בתשובה לדורון שדמי, 03/11/05 12:18
base n > 1 343293
עוזי ו. • בתשובה לדורון שדמי יום ה', 3/11/2005, 17:33
אתה באמת חושב שלא שמנו לב להבדל בין "אוסף סדור או לא סדור אינסופי לבין אוסף סדור או לא סדור סופי"? בוודאי שיש הבדל. החידוש הגדול של האנליזה המתמטית הוא ש*למרות* ההבדל, אפשר לטפל בקבוצות אינסופיות באופן עקבי שיוצר מבנים מעניינים, וגם פותר בעיות מדעיות.

שים לב באיזו עקביות אתה מנסה "להעשיר" את המתמטיקה על-ידי קביעה קטגורית שאי-אפשר לעשות דברים (כמו שיפור מהירות הריצה על-ידי קשירת שתי הרגליים):
- אי-אפשר לחבר שני מספרים טבעיים, כי יש להם "מבנה פנימי".
- אי-אפשר לתאר את הרצף כקבוצה, כי הוא מלא ב"מלאות".
- אי-אפשר לחשב עוצמה של קבוצה אינסופית, כי היא "לא שלמה אינהרנטית"
- אי-אפשר לסכם טורים אינסופיים, בגלל ה"הפרש".

הכיוון צריך להיות הפוך:
- אפשר לחבר מספרים טבעיים, למרות שגודל של קבוצה הוא מושג מופשט
- אפשר לתאר את הרצף באמצעות תורת הקבוצות, למרות שלכאורה הוא אובייקט מסוג אחר
- אפשר להגדיר מושג עקבי של "גודל" אפילו לקבוצות אינסופיות
- אפשר לסכם טורים אינסופיים ולקבל מספר

אפשר להפריד עיקר מטפל.
base n > 1 343308
דורון שדמי • בתשובה לעוזי ו. יום ה', 3/11/2005, 18:47
"שים לב באיזו עקביות אתה מנסה "להעשיר" את המתמטיקה על-ידי קביעה קטגורית שאי-אפשר לעשות דברים (כמו שיפור מהירות הריצה על-ידי קשירת שתי הרגליים):
- אי-אפשר לחבר שני מספרים טבעיים, כי יש להם "מבנה פנימי".
- אי-אפשר לתאר את הרצף כקבוצה, כי הוא מלא ב"מלאות".
- אי-אפשר לחשב עוצמה של קבוצה אינסופית, כי היא "לא שלמה אינהרנטית"
- אי-אפשר לסכם טורים אינסופיים, בגלל ה"הפרש".

1) - אי-אפשר לחבר שני מספרים טבעיים, כי יש להם "מבנה פנימי".

לא נכון, תוצאת החיבור (או כל פעולה אריתמטית אחרת) מאפשרת (אם חפצים בכך) לשמר את המבנה הפנימי של המספרים הטבעיים.

כמו כן, פעולות כמו כפל וחיבור מקיימות יחסים משלימים בתוך המרחב הפנימי של מספר טבעי, או יחסים במרחב חיצוני כמקובל במתמטיקה הרגילה, העוסקים בשינויי גודל בלבד.

המתמטיקה הרגילה מוגבלת רק ליחסים במרחב חיצוני, בעוד שבמתמטיקה-המונדית אנו יכולים לנייד כרצוננו בין המרחבים.

2) אי-אפשר לתאר את הרצף כקבוצה, כי הוא מלא ב"מלאות".

לא נכון, מושג הקבוצה עובר שידרוג, ועתה הוא מרחב חקירה ריק לחלוטין, מלא לחלוטין או מכיל אוספים של אלמנטים לוקליים, אלמנטים לא-לוקליים, או קומבינציות שלהם.

במילים אחרות, המגבלה קבוצה = אוסף או העדרו, אינה קיימות עוד.

3) אי-אפשר לחשב עוצמה של קבוצה אינסופית, כי היא "לא שלמה אינהרנטית".

במקום הדלילות של העולם הטרנספיניטי, אנו מקבלים מרחב חקירה עשיר לאין ערוך, הנובע ישירות מהיותם של אוספים אינסופיים, בלתי-שלמים אינהרנטית (כפי שמודגם בבירור בסוף תגובה 343215).

4) אי-אפשר לסכם טורים אינסופיים, בגלל ה"הפרש".

אין שום בעייה ולהשתמש לצורך זה במושג ההפרש , כי סיכום טורים אינסופיים הינו מעבר מאוסף אינסופי לאוסף סופי כרצונינו.
ההבדל היחיד הוא שעתה אנו מודעים למעבר זה, ובמתמטיקה הרגילה מתעלמים ממנו.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות