 |
|
 |
||
|
||||
 |
העניין הוא שאי אפשר להגדיר בדיוק את השיקולים האסתטיים הללו. מה הופך את משפט פרמה למעניין, בניגוד לאינסוף משפטים (כביכול פשוטים) נכונים אחרים? מה הופך אותו לחשוב? כלומר, אולי השאלה שלי היתה צריכה להיות האם אלגוריתם כלשהו היה בכלל "מגלה" אותו כייחודי מלכתחילה? התשובות לשאלות אלו, לפחות כך נראה לי, יהיו חייבות להיות מנוסחות במושגים של הבנה ומשמעות. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אם נצליח להגדיר אלגוריתם שמזהה "הוכחה אסתטית" לעומת "הוכחה מכוערת שרק מחשב יכול היה לחשוב עליה" (כשאני אומר מזהה, אני מתכוון ל"מסכים עם מתמטיקאים אנושיים"), בעינך האלגוריתם "מבין" מתמטיקה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי נראה שמה שהפך את משפט פרמה (וגם בעת היותו השערה) למעניין דווקא די ברור: 1. זו טענה שניתנת לניסוח קצר, 2. היא תקפה לכל המספרים עד הרבה, 3. לא ידועה הוכחה קצרה. אני חושב שכל מה שמקיים את שלושת התנאים האלה ייחשב למעניין כמו משפט פרמה (וכידוע, יש לפחות עוד אחד). ושלושתם כמעט טריוויאליים למחשב בעל יכולת טכנית לבניית הוכחות מתמטיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
3. עד לפני שנים לא רבות לא הייתה ידועה *שום* הוכחה, קצרה או ארוכה. לעומת זאת, היה ידוע שפרמה, לפחות, חשב שהוא הוכיח את המשפט, כך שבאיזה אופן, הייתה הרגשה שיש כאן הוכחה במעמד של "סוד". ובאיזה אופן, לא אתפלא אם גם היום עוד יהיו פה ושם מתמטיקאים שינסו למצוא הוכחות אחרות, לגלות את אותו סוד - שהרי ברור שאם פרמה אכן הוכיח את משפטו, ההוכחה שלו הייתה אחרת לגמרי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם את אותה אלמונית שניהלה איתי את הפתיל עד כה? חשבתי שהתכוונת שמשפט פרמה מעניין מבחינה מתמטית - עכשיו את אומרת שהוא מעניין בגלל האנקדוטה ההיסטורית. האמנם, או שאני מבין לא נכון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, פשוט אינני אותה אלמונית. :) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה שלי היתה שיש אינסוף משוואות המקיימות את שלושת התנאים שלך. אז למה דווקא פרמה? או גולדבך? או כל משוואה מתמטית אחרת? מה מייחד אותן? אני טוען שהבסיס הוא המשמעות, הפירושים ה"לא מתמטיים", של משוואות אלו. הבעיה היא שאין לי (ברגע זה, ואולי לעולם לא) הגדרות טובות למושגים אלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינסוף טענות1? מה פתאום. יש מספר סופי מאוד, ובכלל לא כל כך גדול, של טענות שאפשר לכתוב אותן בכל כך מעט סימנים בשפה טבעית טיפוסית לאריתמטיקה, ו(בהתאם לכך) בשפה פורמלית טיפוסית לאריתמטיקה - וזה התנאי הראשון. כמה מתוכן מקיימות את שני התנאים האחרים? אין לי אפילו אינטואיציה. המתמטיקאים כאן מוזמנים לשפר. למעשה, זה נראה לי נושא נחמד למחקר מתמטי - ואולי, יום אחד, למחקר ממוחשב! (כיום אני מנחש שהתוכנות להוכחות אריתמטיות עדיין חלשות מדי, וגם הוכחות קצרות למדי בשפה טיפוסית למתמטיקאי תידרושנה יותר מדי זמן לתוכנות למוצאן - אבל אני מקווה שנסכים שיכולת כזו היא בגדר יכולתם העקרונית של מחשבים כפי שאנו מכירים אותם כיום). אני עדיין חושב שאם יש עוד טענות כאלה, אז במבט מתמטיקאי טהור (אנושי, אבל מנוטרל משיקולי היסטוריה) הן תהיינה מעניינות לא פחות מפרמה וגולדבאך. אם מחקר שיטתי ימצא אלפי טענות כאלה, אז הן כנראה תפסקנה להיות מעניינות כשלעצמן - אבל אז גם פרמה וגולדבאך עלולות להפסיק להיחשב מעניינות. 1זה מה שהתכוונת, לא "משוואות". משפט פרמה הוא טיפה יותר מהמשוואה המפורסמת שבמרכזו - הוא כולל את העטיפה "לא קיימים מספרים A, B,C כך ש...", ואת השערת גולדבך לרוב מציגים בלי שום משוואה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה באמת חושב שעניין הקיצור חשוב כל כך? נראה לי שזה דורש הסבר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אותו עיקרון מעין-אסתטי שעומד בבסיס התער של אוקהם. אני לא יכול להצדיק אותו על-סמך משהו בסיסי יותר (אני יכול לומר ''פשטות'', אבל זה לא מסביר יותר מ''קיצור'', רק יותר מעורפל). אני מאמין בכל ליבי שטענה בעלת אותו מבנה לוגי של השערת פרמה או גולדבאך, אבל שהמשוואה שבליבה כוללת עשרה סימנים שונים (למעשה, עשרה גדלים שונים) לא היתה מעוררת את אותו עניין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |