בתשובה לדורפל, 29/06/07 20:49
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449263
דורפל • בתשובה לדורפל יום ו', 29/6/2007, 20:51
במקרה של הרציונליים, אם כך, משפט ערך הביניים לא מתקיים. לא כך?
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449268
האייל האלמוני • בתשובה לדורפל יום ו', 29/6/2007, 21:15
תלוי. ''תכונת ערך הביניים'', שהיא תכונה טופולוגית כללית, אומרת שתמונת כל פונקציה רציפה מתת-קבוצה אל הממשיים, היא קטע, ואפשר להראות שהיא מתקיימת אם רק אם תת-הקבוצה קשירה. אז אם מסתכלים על הרציונליים כעל תת-מרחב (טופולוגי) של הממשיים - אז לא, משפט ערך הביניים לא מתקיים (כי היא אינה קבוצה קשירה).

אבל עבור אותה טופולוגיה, ההכללה ה-''טבעית'' ''התמונה הרציפה של כל קבוצה פתוחה של מספרים רציונליים, כוללת את כל המספרים הרציונליים בין החסם העליון שלה, לחסם התחתון שלה'' כן נכונה (לפחות לפי סקיצת ההוכחה שיש לי בראש, לא ניסיתי ממש לכתוב אותה).
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449277
האייל האלמוני • בתשובה להאייל האלמוני יום ו', 29/6/2007, 22:55
ואיך בדיוק יכולה להיות תמונה רציפה של מספרים רציונליים?
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449278
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום ו', 29/6/2007, 23:47
הרציונליים הם מרחב מטרי לכל דבר. אין בעיה להגדיר עליהם פונקציות רציפות ביחס למטריקה שלהם. רק כשאתה מכניס את הממשיים לעניין כל הטופולוגיה מתחרבשת. למשל - כשהיינו רק ברציונליים, אז אוסף כל הרציונליים היה קבוצה פתוחה וסגורה, מן הסתם. כשאתה מביט עליו כעל תת קבוצה של הממשיים, הוא לא קבוצה פתוחה (כי בכל סביבה של רציונלי יש אי רציונלי), והוא לא קבוצה סגורה (כי יש סדרות רציונליים שמתכנסות לאי רציונלי).
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449282
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 29/6/2007, 23:51
זה נשמע חביב - "כשהיינו רק ברציונליים"... הו הימים היפים!
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449292
דורפל • בתשובה להאייל האלמוני שבת, 30/6/2007, 0:52
עוצמת הרציונליים כולם אלף-אפס, עוצמת כל תת-קטע של הישר הממשי כעוצמת הממשיים כולם - טריוויאלי לגמרי לכן שאף פונקציה מהרציונליים לממשיים לא יכולה להיות על, ולא לכך התכוונתי.

חוץ מזה, לא הבנתי אותך, ונדמה לי שלא הבנת אותי.
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449314
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לדורפל שבת, 30/6/2007, 9:20
העניין הוא שלא ברור על מה אתה מדבר ב"משפט ערך הביניים" ומהו "המקרה של הרציונליים" (פונקציות מ-Q ל-Q?) בהכללה שהוא דיבר עליה הוא ניסה להציע מקבילה של משפט ערך הביניים למקרה של הרציונליים - ההכללה הכי טבעית שאפשר לדמיין במקרה הזה, לדעתי.
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449352
דורפל • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 30/6/2007, 13:50
אני חושב על פונקציות מהרציונלים לרציונלים. משפט ערך הביניים לא מתקיים שם, לפי הדוגמה הנגדית שמספקת הפונקציה x^2, שעדיין רציפה, אבל כמובן איננה על (החלק האי-שלילי של הישר).
הו, רציונליים אמרת, לא ממשיים. 449371
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לדורפל שבת, 30/6/2007, 18:08
הממ, צודק. אין מקור ל-‏2.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות