בתשובה לליאור גולגר, 19/02/02 14:22
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"סיכוי משוקלל וכו' - הסיכוי [...] בהנתן" - דהיינו הסתברות מותנית, כשהתנאי תלוי בבחירת הזכר הישראלי. בקיצור, אתה מנסה לענות על שאלה לגבי הסתבורת מותנית, למרות שהשאלה המקורית שניסחת, והיא השאלה היחידה שאפשר לענות עליה לפי נתוני הלמ"ס בצירוף הנחה א', היא שאלה על הסתברות בלתי-מותנית. תודה ושלום. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בסה''כ צריך לברר, או להעריך, כמה מתים מסיבות שאינן זיקנה. או-אז ניתן יהיה לומר מה הסיכוי למות בטרם-עת, ובפרט מה הסיכוי למות מסיבה חיצונית (ולא, נאמר, מסרטן). החישוב שונה מזה שהצעת, והתוצאה כמובן קטנה יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז ניתן לומר מה הסיכוי *של מי* למות בטרם עת? אני אגיד שוב: אם השאלה היא "בחר זכר ישראלי באופן מקרי. מה הסיכוי שהוא ימות בטרם עת?", הרי שהתשובה היא "לא יודע. תלוי במי בחרת. למשל, זה תלוי אם בחרת במישהו שעושה את דרכו כעת מהגג של עזריאלי העגול לדרך פ"ת בנפילה חופשית, או לא". אם השאלה היא "מה הסיכוי שזכר ישראלי שנבחר באקראי ימות בטרם עת", הרי שאת התשובה (בהנחה א') כבר הצגתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הסיכוי שזכר ישראלי בן Y שנבחר באקראי ימות בטרם עת או יותר נכון (בכפוף להנחה א') מה הסיכוי שזכר ישראלי שנבחר באקראי ימות בטרם עת במרוצת X שנים התשובה, כמובן, תלויה בX. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הראשונה תלויה ב- Y, השנייה תלויה ב -X, ועל שתיהן הנחה א' והנתונים שברשותך לא מספיקים כדי לענות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מיץ ואנוכי הצלחנו לפתח פיתרון לבעיה מעט מורכבת יותר. בבעיה המקורית הניח מיץ "שטבלאות הלמ"ס לכל שנה זהות לטבלה עבור 1997". הנתונים בבעיה היו: 1. הסיכוי Q של זכר ישראלי למות מסיבה כלשהיא במשך שנה. 2. הסיכוי Z של זכר ישראלי למות מסיבה חיצונית במשך שנה. והנעלמים היו: א. הסיכוי Y של זכר ישראלי למות מסיבה חיצונית בשלב כלשהוא בחייו. בבעיה הנוכחית חלה אותה הנחה, אך נוספת לה הנחת הפשטות הבאה: לזכר הישראלי סיכוי קבוע R למות בכל שנה. זאת עד אשר יהיה בן L שנים, או-אז ימות הנ"ל בשיבה טובה, ובאופן ודאי. כנגד שני הנעלמים שנוספו לבעיה, L וR, נוסף נתון אחד בלבד, הוא תוחלת החיים בלידה T של זכר ישראלי בשנת 1997. הנתונים אם כן: 1. Q=521.4/100000 הנעלמים:2. Z=41.1/100000 3. T=75.9 years א. אורך-חייו L של זכר ישראלי שמת בשיבה טובה. ב. הסיכוי R של זכר ישראלי שגילו נמוך מ-L, למות בכל שנה. וכמובן: ג. הסיכוי X של תינוק ישראלי שאך זה נולד, למות מסיבה חיצונית בשלב כזה או אחר בחייו. הצלחנו לכתוב שלוש משוואות אלגבריות עבור שלושת הנעלמים. הפתרון יפורסם, אי"ה, מתישהוא מחר. עד אז מוזמנים הקוראים החרוצים לשלוח ידם בפירסום פתרונות משלהם. לאחר שיפורסם הפתרון יקיץ הקץ, בתקווה, על החידון, וכולם יוכלו לנשום לרווחה. הולך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לראות בתגובה זו של ליאור גולגר משום הסכמה (או אי-הסכמה) שלי לנכונות הטענות בה, ובפרט ''הצלחנו'' ו''פתרון''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להלן פתרון החידה, או לפחות מה שיש לי ממנו כרגע. בכל שנה קיים סיכוי קטן R למות בטרם-עת. זה נקרא משתנה אקראי מטיפוס ברנולי - כמו הסיכוי להוציא 6 בהטלת קוביה. מי שחי L שנים משתתף ב-L הגרלות כאלו. סכום של הרבה ברנולי נקרא משתנה אקראי מטיפוס בינומי - כמו הסיכוי לזכות בלוטו אם ממלאים טופס כל שבוע. בפרט, אם הסיכוי 'לזכות' R הוא קטן ומספר 'ההגרלות' L הוא גדול, כך שמכפלתם R*L היא מסדר גודל של יחידה, ניתן לקרב את המשתנה הבינומי למשתנה פואסוני עם פרמטר R*L. הסיכוי לא לזכות באף אחת מ-L ההגרלות הוא בקירוב הפואסוני (exp(-R*L. לכן הסיכוי לזכות בהגרלה אחת או יותר, קרי למות לפני הגיעך לגיל L, הוא אחד פחות (exp(-R*L (ניסיתי לכתוב זאת מפורשות, לשווא). הסיכוי למות מסיבה חיצונית הוא Z. אם נפטרת בטרם-עת, הסיכוי שעשית זאת מסיבה חיצונית הוא Z/R. לכן הסיכוי X למות מסיבה חיצונית הוא: X=(1-exp(-L*R))*(Z/R) איך מוצאים את L ואת R?מתוך המשוואות הבאות: א. משוואת ההסתברות הכוללת למות בשנה: Q= [(1-exp(-R*(L+1))/(1-exp(-R)] כאשר לפי הלמ"ס Q=521/100000.ב. משוואת תוחלת החיים: T=(1/R)(1-EXP(-R*L)) כאשר לפי הלמ"ס T=76.את המשוואות האלה ניתן לתרץ היטב, אך אין בידי כרגע הזמן הנדרש. אולי מיץ יאות לכך. בכל אופן, ממשוואה ב' ניתן לחלץ את L כפונקציה של R, ולהציבו במשוואה א'. מקבלים קשר פשוט למדי שאיני מצליח לרשום בצורה קריאה באייל, אך למרבה הצער הפתרון שקיבלתי באמצעות האקסל הוא R קטן מאד מאד, פחות מאחד למיליון. אם אין לי שגיאה זו כמובן בשורה משמחת, אך סבורני שפשוט טעיתי בדרך. טוב, חייב לזוז. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משוואה א' שגויה, איך לא. כיוון שלא הסברתי אותה, גם מי שטרח לקרוא את הודעתי לא היה יכול לעלות על השגיאה. נציג זאת בפשטות באופן הבא. נניח שהאוכלוסיה הכוללת היא O. מנתוני הלמ"ס אנו למדים שמספר המתים בשנה הוא O*Q. עם זאת, מן ההנחה כי הסיכוי למות לא משתנה עם השנים מתחייב שגודל האוכלוסיה לא משתנה (לחשוב בבית: מדוע?). האוכלוסיה נשמרת קבועה רק אם מספר הנולדים בשנה N משתווה למספר המתים, דהיינו עומד על N=O*Q. לכאורה גודל האוכלוסיה O הוא נתון נוסף שיש לחלוב מן הלמ"ס, אבל זה לא חוכמה למצוא שלושה נעלמים על-סמך ארבע משוואות. במקום זאת ננסה לבטא את האוכלוסיה הכוללת O באמצעות מספר הנולדים וכך לצמצם את O מן המשוואה. תחת הקירוב הפואסוני, הסיכוי לשרוד לאורך i שנים (כלומר - להפסיד ב- i הגרלות) הוא (exp(-R*L. מכאן הסקתי שמתוך N אנשים בגיל 0 ישרדו רק N כפול (exp(-R*L. בגיל i. מכאן שהאוכלוסיה הכוללת O היא: =N*sum(i=0:L) [exp(-R)^i] זהו סכום סדרה הנדסית שערכו:=N*[(1-exp(-R*(L+1))/(1-exp(-R)] בהצבת N=O*Q תתקבל, לכאורה, משוואה א'. למען האמת איפה שהיה Q היה צריך להיות 1 חלקי Q, אך ממילא ההיסק המקורי שלי שגוי בתכלית. מספר האנשים שיגיעו לגיל i אינו N*(exp(-i*R, אלא N בהסתברות (exp(-i*R. יחי ההבדל הקטן. יש לסכום על ההסתברויות השונות, ובמילים אחרות - לחשב את תוחלת מספר האנשים שיגיעו לגיל i. לא בשמיים היא, אך לטובת כל הצדדים אני עוצר כאן וחוזר, אם בכלל, רק עם תוצאה סופית. לילה טוב.
|
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |