 |
|
 |
||
|
||||
 |
(בקיצור) "אלגברות לי" הן מבנים מתמטיים חשובים במיוחד, בעלי הקשרים אלגבריים, גאומטריים וטופולוגיים, ויישומים בתחומים שונים בפיזיקה. את האלגברות האלה1 הצליחו להבין באופן עקרוני כבר במאה התשע-עשרה: אפשר להרכיב אותן משני חלקים: ה"רדיקל", שהוא סימפטי באופן יחסי, והשארית, שהיא "אלגברת לי פשוטה למחצה". בתורה, אפשר לפרק כל אלגברת לי פשוטה למחצה כ"סכום ישר" (זה מין דבר טוב) של "אלגברות לי פשוטות". גם את אלגברות לי הפשוטות הצליחו למיין: יש ארבע משפחות אינסופיות (הקרויות, באופן חסר-השראה משהו, An, Bn, Cn ו- Dn, כאשר n יכול להיות כל מספר טבעי), ועוד חמש "אלגברות לי ספורדיות": G2, F4, E6, E7 ו- E8. האחרונה היא הגדולה ביותר, ממימד 248 2. את המשפחות אפשר להסביר בקלות יחסית, אבל האלגברות הספורדיות הן מבנים די משונים (שעצם קיומן הוא נס לא קטן), ולא פשוט לטפל בהן. הצרה העיקרית היא שאלגברות פשוטות קשה מאד לפענח: הן קרויות "פשוטות" לא בגלל שיש בהן משהו פשוט, אלא בגלל שהן אינן "מורכבות" - אי אפשר לפרק אותן לחלקים קטנים יותר. אחת הדרכים להתמודד איתן בכל זאת, היא להכיר את ה"הצגות האוניטריות" שלהן (מין דרך לתאר מבנה מסובך בשפה של מטריצות (גם זה טוב)). המדענים דנן הצליחו, בשעטו"מ, למיין את כל ההצגות האוניטריות של אלגברת לי הפשוטה מטיפוס E8. לא סביר שעכשיו מתמטיקאים יתעניינו בשאלה מה הרכיב השביעי של ההצגה ה- 11486, אבל שאלות על מאפיינים של ההצגות (למשל, כמה הצגות אי-פריקות יש מכל מימד) הן שאלות מעניינות עם פוטנציאל לא מבוטל. 1 ממימד סופי, מעל המרוכבים 2 זה המימד שלה כמרחב וקטורי מעל המרוכבים |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקווה שאפשר לשאול אותך שאלות. ההצגה היוניטרית SU(2) היא הצגה של איזו אלגברת לי? (SU(2) היא ההצגה היוניטרית ממנה מתקבלים האופרטורים של הספין ושל התנע הזוויתי הכולל של חלקיקים) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם האלגברות האלה נוצרו מלכתחילה לצרכים מתמטיים או פיסיקליים? ואם לצרכים פיסיקליים, איך נבנה הדבר הזה? (כמובן, אלה שאלות של הדיוט מוחלט. אשר על כן מתבקשות תשובות כלליות מאוד). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי שפיתח את האלגברות והחבורות האלה (סופוס לי, אלי קרטן, ואחרים) היו מתמטיקאים. למיטב ידיעתי השימושים הפיזיקליים הופיעו מאוחר יותר, בראשית מכניקת הקוונטים; היום ברור שאלו מרכיבי היסוד גם בתורות מיתרים מכל הסוגים. את השאלה "איך נבנה הדבר הזה" אני לא כל-כך מבין. כמו כל מבנה מתמטי אחר, על פיסת נייר (או הרבה פיסות נייר); אין צורך במאיצי חלקיקים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, לא "בניתי" ניסוח הולם. אני אנסה: אם הענפים האלה התפתחו קודם כל במתמטיקה, אז זה פחות או יותר מובן לי. אבל אם, כפי שנדמה לי, קיימים ענפים במתמטיקה שנוצרו כדי למלא צרכים של הפיסיקה, אז פחות ברור לי איך המתמטיקאים ניגשים לזה. וגם - אם הבנתי נכון, את הפרקטלים המציא/גילה מנדלברוט, שהוא מתמטיקאי: איזה מין תהליך זה? (עליי להתנצל גם על הניסוח כאן, שהוא אידיוטי, אבל אני מקווה שקצת יותר מובן...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי "הגדיר" היא המילה הנכונה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מבחינה מתמטית - ודאי. מבחינה פיסיקלית עדיין לא שמעתי תיאור כזה, אבל בהחלט אשמח לאמץ אותו.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר כך: נתון אובייקט פיזיקלי מסובך. יש לו כמה תכונות פשוטות (הוא מהווה חבורה עם מבנה אנליטי וכמה תכונות אלגבריות מוצלחות), וכמה תכונות מסובכות (כשמחזיקים אותו כנגד האור ומנערים בתדר מאד מסויים, נוצרת על הקיר דמות של שפן; ועוד כאלה). מסלקים את התכונות המסובכות, וחושבים בכח - לאיזה יצורים אחרים יש אותן תכונות פשוטות? פרקטלים הם, באופן פשטני, יצירים גאומטריים שדומים לעצמם. (כאן - דמיון באותו מובן של "דמיון משולשים"). בדרך כלל יש להם מימד (האוסדורף) לא שלם, ולכן הם "מוזרים" מנקודת מבט גאומטרית-קלאסית. עם זאת, מבחינות מסויימות (וכשמחזיקים את הראש נטוי בזווית מסויימת) הם מתארים את המציאות הפיזיקלית לא פחות טוב מן הגאומטריה הקלאסית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. הדברים האלה ידועים לי, ומכאן עליי להסיק ששוב לא הסברתי את עצמי כראוי, ולבקש את סליחתך. אם אצליח למצוא ניסוח בהיר יותר, אנסה שוב, ואם עדיין תהיה לך סבלנות לתהיותיי, אשמח אם תענה.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר, זה בעצם לא משהו בחבורות לי, אלא באלגבראות לי, שאותן אפילו הדיוט כמוני מכיר קצת למרות שאני לא מכיר כלום בחבורות לי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בני אדם יכולים לבדוק את התוצאות הסופיות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוודאי - כל מה שהם צריכים זה מחשב גדול... צריך לזכור ש- E8 היא חבורת לי "ספורדית", כלומר, מיוחדת במינה. יש בסביבה עוד כמה כאלה, וגם משפחות אינסופיות, שאותן קל יותר להסביר ולפענח. ומשום שמדובר במשפחות אינסופיות, לא ניתן לסמוך על מחשבים שיעשו עבורנו את העבודה השחורה - זה אף פעם לא יספיק. במקרים כאלה מוכרחים למצוא דרכים מחוכמות לתאר באופן ממצה את ההתנהגות ה"אינסופית" של כל המשפחה. הבעיות האלה נפתרו כבר (לפחות עבור המשפחה An; נדמה לי שעבור כולן), והתאור שלהן חייב פיתוח של תאוריה מקיפה ומורכבת (אחד החוקרים הבולטים בנושא הוא פרופ' דוד קשדן, היום באוניברסיטה העברית). היתרון הוא שכעת, כאשר מתקבלים הפרטים החישוביים של E8, אפשר לשבץ אותם בתאוריה הכוללת, ולראות שהם מתאימים לתחזיות (מה שהיה ידוע מראש, כמובן. זו מתמטיקה.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך בנו אלגברות כאלה, אם לא היה עד עכשיו תיאור של המבנה שלהן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ידעו את המבנה של רובן... אבל זה לא בהכרח קשור. גם "חבורה", שהיא מבנה יותר פשוט מאלגברה, קל מאוד להגדיר (קבוצה עם פעולה שמקיימת כמה תכונות), ויש הרבה דברים שאנחנו יודעים לבנות ולהגיד שהם חבורות (המספרים השלמים; פרמוטציות; סימטריות של ריבוע; השעות על שעון). זה עדיין לא אומר שאנחנו יודעים את המבנה של *כל* החבורות. מה גם שלפעמים יש לנו רק תיאור בסיסי של חבורה, אבל לא ברור איך נראית "מבפנים": קל להגדיר חבורה בתור "אוסף ההעתקות במישור שמשמרות מרחקים" - יותר קשה לראות מה הצורה המדוייקת שלהן (כל העתקה שאפשר להציג בתור הפעלות של סיבובים, שיקופים והזזות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השעות על שעון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המספרים 1 עד 12, עם חיבור מודולו 12 (כלומר, למשל, 5+8=1). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או.קיי. תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ל''בניה'' מתמטית יכולות להיות הרבה משמעויות. במובן הצר ביותר, ברגע שאני מאפיין באופן חד משמעי את המבנה (כך שברור שיש כזה, ושהוא יחיד במינו), זה מספיק. אבל תאור כזה בדרך כלל אינו מספיק כדי שאפשר יהיה לענות על שאלות הקשורות למבנה החדש. למשל, במרתף של אביב יש דרקון יחיד, ולכן יש לו צבע מוגדר היטב (וידוע לכל). אבל גם מספר השיניים מוגדר היטב - ואת המספר הזה איננו יודעים (צוות המחקר שיטול על עצמו משימה כזו זקוק לנכונות לא מבוטלת להקרבה עצמית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה הקרבה עצמית? לא שמעת על נוהל שכן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נוהל שכן הוא כבר מזמן נוהל שלא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
*הצגות* של אלגברה *פשוטה*? ממש נפלא. מדובר כמובן בהצגות של *חבורת* לי הפשוטה מטיפוס E8, ולא של האלגברה. שאר הסיפור די דומה (בעקרון). ליתר דיוק, לא מיינו את ההצגות האוניטריות של חבורת לי המרוכבת מטיפוס E8, אלא את אלו של הצורה הממשית המפוצלת שלה. לזו יש מימד 248 מעל הממשיים, ולא מעל המרוכבים. ועוד הבהרה: מתברר שיש 453060 הצגות, שכולן תלויות בפרמטר (מרוכב, אם אפשר לסמוך על האנלוגיה למקרים שאני מכיר). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמה תשובות בדבר: 1. היא אינסופית. 2. עוצמתה שווה לזו של שדה המספרים הממשיים. 3. יש לה מימד (כיריעה אלגברית), שהוא 248. האינסופיות והעוצמה אינן מפחידות במיוחד - גם החבורה של כל המספרים הממשיים (ביחס לחיבור) היא אינסופית. גם המימד לא נורא (החבורה (SL_16(C ממימד גדול יותר, והיא הרבה יותר סימפטית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה הפיעו שימושים פסיקלים בתורת הקוונטום? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה" בשווא או בקמץ? בכל מקרה, זו שאלה לפיזיקאים. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |