 |
|
 |
||
|
||||
 |
ניסיון לפתור את החידה: טענה: לכל העתקה מהמישור לעצמו שמעתיקה מרובעים לא מנוונים למרובעים לא מנוונים יש מרובע קמור שהיא מעתיקה למרובע קמור. למה: כל חמש נקודות במצב כללי במישור מכילות מרובע קמור. הוכחה הטענה בעזרת הלמה: תהי f העתקה מהמישור לעצמו שמעתיקה מרובעים לא מנוונים למרובעים לא מנוונים. נבחר חמש נקודות במצב קמור במישור, נניח A, B, C, D, E, ונתבונן בתמונות שלהן תחת f. הואיל וכל ארבע מתוך A, B, C, D, E מהוות מרובע לא מנוון, כך גם כל ארבע מתוך fA, fB, fC, fD, fE. מכאן ברור כי fA, fB, fC, fD, fE במצב כללי. לפי הלמה הן מכילות מרובע קמור, בה"כ fAfBfCfD, ולפיכך f מעתיקה את המרובע הקמור ABCD למרובע קמור. הוכחת הלמה: יהיו A, B, C, D, E חמש נקודות במצב כללי במישור. ABC משולש, ולכן הקמור של חמש הנקודות הוא לפחות משולש, כלומר הוא משולש, מרובע או מחומש. אם הוא מרובע או מחומש קל לראות שהוא מכיל מרובע קמור, וסיימנו. אחרת נניח בה"כ שהקמור של חמש הנקודות הוא המשולש ABC, כלומר D, E נמצאות בפנים המשולש ABC. הישר שנקבע על ידי D, E חותך את שפת המשולש בשתי נקודות. קל לראות שבגלל המצב הכללי נקודות החיתוך הן בפנימיהן של שתי צלעות שונות, בה"כ AC, BC. קל לוודא כי ABDE הוא מרובע קמור. מש"ל |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
כפתור ופרח. טוב שפספסת את תגובה 533072 :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעצם (באשמתי) תגובה 533072 היא רק מחצית ההוכחה. יש לקרוא גם את תגובה 533052 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פספסתי בכווונה, כמובן, כדי לא להרוס לעצמי את ההנאה. אחרי שפתרתי, פשפשתי לראות אם מישהו אחר כבר פתר. אולי הפשפוש היה חפוז מדי, אבל התרשמתי שלא ממש פתרו את החידה, ולכן העליתי את הפתרון שלי. אבל גם עכשיו, אחרי שלינקתת אותי לפתרון הקודם, אני שמח שהעליתי את הפתרון שלי. לדעתי הוא מלא יותר, מסודר יותר, ואם יורשה לי לטפוח לעצמי על השכם - גם אלגנטי יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מותר, מותר. אבל כדי שלא יעלה לך לראש, הנה עוד חידה על מרובעים לא קמורים: האם אפשר לרצף ריבוע ע"י מספר סופי של מרובעים כאלה? זו חידה קשה יותר, לדעתי. היא נוסתה בהצלחה על קהל ילדים לפני כשלוש שעות ,אבל הם קיבלו רמזים. הפתרון קצר ואלמנטרי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי, אנסה להוכיח שאי אפשר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התשובה היא לא. הוכחה: נניח לשלילה שאפשר, ונסמן את מספר המרובעים הקעורים ב-n. מצד אחד: סכום הזוויות הפנימיות של כל מרובע קעור הוא 360 מעלות, ולכן סכום הזוויות הפנימיות של כל המרובעים הקעורים יחד הוא 360*n מעלות. מצד שני: לכל מרובע קעור יש זווית פנימית גדולה מ-180 מעלות, וקדקודה הוא נקודה פנימית בריבוע. נשענות עליה זוויות פנימיות שסכומן הכולל הוא 360 מעלות. יש n נקודות שונות כאלה, כיוון שמרובעים קעורים שונים תורמים נקודות שונות, כפי שקל לראות. לפיכך כל הנקודות האלה תורמות יחד 360*n מעלות. אבל קדקודי הריבוע תורמים יחד עוד 360 מעלות, כלומר סכום הזוויות הפנימות הוא לפחות 360*(n+1) מעלות. סתירה. זאת ההוכחה שלך? אילו רמזים קיבלו הילדים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק ההוכחה שלי. יפה מאוד. הילדים נתבקשו לרצף ריבועים ע"י כל מיני מרובעים (לאו דווקא קעורים) ולספור את מספר החלקים בריצוף ואת מספר הקדקודים הפנימיים. אחרי שהצטברו מספיק נתונים הם ניסו לנסח השערות לגבי המספרים האלה, וחלקם שמו לב שמספר הנקודות הפנימיות תמיד קטן יותר. אח"כ הפניתי את תשומת ליבם לנושא של סכום הזוויות, שבמקרה הוזכר על-ידם כבר בהתחלה. מכאן זה כבר היה פחות קשה. בלי רמזים בכלל אני משוכנע שזו חידה הרבה יותר מדי קשה בשביל שיעור שכזה. (יש פה נקודה טיפה עדינה - כשמרצפים עם סתם מרובעים אפשר לסדר שנקודה פנימית תישען על צלע של אחד החלקים בריצוף, כך שבין הזוויות שמקיפות אותה תהיה זווית של 180 מעלות שאיננה בכלל זווית פנימית. כך אפשר לייצר יותר נקודות פנימיות מחלקים. למרבה המזל זה לא קרה כשהם הכינו את הרשימה, אבל תלמיד אחד שם לב לזה.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שתי החידות מוצלחות. יש עוד? בינתיים, הנה חידה משלי: מרצפים משושה משוכלל בעזרת מספר סופי של מעוינים חופפים בעלי זווית 60 מעלות. המעוינים באים בשלוש אוריינטציות שונות (האלכסון הקצר של כל מעוין מקביל לזוג צלעות נגדיות של המשושה, ויש שלושה זוגות כאלה). צריך להוכיח שיש אותו מספר של מעוינים מכל אוריינטציה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מכיר. ההוכחה היא ציור ללא מלים המופיע על עטיפת ספר שכבר הזכרתי באייל כמה פעמים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, מגניב. אני לא מכיר את הספר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מלא יותר, מסודר יותר, ואם יורשה לי לטפוח לעצמי על השכם - גם אלגנטי יותר." אם תורשה לי מחאה קטנה: לא מלא יותר - כיסיתי את כל המקרים. לגבי "אלגנטי": במהות ההוכחות זהות, פרט לשימוש במושג ה"קְמוֹר" - ולא ברור כמה זה אכן תורם לאלגנציה (אני למשל נמנעתי לחלוטין מ-ABCabc, ולדעתי דווקא *זה* יותר אלגנטי). לגבי "מסודר": אין ספק. כאן אתה מקבל את מלוא הנקודות. להגנתי אומר שאני פשוט רשמתי "סקיצה" (יש חמש כך שכל ארבע הן מ' קמור אבל אין חמש כך שכל ארבע הן מ' קעור) ורק לאחר נזיפה חמורה מאבי הדיון חזרתי לשרבט "הוכחה" לחלק השני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חוזר בי מהטענה שהפתרון שלי אלגנטי יותר. היא התבססה על הסברה שהשימוש בישר העובר דרך שתי הנקודות בפנים המשולש ייחודי לפתרון שלי. עכשיו חזרתי ועיינתי בפתרון שלך ונוכחתי לדעת שהסברה מוטעית. אני מניח שהחמצתי את הדבר בפעם הראשונה מפני שהפתרון שלך באמת פחות מסודר. אני מתנצל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. אמנם אתה כותב "בה"כ fAfBfCfD" אבל נראה לי שיש כאן הגבלת הכלליות ועוד איך. אם המרובע הקמור מהמחומש fA, fB, fC, fD, fE הוא דוקא fAfBfCfE למשל, שהוא בכלל לא התמונה של ABCD אלא של מישהו שאולי לא היה קמור בכלל, התמונה של ABCD יכולה עדיין להיות קעורה. מה אני מפספס? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתחילים עם חמש נקודות כך *שכל ארבע מהן* הן מרובע קמור. קל למצוא חמש כאלו, למשל קדקדי מחומש משוכלל (למעשה קדקדי מחומש קמור כלשהו) די להראות ש*אחד* המרובעים בתמונה קמור - מכאן "אי הגבלת הכלליות" - או שלא הבנתי את השאלה (זו לא תהיה הפעם הראשונה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. מי שלא הבין שם משהו לא היה אתה... | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |