לא מסובכת כל כך אבל טכנית, אני אנסה לאלתר כי אין לי את זה לידי. קודם כל, מדובר בפולינומים מעל שדה (אני לא יודע מה קורה מעל חוג) ואנחנו מדברים על מה שקורה מעל שדה שבו הם מתפצלים (כלומר, יש להם את כל השורשים) ועל פולינומים *מתוקנים* (עם מקדם מוביל 1) מעל השדה הזה (בגלל שאנחנו מעל שדה תמיד אפשר לחלק במקדם המוביל ולקבל פולינום מתוקן).
עכשיו בוא ניקח את הפולינום שלנו, ויהא a שורש שלו. אז אפשר לכתוב את הפולינום בצורה הבאה:
f(x)=(x-a)^n*g(x)
כאשר g(x) לא מתאפס על ידי a. (כלומר, n הוא הריבוי של a).
נגזור את זה על פי כללי הגזירה הרגילים (אפשר להוכיח שהם תקפים גם עבור נגזרת פורמלית):
f'(x)=n(x-a)^(n-1)*g(x)+(x-a)^n*g'(x)=(x-a)^(n-1)(n*g(x)+(x-a)g'(x))
אבל שים לב שהביטוי הימני מבין השניים לא מתאפס על ידי a. לכן a הוא שורש משותף של f והנגזרת שלו אם ורק אם הוא שורש מרובה של f (כלומר, אם n גדול מ-1 ולכן n-1 הוא לא אפס).
עכשיו, אם יש ל-f ולנגזרת שלו שורש מרובה ברור שהמחלק המשותף המקסימלי גדול מ-1 (כי x-a כש-a הוא השורש מחלק את שניהם). אם המחלק המשותף המקסימלי של שניהם גדול מ-1 הוא מדרגה 1 ומעלה (הוכח!) ולכן יש לו שורש (אנחנו הרי בשדה שבו יש ל-f את כל השורשים) - והשורש הזה יהיה שורש משותף ל-f ולנגזרת שלו...
(עכשיו יבואו אלון ועוזי ויתקנו את כל המקומות שבהם טעיתי).
|
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש