בתשובה להאייל הצעיר, 29/09/05 18:45
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"ביטלתי. עדיין נשארה אקסיומה לפיה יש קבוצה אינסופית. עדיין יש לי תורת קבוצות (חלשה יותר, וקצת פחות מעניינת, אבל קיימת)." אייל צעיר, בו ונבחן את ההגדרה: "קיימת קבוצה". מותר לנו להשתמש רק ואך ורק במידע העומד לרשותנו, ואסור לנו בשום צורה ואופן לשער השערות או להניח הנחות שאינן נובעות ישירות מהמידע העומד לרשותנו. בתנאים של מינימום אפשרי זה, ברור לחלוטין כי ההגדרה "קיימת קבוצה" מתייחסת רק לקיום מושג הקבוצה בלבד, ומינימום זה מאפשר אך ורק את קיומה של קבוצה ללא תוכן. אנלוגיה: הגדרה: "קיים תיק". לפי מידע זה אני יודע כי קיים תיק, וקיומו של התיק אינו תלוי בתכולתו. תיק שאינו תלוי בתכולתו הינו התיק לעצמו ללא תכולתו, ותיק זה הוא ללא שפק תיק ריק. כשם שתיק-ריק הוא מצב הקיום האלמנטרי של תיק, כך הקבוצה-הריקה היא מצב הקיום האלמנטרי של קבוצה, ואי-קיומה של הקבוצה-הריקה, מונע את קיומה של קבוצה, ומונע את קיומה של תורת-קבוצות. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אצלי בבית קיים תיק, ואין לי בבית אף תיק ריק 1. למה אתה מתכוון כשאתה אומר "אסור לשער השערות"? אם לא היינו יודעים שיש קבוצה ריקה, ולא היינו יודעים שיש קבוצה אינסופית האם לא היו כלל קבוצות? תשובה: שאלה זו לא הייתה ניתנת להכרעה. כלומר, אין זה נכון בהכרח ש*לא היו קבוצות* 2, אלא ש*אולי* היו קבוצות. הנה למדנו בשיעור על מודלים חישוביים את המושגים "מילה" ו"שפה" בחישוביות, וכמה תלמידים לא הסכימו לקבל את קיומן של "המילה הריקה" ושל "השפה הריקה". אם היינו שואלים את אותם תלמידים מהי קבוצה, הם היו עונים משהו בסגנון "דבר שיש בו איברים". אם היית אומר להם ש"קיימת קבוצה" הם *לא* היו חושבים שברור מאליו שקיימת קבוצה ריקה. להפך. לדעתם ל"ריק" לא יכולה להיות מהות כקבוצה. המצב ה"בסיסי" של קבוצה לדעתם היה צריך להיות מצב בו לקבוצה יש איבר אחד. 1 לצורך כתיבת תגובה זו, אספתי את כל התיקים בבית שלי, והכנסתי זוג גרביים לכל תיק. 2 בהנחה ש-ZF עקבית וכל זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היה לי פעם ויכוח מרתק עם מישהו שסירב לקבל את הקיום של הקבוצה הריקה כי הוא לא היה מוכן לקבל את זה שקבוצה היא לא סך כל האיברים שלה. הוא גם לא ראה שום הבדל בין קבוצה בעלת איבר אחד ובין האיבר שהיא מכילה. זו הייתה הנקודה שבה הבנתי שלפעמים ''תובנות'' זה לא מספיק, וחייבים להשתמש בהגדרות פורמליות אם רוצים להגיד משהו שבן השיח שלך יוכל להבין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''...כי הוא לא היה מוכן לקבל את זה שקבוצה היא לא סך כל האיברים שלה'' קיומה של קבוצה אינו תלוי כהוא זה בשיוך או אי-שיוך של אלמנטים אליה, אך ברור לחלוטין שמצב הקיום המינימלי שלה שקול לקבוצה-הריקה. ''הוא גם לא ראה שום הבדל בין קבוצה בעלת איבר אחד ובין האיבר שהיא מכילה.'' כי הוא התייחס לאי-השפעת השיוך על הקיום האלמנטרי של קבוצה, כאשר קיום אלמנטרי זה שקול לקיומה של הקבוצה הריקה. ''זו הייתה הנקודה שבה הבנתי שלפעמים ''תובנות'' זה לא מספיק, וחייבים להשתמש בהגדרות פורמליות אם רוצים להגיד משהו שבן השיח שלך יוכל להבין.'' זאת הנקודה שבמקום להשתמש בתובנה הפשוטה של היררכית תלות-קיום, בחרת בדרך של משחקי שפה פורמלית נעדרי תובנה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה שם לב שאתה לא אומר שום דבר חדש בהודעות החדשות שלך, נכון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"נכון?" לא נכון! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לצורך כתיבת תגובה זו, אספתי את כל התיקים בבית שלי, והכנסתי זוג גרביים לכל תיק." האם הוצאת והכנסת חפצים לתיק, שינתה משהו בקיומו העצמי של התיק? בוודאי שלא, אך אם התיק אינו קיים כלל לא היית יכול להכניס גרביים לתוכו, ותיק במצב קיום אלמנטרי הוא תיק ריק, ובזכות קיומו האלמנטרי, ניתן להכניס או לא להכניס לתוכו חפצים. זוהי המשמעות הפשוטה והישירה של תלות-קיום, שיוך לתיק מחייב לפחות את קיומו של תיק ריק, וזהו בדיוק מעמדה של הקבוצה-הריקה ביחס למושג השיוך בתורת-קבוצות. לכן ללא קיום הקבוצה-הריקה אין שיוך, וללא שיוך אין תורת-קבוצות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכל זה לא משנה את העובדה שיש לי בבית תיק כלשהו, ואין לי בבית תיק ריק. כלומר, יכול להתקיים עולם שיש בו תיק ואין בו תיק ריק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''יכול להתקיים עולם שיש בו תיק ואין בו תיק ריק.'' זה שקול לטענה כי גופך יכול להתקיים ללא האטומים המרכיבים אותו, אך האטומים אינם יכולים להתקיים ללא גופך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק כך. אני יכול לתאר תמונת עולם פיזיקלית שבה יש לי גוף, אבל הוא לא בנוי מאטומים. מצד שני, אם האטומים שלי קיימים, ויש להם את הצורה של הגוף שלי, והם מתפקדים בידיוק כמו הגוף שלי, אז הם בהכרח מהווים את הגוף שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בדיוק כך. אני יכול לתאר תמונת עולם פיזיקלית שבה יש לי גוף, אבל הוא לא בנוי מאטומים." אם גופך קיים אך אינו מורכב (וזה לא משנה ממה) אז גופך שקול לישות אלמנטרית, וישות אלמנטרית ב-ZF היא בדיוק הקבוצה-הריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי במה התגובות שלך קשורות לנושא המאמר | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התגובות שלו *הן* נושא מאמר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תגובות שלו *הן* נושא מאמר." מה פתאום, הרי לפי המתמטיקאים, המאמר על טרחנים-כפייתיים מתקיים גם ללא הקיום (להלכה או למעה) של טררחן כפייתי, ולכן אי-הבנתו של האייל האלמוני יש לה בסיס איתן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי המתמטיקה המונדית, לא יכול להתקיים מאמר על טרחנים כפייתיים, בלי שמתקיים מאמר כזה בצורתו הבסיסית - כלומר, אם יש מאמר על טרחנים כפייתיים, קיים מאמר על טרחנים כפייתיים בלי שקיימים טרחנים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''קיים מאמר על טרחנים כפייתיים בלי שקיימים טרחנים.'' שקול הדבר לקיומה של קבוצה-ריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה רוצה להגיד שהקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם יש מאמר שנכתב על טרחנים כפייתיים *לפני* שהיו טרחנים כפייתיים? נו, טוב. אני הרי כופר בקיומה של הקבוצה הריקה 1. 1 לצורך הדיון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה רוצה להגיד שהקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם יש מאמר שנכתב על טרחנים כפייתיים *לפני* שהיו טרחנים כפייתיים?" חלילה, הקבוצה הריקה קיימת אם ורק אם מושג הקבוצה קיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שציינתי, אין הכרח בקיום הקבוצה הריקה, כדי שתתקיים קבוצה. וכדי שהדיון הזה לא ימשיך להתנהל כמו שהוא מתנהל עכשיו ("כן!", "לא!", "כן!", "לא!") אני אציין שחובת ההוכחה מוטלת עליך. הוכח בבקשה שאם קיימת קבוצה, קיימת הקבוצה הריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''כמו שציינתי, אין הכרח בקיום הקבוצה הריקה, כדי שתתקיים קבוצה.'' זה היופי פה, אין פה שום הכרח. אם יש קבוצה, אז היא לא פחות מהקבוצה-הריקה. כמה פשוט, ככה יפה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שקבוצה היא "לא פחות מהקבוצה הריקה" (מתי קבוצה היא יותר מקבוצה אחרת? אם היא מכילה אותה?) לא אומר שהיא "מורכבת" מהקבוצה הריקה, ולכן זה לא אומר שהקבוצה הריקה קיימת. כמה פשוט, ככה יפה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"זה שקבוצה היא "לא פחות מהקבוצה הריקה" " משמעותו של משפט זה היא: אם יש קבוצה, אז זאת לפחות הקבוצה-הריקה. הוכחת תלות-הקיום של קבוצה מורכבת בקבוצה לא-מורכבת: אלמנטרי (הגדרה): ישות יסודית, שאי-קיומה מונע את קיומם של אלמנטים המורכבים ממנה (תרתי משמע). ועכשיו דוגמאות והסברים: טענה 1: אם {} לא קיימת, אז {{}} בהכרח לא קיימת. הוכחה לטענה 1: אם {} אינה קיימת ב-{{}} אז {{}} אינו אלא {}, אך {} לא קיימת לכן {{}} אינה יכולה להתקיים ללא {} כאלמנט יסוד שלה. טענה 2: אם {{}} לא קיימת , לא נובע בהכרח ש-{} לא קיימת. הוכחה לטענה 2: אם אנו מסירים את הסוגריים החיצוניים של {{}}, {} קיימת, ולכן קיום {} אינו תלוי בקיום {{}}. מסקנה: {} הינה קבוצה אלמנטרית ואילו {{}} הינה קבוצה מורכבת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 333871. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי להבין את מושג ההיררכיה אנא עיין בתגובה 334032 תודה, ושנה-טובה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקאים אמתיים מסוגלים להבחין בד''כ בין המתמטיקה למציאות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''מתמטיקאים אמתיים מסוגלים להבחין בד''כ בין המתמטיקה למציאות.'' הגדר נא ''מציאות''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שחומק מהגדרות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מה שחומק מהגדרות" חמוד! ספר זאת למתמטיקאים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב אתה משתמש במילה האמורפית "מורכב", ובכך לא מפריד בין שיוך, הכלה, פירוק לגורמים ועוד שלל סוגים שונים של "הרכבה". חוץ מזה, מי אמר שאני קבוצה? ואם אני קבוצה, למה היא צריכה להיות קבוצת אטומים? אולי היא קבוצת איברים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
'' אז הם בהכרח מהווים את הגוף שלי.'' קיום אבני-יסוד אינו תלוי בישות המורכבת מהם, אך הישות המורכבת מהם יכולה להתפרק למרכיביה ובכך קיומה בטל אך אבני-היסוד קיימים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה כותב כל כך יפה ושירי שזה כואב | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא בלי כאבים | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה היה רמז נמוסי שקול ליאללה צגרו ת'בסטה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(שים לב לשימוש הבעייתי שלך במילה "הרכבה".) האם יכול להיות שיהיו איברים a,b,c ולא תהיה קבוצה {a,b,c}? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"האם יכול להיות שיהיו איברים a,b,c ולא תהיה קבוצה {a,b,c}?" קיום a,b,c פשוט יותר מ-{a,b,c} בלי שום קשר לשימוש במילים כמו "איברים" או "קבוצה", ולכן {a,b,c} תלוי לקיומו ב-a,b,c . שוב, אתה משחק במילים ובסימנים במקום לעסוק בתובנות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי אותך: אם קיימת קבוצה אז קיימים כל האיברים שלה. ומדוע אנחנו לא יכולים להגדיר תורת קבוצות, שהנקודה תהיה בה אובייקט אלמנטרי? למה אנחנו חייבים לעסוק דווקא בתורה שבה הקבוצה הריקה היא אובייקט אלמנטרי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ומדוע אנחנו לא יכולים להגדיר תורת קבוצות, שהנקודה תהיה בה אובייקט אלמנטרי?" איילי הצעיר, האם שמעת פעם על מתמטיקה-מונדית? אם לא, אז כדאי שתציץ ב: תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן, כמובן, בחרתי דווקא בנקודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הבנתי אותך: אם קיימת קבוצה אז קיימים כל האיברים שלה." לא הבנת אותי כהוא זה. אם קיימת קבוצה ואנו מגדירים בבירור את מצבי היסוד הבלתי מורכבים של מושג זה, אז קיימת הקבוצה-הריקה וקיימת הקבוצה-המלאה, כאשר אי-תוכן הקבוצה-הריקה "חלש" מידי בכדי לשמש כקלט בכל שפה שהיא, פורמלית או לא פורמלית, ותוכן הקבוצה-המלאה "חזק" מידי בכדי לשמש כקלט בכל שפה שהיא, פורמלית או לא פורמלית. אינני מסוגל להתחיל להבין מה מונע ממך להבין מיידית את הנ"ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב אתה חושב לעומק. אם היית מפסיק לחשוב לעומק וחושב קצת לרוחב, היית מיד מבין מה מונע ממנו להבין מיידית את הנ''ל. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |