בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 07/10/05 0:04
 |
|
 |
||
|
||||
 |
זו פשוט תורת-המידה במקרה הפרטי (מאוד) של הישר הממשי. אני לא מכיר ספרים שנוקטים דווקא בגישה הזו, אבל אני מניח שכל אחד מהספרים שהזכרתי יהיה שימושי - חפש את זה שנוח לך איתו. (הטעם האישי שלי בלימוד מתמטיקה הוא דווקא להתחיל מהמקרה הכללי, המופשט וה"נקי", תוך שימוש תכוף במקרים הפרטיים בשביל דוגמאות ומוטיווציה. בעיני, התעמקות בתורת המידה של R עלולה לבלבל; יש שם תופעות שהן ספציפיות ל-R, ותופעות שהן לא). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בסופו של דבר למדנו על R^n כבר מההתחלה, וגם ספר הקורס המצויין (של Frank Jones) נקט בשיטה הזו. כללי מספיק, או שצריך לצאת ממקרה עוד יותר כללי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כללי מספיק" - מספיק למה? זה ודאי לא הכי כללי שיש, רחוק מזה. יש על R^n מידה הקרוייה מידת לבג, שהיא בלי ספק שימושית ביותר (מסתמא, הכי שימושית) - אבל זו עדיין מידה אחת מסויימת. אפילו על R^n יש אחרות, וודאי שיש מידות אחרות לגמרי על שלל מרחבים אחרים. ברור ש"תורת-המידה" לא הומצאה כדי לטפל רק במידת-לבג; היא הומצאה כדי להבין מהי מידה, איפה אפשר למצוא כאלה, מה תכונותיהן הכלליות של מידות ומה ניתן לעשות איתן. ניתן להיות מתמטיקאי מוצלח ומאושר בלי לדעת מהי מידת האאר, למשל, אבל נראה לי חבל קצת. גם פדגוגית (כאמור), אני מעדיף הגדרות רחבות ("מרחב מידה") עם דוגמאות קונקרטיות על-פני התרכזות במקרה-פרטי אחד (ולו החשוב ביותר) מן ההתחלה. לא יודע אם זו הגישה של הספר שהזכרת, אך אני מנחש שלא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יתרה מזאת - מידת לבג על R^n היא סיגמא-סופית, וחלק מה"אקשן" של תורת המידה (אם אני זוכר נכון...) קורה דווקא במידות שאינן סיגמא-סופיות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כבר קצת מרחיק-לכת. יש סיבוכים מיוחדים למידות שאינן סיגמא-סופיות, אבל נתחים נכבדים מתורת-המידה מוקדשים דווקא למידות סיגמא-סופיות או, במיוחד בהתחלה, לכאלה עבורן זה לא משנה בכלל. דווקא ההגבלה הזו של הכלליות לא נראית לי מזיקה מדי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני מסכים: האם היית מלמד טופולוגיה ורציפות באופן כללי, ישר על ההתחלה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשאתה אומר "ישר על ההתחלה" כוונתך שלומדים על טופולוגיות לפני שלומדים על מרחבים מטריים, או שלומדים על טופולוגיות לפני שלומדים אינפי 1? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפני אינפי 1. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברררר... (אולי גם כדאי את תורת הקבוצות האקסיומטית לפני הנאיבית?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להזכירך, אני לא בעד ההצעה הזו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(לא טענתי שאתה בעד). אני סקרן לשמוע מה הנימוקים (של אלון) בעד שיטת לימוד של ''מהכללי אל הפרטי''. לעתים קרובות קשה לי להבין את הכללי בלי שלמדתי קודם קצת את הפרטי. סגנון הוראה מאוד נפוץ שאני נתקל בו מבוסס על לימוד של מקרה פרטי לעומק, ואז כשמגיעים למקרה הכללי כל מה שצריך לומר הוא ''זה בדיוק כמו המקרה הפרטי, רק עם תוספת של סיבוך אחד או שניים'', ואז כל מה שצריך לבלוע הוא את הסיבוך. לדעתי זה עדיף על לקפוץ ישר למים ואז לטבוע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנסה לענות כאן ביחד על כמה שאלות (גם של אורי). "האם היית מלמד טופולוגיה ורציפות באופן כללי, ישר על ההתחלה?" - ככה בדיוק לימדו אותי, ולכן יש סיכוי טוב שהייתי מנסה ללמד כך בעצמי, בהסתייגות אחת משמעותית: לא מחליטים על דברים כאלה בלי להתחשב באופי התלמידים ובצרכיהם. התמזל מזלי ולמדתי אינפי בכיתה קטנה בערך פי 10 מהממוצע של כיתות בשנה א' (באוני' העברית), ואני לא בטוח שהמרצה (הנפלא) שלי, ליאור צפרירי, היה מנסה את הפעלול הזה בכיתה הרגילה. אבל איתנו זה עבד מצויין. אני רוצה שוב להדגיש: אין כוונתי שעל המרצה לזרוק שש-עשרה הגדרות מופשטות במשך שלושה שיעורים בלי להראות מקרה פרטי אחד. אין שום טעם ללמד את ההגדרה של מרחב טופולוגי בלי לתת לפחות שמונה דוגמאות קונקרטיות שונות, וזה לא נורא משנה אם נותנים קודם את ההגדרה ואז את הדוגמאות או להיפך. הסיבה שאני חושב שמועיל ללמוד טופולוגיה ורציפות לפני או במקביל למשפטים הבסיסיים על פונקציות ממשיות היא פשוטה: זה הרבה יותר קל (לתלמידים, לאו דווקא למרצה). זה אולי נשמע מוזר, אבל אני באמת חושב שזה כך. כל הטריק בגישה המופשטת במתמטיקה הוא שהיא מסננת את ההיבטים הלא חשובים המסיחים את הדעת ומשאירה רק את המינימום ההכרחי. טופולוגיה בממשיים זו דוגמה מצויינת. הישר הממשי הוא יצור עמוס מבנים ופרטים - גם שדה (ולכן חבורה וחוג), גם מרחב וקטורי, גם בעל נורמה (ולכן מרחב מטרי, ולכן מרחב טופולוגי), גם קבוצה סדורה, ועוד. לכן, כשמנסים להתמודד עם בעייה בממשיים, אפשר בקלות להתבלבל ולהסתבך ולנסות עשר גישות לא רלוונטיות. משפט כמו "פונקצייה ממשית על קטע סגור מקבלת מקסימום בקטע" אפשר להוכיח בכיתה ולדרוש מהתלמידים לשנן את ההוכחה. האם הם *יבינו* אותה? מה יקרה אם שנה אחרי הקורס תבקש מהם להוכיח את הטענה הזו והם לא יזכרו כבר? הם יכולים לנסות לפתור זאת כחידה, אבל בהקשר של הישר הממשי על כל היבטיו, זו באמת חידה לא קלה. מצד שני, המשפט "פונקציה ממשית על קבוצה קומפקטית מקבלת מקסימום" הוא משפט כללי הרבה יותר, ו*הרבה יותר קל לזכור את ההוכחה שלו*. גם אם שכחת אותה, תוכל לשחזר אותה פשוט כי אין כל כך ברירה: בקבוצה קומפקטית אין לך "ימין" ו"שמאל" או "באמצע בין שתי הנקודות", כל מה שיש זו ההגדרה של קבוצה קומפקטית - אז עובדים איתה, וזה מסתדר. זה חייב להסתדר. במקרה של תורת המידה (אם לחזור לשאלה שלך), בחיים לא הייתי מלמד *רק* את מידת לבג - זה נראה לי ממש קשה, די משעמם, ובסה"כ טעות פדגוגית רצינית. הרבה יותר מעניין - ולדעתי, הרבה יותר קל - להסביר מה כל הרעיון במושג הכללי "מידה", מה צריך להיות אפשר לעשות עם קבוצות מדידות, איך מתחילים מהטופולוגיה ומגיעים למידה, וכו'. זה נותן הקשר, מוטיווציה, ואפילו (כאמור) מפשט פדגוגית הרבה הוכחות - התלמידים לא יצטרכו לזכור איזה משלל האספקטים של R^n הוא הרלוונטי לכל משפט. יתרון נוסף הופך למשמעותי מאוד למי שממשיך ללמוד את התחום: כשנתקלים, בהמשך, במקרים באמת כלליים יותר, לא צריך להתחיל לשבור את הראש אילו מהדברים שלמדת עדיין נכונים ואילו לא. אילו הבנת, לכל משפט, ממה הוא באמת נובע - האם מתכונות טופולוגיות כלליות, או דווקא מתופעת המונוטוניות שהיא ייחודית לפונקציות על R? - אז אין בעייה, אבל קשה מאוד להגיע למצב הזה אם מקדישים את כל הזמן רק לפונקציות ממשיות או רק למידת לבג. ושוב אני מסייג: מול כל הנ"ל אפשר להציב נימוקי-נגד טובים מאוד. תלוי מי התלמידים, מי המרצה ומה המטרה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניטפוק: פונקציה ממשית *רציפה* ... מקבלת מקסימום. :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון עובד בלוגיקה אינטואיציוניסטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה ענף של לוגיקה אנטי-ציוניסטית? (הומור ילדותי, אני יודע) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כהומור זה אולי ילדותי, אבל כאפשרות זה... אהמ... לפחות מעניין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שכנעת אותי. בפעם הבאה שאני מרצה בקורס אלגברה לינארית א' אני אלמד מודולים. (טוב, לא *לגמרי* שכנעת אותי, אבל העמדה שלך נשמעת הגיונית בערך כמו שלי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כללי מספיק בשביל שאתה, פדגוגית, תתחיל ללמד על מידת לבג תוך שימוש ב... מידת לבג, ולא בהגדרה כללית יותר. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |