 |
אנסה לענות כאן ביחד על כמה שאלות (גם של אורי).
"האם היית מלמד טופולוגיה ורציפות באופן כללי, ישר על ההתחלה?" - ככה בדיוק לימדו אותי, ולכן יש סיכוי טוב שהייתי מנסה ללמד כך בעצמי, בהסתייגות אחת משמעותית: לא מחליטים על דברים כאלה בלי להתחשב באופי התלמידים ובצרכיהם. התמזל מזלי ולמדתי אינפי בכיתה קטנה בערך פי 10 מהממוצע של כיתות בשנה א' (באוני' העברית), ואני לא בטוח שהמרצה (הנפלא) שלי, ליאור צפרירי, היה מנסה את הפעלול הזה בכיתה הרגילה. אבל איתנו זה עבד מצויין.
אני רוצה שוב להדגיש: אין כוונתי שעל המרצה לזרוק שש-עשרה הגדרות מופשטות במשך שלושה שיעורים בלי להראות מקרה פרטי אחד. אין שום טעם ללמד את ההגדרה של מרחב טופולוגי בלי לתת לפחות שמונה דוגמאות קונקרטיות שונות, וזה לא נורא משנה אם נותנים קודם את ההגדרה ואז את הדוגמאות או להיפך. הסיבה שאני חושב שמועיל ללמוד טופולוגיה ורציפות לפני או במקביל למשפטים הבסיסיים על פונקציות ממשיות היא פשוטה: זה הרבה יותר קל (לתלמידים, לאו דווקא למרצה).
זה אולי נשמע מוזר, אבל אני באמת חושב שזה כך. כל הטריק בגישה המופשטת במתמטיקה הוא שהיא מסננת את ההיבטים הלא חשובים המסיחים את הדעת ומשאירה רק את המינימום ההכרחי. טופולוגיה בממשיים זו דוגמה מצויינת. הישר הממשי הוא יצור עמוס מבנים ופרטים - גם שדה (ולכן חבורה וחוג), גם מרחב וקטורי, גם בעל נורמה (ולכן מרחב מטרי, ולכן מרחב טופולוגי), גם קבוצה סדורה, ועוד. לכן, כשמנסים להתמודד עם בעייה בממשיים, אפשר בקלות להתבלבל ולהסתבך ולנסות עשר גישות לא רלוונטיות.
משפט כמו "פונקצייה ממשית על קטע סגור מקבלת מקסימום בקטע" אפשר להוכיח בכיתה ולדרוש מהתלמידים לשנן את ההוכחה. האם הם *יבינו* אותה? מה יקרה אם שנה אחרי הקורס תבקש מהם להוכיח את הטענה הזו והם לא יזכרו כבר? הם יכולים לנסות לפתור זאת כחידה, אבל בהקשר של הישר הממשי על כל היבטיו, זו באמת חידה לא קלה. מצד שני, המשפט "פונקציה ממשית על קבוצה קומפקטית מקבלת מקסימום" הוא משפט כללי הרבה יותר, ו*הרבה יותר קל לזכור את ההוכחה שלו*. גם אם שכחת אותה, תוכל לשחזר אותה פשוט כי אין כל כך ברירה: בקבוצה קומפקטית אין לך "ימין" ו"שמאל" או "באמצע בין שתי הנקודות", כל מה שיש זו ההגדרה של קבוצה קומפקטית - אז עובדים איתה, וזה מסתדר. זה חייב להסתדר.
במקרה של תורת המידה (אם לחזור לשאלה שלך), בחיים לא הייתי מלמד *רק* את מידת לבג - זה נראה לי ממש קשה, די משעמם, ובסה"כ טעות פדגוגית רצינית. הרבה יותר מעניין - ולדעתי, הרבה יותר קל - להסביר מה כל הרעיון במושג הכללי "מידה", מה צריך להיות אפשר לעשות עם קבוצות מדידות, איך מתחילים מהטופולוגיה ומגיעים למידה, וכו'. זה נותן הקשר, מוטיווציה, ואפילו (כאמור) מפשט פדגוגית הרבה הוכחות - התלמידים לא יצטרכו לזכור איזה משלל האספקטים של R^n הוא הרלוונטי לכל משפט.
יתרון נוסף הופך למשמעותי מאוד למי שממשיך ללמוד את התחום: כשנתקלים, בהמשך, במקרים באמת כלליים יותר, לא צריך להתחיל לשבור את הראש אילו מהדברים שלמדת עדיין נכונים ואילו לא. אילו הבנת, לכל משפט, ממה הוא באמת נובע - האם מתכונות טופולוגיות כלליות, או דווקא מתופעת המונוטוניות שהיא ייחודית לפונקציות על R? - אז אין בעייה, אבל קשה מאוד להגיע למצב הזה אם מקדישים את כל הזמן רק לפונקציות ממשיות או רק למידת לבג.
ושוב אני מסייג: מול כל הנ"ל אפשר להציב נימוקי-נגד טובים מאוד. תלוי מי התלמידים, מי המרצה ומה המטרה.
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש