בתשובה לעוזי ו., 03/11/05 4:21
 |
|
 |
||
|
||||
 |
ב"שלוש מהפכות קופרניקיות", זאב בכלר עושה בדיוק את זה: מסרב לקבל את הגדרת הגבול של קושי, אומר שהיא לא מגדירה סכום אלא "סכום", טוען שהיא משחק בסמלים ומביא את כל זה כדוגמה ל"החלקה אל הריקנות" ולחיזוק הטענה שהפרדוקסים של זנון לא נפתרו. הפסקתי לקרוא את הספר (די בכעס) אחרי שקראתי את זה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
באמת חשוב לציין שההחלטה לאמץ דווקא את ההגדרה שנבחרה עבור הסכום של אינסוף מספרים נובעת מכמה סיבות מצויינות: כך נוח לפיזיקאים לעבוד (כלומר, ההגדרה הזו פותרת את הפרדוקס של זנון); ובנוסף ההגדרה מקיימת כמה תכונות אריתמטיות נוחות ("אופרטור הגבול הוא ליניארי ורציף" במרחב המתאים). מי שלא רוצה לאמץ את ההגדרה הזו, שיבושם לו. המתמטיקה עוסקת בהפרדת התוכן, המהותי, מן הצורה החיצונית; טרחנים מזהים בצהלה שאפשר להעמיס על התוכן צורות שונות ומשונות, ולהעמיק-חקור בהבדלים ביניהן. כך יוצא ש- 1 איננו שווה ל- ...0.999 (שתי צורות, תוכן אחד). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אילו הגדרות אחרות (פרט ל"סכום של אינסוף איברים שונים מאפס הוא אינסוף") יש או ניתן להעלות על הדעת? אני מכיר את הסיפור על אוילר שהציב בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית את מינוס 1 והגיע למסקנה שסכום הגבול הוא חצי, אבל זו לא בדיוק הגדרה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אביב י. ירצה לפתח מתמטיקה הפטומנית, שבה הסכום של כל טור אינסופי הוא חמש. אפשר הרי להגדיר איך שרוצים (אבל הגדרות חסרות תובנה (!) מולידות תאוריה נורא משעממת). את ההגדרה הרגילה אפשר להכליל (כמו שאוילר עשה) במה שנקרא 'שיטות סיכום' (sumability). הגדרה משמעותית אחרת (שנותנת תוצאות אחרות) אפשר לקבל אם בוחרים השלמות לא-ארכימדיות של המספרים הרציונליים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |