בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 04/09/09 17:16
אשנב למתמטיקה 523959
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 5/9/2009, 19:19
(משפט גדל, שסתם את הגולל על תכניתו של הילברט)
אשנב למתמטיקה 524011
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום א', 6/9/2009, 7:31
אני לא רואה איך משפט אי השלמות של גדל מוכיח ש"לוגיקה ומתמטיקה זה לא אותו דבר". אולי תצטרך לחדד את מה שאתה מתכוון אליו ב"לוגיקה ומתמטיקה". אם לא יצא לך, קרא את המאמר של דיון 2396.

(משפט גדל מראה ש"כל המתמטיקה לא ניתנת לתיאור באמצעות תורה לוגית בודדה שהיא גם אפקטיבית" (ועקבית, אבל עקביות היא דרישה הרבה יותר מובנת מאליה). זה משפט על חוסר היכולת שלנו לקבוע מערכת אקסיומות אחת ולעבוד רק איתה, לא על כך שיש דברים במתמטיקה שאי אפשר להשתמש בלוגיקה כדי לתאר).
אשנב למתמטיקה 524042
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום א', 6/9/2009, 11:40
קראתי. יכול להיות שלא הבנתי הכל.

בוא נניח לרגע שבעולמנו השערת גולדבך נכונה, אבל לא יכיחה ב ZFC (מצב עניינים אפשרי, נכון?). האם מכאן נובע שהיא נכונה בכל עולם אפשרי, או שאלוהים יכול לברוא עולמות בהם היא לא תהיה נכונה?
אשנב למתמטיקה 524043
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום א', 6/9/2009, 11:45
מכך נובע שהאקסיומות של ZFC הן תיאור של כמה אובייקטים שונים מהותית - למשל, שנבדלים זה מזה בתכונה של השערת גולדבך. מה שאתה רוצה לומר הוא שעבור האובייקט "המספרים הטבעיים" היא נכונה, ומה שאני אומר הוא שאי היכיחות אומרת שיש עוד אובייקט ("המספרים הטבעיים המשונים") שבו היא לא מתקיימת. אין לכך קשר לעולמות, אלא לכך שיש המון אובייקטים מתמטיים מעניינים ויכולת התיאור שלנו אותם היא תמיד קצת מוגבלת.
אשנב למתמטיקה 524048
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום א', 6/9/2009, 12:21
האם הטענה שלך לגבי קיום אובייקט "המספרים הטבעיים המשונים" באמת נובעת מאי היכיחות? לא יכול להיות שאין שום אובייקט כזה ובכ"ז השערת גולדבך מתקיימת? אני לא מתכוון לאובייקט המלאכותי "המספרים הטבעיים עם ZFC ועם השערת גודלבך" אלא לאובייקט "משונה" עליו מתקיימות רק ZFC.
אשנב למתמטיקה 524056
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום א', 6/9/2009, 13:37
כן - על פי משפט השלמות של גדל (לא לבלבל עם משפט אי השלמות) לכל תורה עקבית קיים מודל. אם ZFC לא מסוגלת לא להוכיח ולא להפריך את השערת גולדבך, *ואם* היא עצמה עקבית (זו כבר סוגיה לדיון נפרד), אז גם ל"ZFC עם השערת גולדבך" יש מודל, וגם ל"ZFC עם שלילת השערת גולדבך" יש מודל. כלומר, קיימים שני אובייקטים מתמטיים שונים ששניהם מקיימים את ZFC, אחד מהם מקיים את גולדבך והשני לא מקיים את גולדבך.

אולי ניסית לנגוד מראש את מה שאמרתי כאן עם מה שאמרת על אובייקט שמקיים "רק" את ZFC, אבל אני לא מבין מה המשמעות של זה. השערת גולדבך היא שאלת "כן/לא". כל אובייקט שעבורו יש בכלל הגיון בשאלה הזו (יש מושג של מספר זוגי, של ראשוני וכו') או שמקיים אותה, או שלא מקיים אותה. אין מצב ביניים. אמנם, אני מאוד לא בקיא בלוגיקה מתמטית אז קח בחשבון שייתכן שאני מקשקש פה במידה מסויימת.
אשנב למתמטיקה 524125
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ב', 7/9/2009, 11:43
תודה.

האם מלבד תורת המספרים הטבעיים ("הרגילים") מוכרים עוד מודלים?
אשנב למתמטיקה 524132
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום ב', 7/9/2009, 12:07
אתה נכנס כאן לתחום שאני לא מבין בו כלום. התשובה שאני כן מכיר היא שיש הוכחה שקיימים מודלים לא סטנדרטיים, אבל קשה לתת תיאור מפורש שלהם. מרחיבים על זה בויקיפדיה האנגלית (Peano axioms [Wikipedia]) בחלק של Nonstandard models.
אשנב למתמטיקה 524138
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ב', 7/9/2009, 13:43
שוב, תודה.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות