בתשובה לאליהו גרייצר, 27/08/07 0:10
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"המספרים הטבעיים... הם ... חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו." האם האקסיומות עצמן קיימות? אם כן, באיזה מובן? האם קיומן של כל מערכות האקסיומות האפשריות מובטח באותו אופן שכל מערכת מתמטית עקיבה קיימת, לפי התאור שלך? הטענה שלמספרים הטבעיים אין משמעות מחוץ למערכת האקסיומות נראית לי, איך לומר, תמוהה קצת. אנשים ספרו שלושה תפוחים ועשרה ראשי בקר אלפי שנים לפני שמישהו העלה בדעתו לבנות את המערכת האסיומטית שאתה מדבר עליה. פיתגורס לא הכיר את מערכת האקסיומות שלך, אבל קשה לומר שלטבעיים לא היתה משמעות לגביו. למעשה התרחש כאן תהליך אחר. לבני אדם היה מושג של מספרים טבעיים, ואז בא מישהו - פאנו, נניח - ובנה מערכת אקסיומטית שאיבריה מתנהגים באופן כזה שניתן ליצור התאמה בין כל התכונות של הטבעיים לבינו. מבחינתך זה מוחק את המושג הקודם, אבל אני איני רואה כיצד המושג נעלם רק משום שהראית דרך אחרת לתאר את מערכת החוקים שבעזרתה הוא פועל (והדברים נכונים, כמובן, גם לכך שמידול מתמטי מושלם של חלקיק אין משמעו שהחלקיק הוא מתמטיקה אלא רק שניתן למדל את התנהגותו באמצעים מתמטיים). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שהניסוח של האקסיומות משנה משהו, כי המבנה המתמטי כרעיון מופשט (''מושג'' בלשונך) בלתי תלוי בהן. המספרים של פיתגורס התנהגו כמו המספרים של פרמה, וההתנהגות הזו מתמצה במערכת האקסיומות שפיאנו ניסח (נגיד...). אפשר לנסח מערכות אחרות של אקסיומות שגם הן תתארנה את אותו מבנה מתמטי. שים לב גם שמערכת אקסיומות לא צריכה לתאר את כל התכונות של המבנה-המתמטי אותו היא מתארת (לזה קוראים ''תורה'') - צריך רק שכל תכונה שלו (''משפט'') תהיה בת-הסקה מתוך המערכת. העובדה שניסחו מערכת אקסיומות למושגים המתמטיים לא מבטלת את ה-''מושג'', אבל כן מגלה לגביו דברים מסויימים (שהתורה של המבנה אקסיומטית). עד כמה שאני מבין את המאמר, הוא מוסיף לרשימת הדברים שזה אומר עליהן עוד משהו (תכונה של ''קיום'' כנראה). יש גם מושגים (מבנים מתמטיים) שאי אפשר לנסח עבורם מערכת אקסיומות לא-טריוויאלית. כי הם לא עקביים, או כי התורה אינה אקסיומטית, למשל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא מהו היחס בין המספרים הטבעיים עצמם לבין אותם יצורים המוגדרים בעזרת האקסיומות של פאנו. האקסיומות מגדירות מערכת כלשהי של יצורים מתמטיים ושל היחסים ביניהם. לעומת זאת, המושג המסורתי של מספרים טבעיים עוסק בספירת כמויות של עצמים ממשיים. כאשר אני מדבר על שלושה תפוחים אני לא מדבר על עוקב של עוקב של איזשהו איבר-יחידה. האקסיומות של פאנו בונות מערכת שבאמצעותה ניתן לתאר את היחסים בין כמויות שונות, כלומר ניתן ליצור התאמה חד-חד ערכית בין היצורים שהוא יוצר בעזרת המערכת שלו והיחסים האפשריים ביניהם לבין כלל המספרים היכולים לייצג כמויות של עצמים ממשיים והיחסים האפשריים ביניהם. השאלה היא האם האפשרות ליצור התאמה כזו הופכת את המספרים עצמם ללא יותר מאשר אוסף היצורים של פאנו? לדעתי לא. לדעתי הקביעה שהמספרים הם "חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו" פשוט לא נכונה. רוב רובם של מיליארדי בני האדם בעולם לא שמעו מימיהם על מארג המשפטים הנ"ל, והדבר אינו מונע מהם לדעת היטב את המשמעות של להיות בעל יתרה של מיליון דולר בבנק, למשל. התאור דרך מערכת האקסיומות הוא סוג של רדוקציה למודל; המערכת מתארת יפה את היחסים האפשריים מתמטית בין מספרים, אבל בינה לבין המספרים עצמם יש התאמה ולא זהות. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |