא טריוויאלי אחר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי מה זו "שפה כזו". הפואנטה היא שלא ניתן לנסח שפה כזו. אבל הנסיונות (הנואלים לדעתי) הם משהו כזה (אכתוב באנגלית כדי לא להתחרפן משמאל-ימין) Quantifiers will be denoted: זה לא בדיוק מה רצית - רצית משפט ציווי. יש וויכוחים ארוכים על איך נכון לפרמל משפטי ציווי.A(x) = "For every x" E(x) = "there exists an x" I will also use the following predicates: W(x,P) = "x wants statement P" Q(x) = "x answers quickly in the Ayal Hakore" We will also have a constant: R = myself. Then "I want someone to answer me quickly in the Ayal Hakore" will be: W(R,Ex:Q(x)) כמו כן יש וויכוחים ארוכים על איך לפרמל "אני".התחמקתי מהם ויש גם וויכוחים ארוכים על מה פירוש הפרדיקטים, למשל "לענות מהר באייל הקורא". למשל אחד הפירושים הוא שטענה זו שקולה לקבוצה של נתוני חושים, שהם נתוני החושים שבשפה רגילה נגיד שמהם אתה למד שמישהו ענה לך מהר באייל הקורא (למשל המראה של התשובה על פני מסך המחשב). זה היה מספיק מהר :-) ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סתם כדי שלא תתחרפן (או אולי דווקא כדי שתתחרפן), אולי כדאי שתדע שיש תו נסתר שמסדר את הכיווניות (תו ברוחב אפס: ייצוג מופשט שמתאים לדיון פילוסופי). הקלדה על AltGr-9 (כלומר: מקש Alt ימני ו־9 ביחד) במחשב שבו מותקנת מקלדת עברית לפי התקן החדש מפיקה תו Left-to-right mark [Wikipedia] (או LRM בקיצור), מה שמאפשר לי לכתוב f(x) בלי שום בעיות ממש כאילו כתבתי f(x)0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. (מה שהצעת לא הלך אבל ראיתי בקישור שנתת אפשרות אחרת שהצליחה). עכשיו f(x) עובד כמו שצריך :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתייחס בפרטנות לנושא "השלמות של מערכות אקסיומטיות" ובלוגים נוספים של אותו מחבר באותו אתר מוסיפים עוד ועוד לנושא. מכיוון שהנושא סבוך כל הצגה שלו כאן תהיה בהכרח פגומה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה! עכשיו צריך רק זמן לקרוא |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, דני. התעלמתי מהרבה התפתחויות בלוגיקה בשנים מאז 1936, כמובן. זה רק מאמרונצ׳יק. משפט טרסקי לא אומר את מה שאני חושב שאתה חושב שהוא אומר. זה לא נכון ש״אי-אפשר להגדיר אמת״, למעשה המשפט שלו נסמך בדיוק על הגדרה מפורשת של ״אמת״. בעזרת ההגדרה (המאוד טבעית) הזו אנו מסווגים פסוקים בשפה של האריתמטיקה לשתי מחלקות: פסוקי האמת ופסוקי השקר. מה שמשפט טרסקי אומר הוא שמחלקת פסוקי-האמת איננה arithmetically* definable*, כלומר אין *נוסחה* אריתמטית המתקיימת בדיוק עבור מספריהם הסידוריים של פסוקי-האמת. - משפט גדל *המקורי* דרש אומגה-עקביות, אבל כפי שציינתי במאמר, רוסר הוכיח חיזוק שלו שדורש רק עקביות. - זה נכון שלארימתטיקה מסדר שני יש מודל יחיד, וזה נכון גם שזה לא סותר את משפט גדל מפני שתורות מסדר שני אינן אפקטיביות: אין דרך אלגוריתמית לבטא גרירה לוגית באמצעים סינטקטיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבה נניח שניתן לנסח שפה מוגדרת היטב שאפשר לדבר בה על פילוסופיה, ואשר היא עקבית ואפקטיבית. בין השאר השפה תכלול פסוקים כמו "בלה-בלה-בלה הוא אמת". אפשר לתרגם את השפה לאריתמטיקה, למשל לכל משפט נכתוב את קוד ascii שלו וכך כל משפט ייוצג ע"י מספר. בתרגום, כללי המעבר בין משפטים בשפה יהפכו לכללים אריתמטיים. לפיכך קבוצת המשפטים המנוסחים היטב בשפה יתורגמו לקבוצת מספרים, וקבוצת המשפטים האמיתיים לקבוצת מספרים חלקית לזו הראשונה. קל להראות שאם השפה המקורית היא אפקטיבית כך גם התורה האריתמטית שיצרנו. המשפט "בלה-בלה-בלה הוא אמת" יהפוך לנוסחה אריתמטית א-לה-טארסקי. כלומר, אם המספר המתאים ל"בלה-בלה-בלה" הוא n, אז המשפט הטוען שמשפט זה הוא אמת יהיה מספר המתקבל מנוסחה אריתמטית על n. תאאא"ט, זהו True(n) של טארסקי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וגם - תודה על התשובה אחרי כל כך הרבה זמן! שאלה - למה אתה מתכוון במשפט "אין דרך אלגוריתמית לבטא גרירה לוגית באמצעים סינטקטיים"? האם אתה מתכוון שאי אפשר לדעת בלוגיקה מסדר שני אם משפט הוא valid? למיטב הבנתי זו לא הדרישה של משפט אי-השלמות של גדל, אלא הדרישה היא: דרך אלגוריתמית לבדוק האם רצף של משפטים הוא הוכחה, וזו המשמעות של "אפקטיביות" בהקשר הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה - נראה לי ששכחתי כאן את הדרישה שיהיה אלגוריתם שייצר את כל המשפטים היכיחים, וזה אינו אפשרי בלוגיקה מסדר שני, נכון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני שוב מגיב לעצמי. מה שבעצם התכוונתי הוא (בתקווה שאני לא שוב טועה או סתם מתבלבל) שאפשר לשכן (לא בטוח שזו המילה הנכונה) את תורת פיאנו בלוגיקה מסדר שני בתוך ZFC מסדר ראשון, ובהינתן שיכון כזה אפשר להוכיח ב-ZFC שיש לו מודל יחיד. ההוכחה אפילו קלה, ליתר דיוק קל להוכיח שאם שתי קבוצות מקיימות את אקסיומות פיאנו מסדר שני כפי שאלה מתורגמות ל-ZFC, אז הן שוות. עבור השיכון הרגיל שבד"כ עושים, המשפט הוא זה: תהי A קבוצה, כך ש: 1) {} איבר ב-A (זה ה"אפס") 2) אם x איבר ב-A, אז {x,{x}} איבר ב-A (זה ה"עוקב") 3) לכל S תת-קבוצה של A, המקיימת את 1) ו-2), S=A (זה כמובן האקוויוולנט של אקסיומת האינדוקציה) ותהי B קבוצה המקיימת את אותם תנאים כמו A. אז A=B. (ההוכחה קלה: מסתכלים על החיתוך של A ו-B ולפי 3) הוא שווה לשניהם) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת היא שאני מבין מאד קטן בלוגיקה מסדר שני, אבל הלינק הבא נראה מעניין: הכותב מסביר שתורת פיאנו מסדר שני אינה שלמה בגלל שתורת פיאנו מסדר ראשון אינה שלמה, אבל היא אינה שלמה גם ללא תלות בזה (אם הבנתי נכון, גם בהינתן אורקל שאומר לנו על כל משפט מסדר ראשון אם הוא נכון במודל הסטנדרטי, תורת פיאנו מסדר שני היא לא כריעה. הכותב מסתמך על משפט טארסקי, שתקף גם לגבי תורת פיאנו מסדר שני). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצטער שאין לי זמן להגיב. אני ממליץ מאוד על הספר הזה עבור הנושאים הללו: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. גם הפנייה לספר היא תגובה מועילה :-) | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |