|
||||
|
||||
"למשהו שהוא אוסף "גדול מדי" קוראים מחלקה" מה זה אוסף גדול מדי, ואיך אנו קובעים שאוסף הוא גדול מדי? |
|
||||
|
||||
נדמה לי שאין ל"מחלקה" הגדרה פורמלית. בקיצור, אנחנו קוראים בשפת היום-יום "מחלקה" לכל מה שנראה כמו קבוצה, אך לא ניתן לבנייה ב-ZF. אינטואיטיבית, קל לחשוב על מחלקה כעל "קבוצה גדולה מדי", כי הרבה פעמים היא תוצר של הליך "בנייה" אינסופי (ש"מגדיל" את הקבוצה). דוגמאות: מחלקת כל הקבוצות, מחלקת כל הקבוצות שלא שייכות לעצמן, מחלקת כל הסודרים, מחלקת כל העוצמות (עוזי אמר כך, אם אינני טועה). |
|
||||
|
||||
תודה לך אייל צעיר על ההסבר הקצר והממצה. ברשותך נשוב לרגע לקבוצה שלא שייכת לעצמה. גדי נתן את {מוקי הכלב} כקבוצה שאינה שייכת לעצמה כי "מוקי הכלב" איננו קבוצה. אך "מוקי הכלב" הוא בהחלט אלמנט בעל איברים מובחנים היכולים להגדיר קבוצה כגון: {זנב,אף,אוזן ימין,...,עין שמאל}. ואז אפשר לשייך את מוקי הכלב ל-{זנב,אף,אוזן ימין,...,עין שמאל,מוקי הכלב}, אשר הופכת אותו לאיבר השייך לקבוצה שלו. בעניין {} ו- {{}}, אומר גדי כי: "הקבוצה { {} } (הקבוצה שהאיבר היחיד שלה הוא הקבוצה הריקה) איננה איבר של עצמה: האיבר היחיד שלה הוא הקבוצה הריקה, אבל היא עצמה איננה ריקה - יש בה איבר אחד (שהוא, כאמור, הקבוצה הריקה)." אבל ברור לגמרי ש-{} ריקה ו-{{}} לא-ריקה , כך שאין שום קשר בין הקבוצות, ולכן איננו יכולים ליצור שום זיקה בין {} ל-{{}}. מה דעתך? |
|
||||
|
||||
לגבי {מוקי הכלב}: נניח שמוקי הכלב הוא קבוצה. מדוע הוא שייך לעצמו? האם גם "חציו הקדמי של מוקי" שייך למוקי? כנראה שמוקי הכלב מוכל במוקי הכלב, ולא שייך לו. לגבי {{}}: אתה צודק בהחלט. לכך גם גדי התכוון. |
|
||||
|
||||
"לגבי {מוקי הכלב}: נניח שמוקי הכלב הוא קבוצה. מדוע הוא שייך לעצמו? האם גם "חציו הקדמי של מוקי" שייך למוקי? כנראה שמוקי הכלב מוכל במוקי הכלב, ולא שייך לו." אם: A = {a,b} אז:B = {a,b,A} ו-B הוא למעשה A שהוא איבר של עצמו, האין זאת?
|
|
||||
|
||||
לא. B={a,b,{a,b}} זו קבוצה תקינה לחלוטין. בבירור B שונה מ-A.בעניין מוקי הכלב: מה שאתה עושה הוא היטפלות מאוד תמוהה ונסיון לפרשנות שלא קשור בכלל למה שאמרתי. "קבוצה" היא אובייקט מתמטי. "מוקי הכלב" הוא כלב. לכן להתייחס למוקי כאילו הוא קבוצה ולהתחיל "לפרק" אותו למרכיבים זה להפוך את מה שאמרתי לאיש קש, ואני לא אוהב את זה. בכל מקרה, עזוב אותך ממוקי. הבאתי לך את הדוגמה הפורמלית של { {} } ונראה לי (אני מקווה) שאתה מסכים שזו קבוצה שאינה איבר של עצמה. |
|
||||
|
||||
""קבוצה" היא אובייקט מתמטי." קבוצה היא משהו שאנו מגדירים (ואין לו שום קיום אוביקטיבי לא במתמטיקה ולא בשום תחום דעת אחר) ויש או אין לו איברים. לא הבנת את תגובתי הקודמת, שבה יצרתי קשר "אם..., אז..." בין A ל-B ולכן B הוא למעשה A שהיא האיבר של עצמה. בעניין {{}} אם: A={} אז:B={A} ולפי "אם A , אז B" אנו יודעים ש-B היא A שהיא האיבר של עצמה.
|
|
||||
|
||||
למה אתה מתכוון כשאתה אומר קשר "אם... אז..." בין קבוצות? מה הקשר בין A ל-B שמקיים את ה"היקש" המוזר שלך (הרי A והקבוצה הריקה לא מקיימות את אותו היקש, אז יש משהו שמייחד את B)? מה משמעות המשפט "ולפי 'אם A , אז B' אנו יודעים ש-B היא A שהיא האיבר של עצמה."? איך B יכולה להיות A, אם A ריקה ו-B לא? |
|
||||
|
||||
"מה הקשר בין A ל-B שמקיים את ה"היקש" המוזר שלך " אני משחק את המשחק הסכולסטי מכונן ההגדרות (ונעדר התובנות) של השיטה הפורמלית, ולפי שיטה זו ההגדרה קובעת ולכן אין שום מוזרות במשחק הפורמלי. שוב: אם: A={} אז:B={A} ולפי "אם A , אז B" אנו יודעים ש-B היא A שהיא האיבר של עצמה.B איננה קיימת אלא אם A היא האיבר של עצמה. ו-B קיימת לפי תגובה 331947 |
|
||||
|
||||
מה זו B? איך היא מוגדרת? מה זה המשפט "B היא A שהיא האיבר של עצמה"? איך B יכולה להיות A? |
|
||||
|
||||
אני חושב שהבנתי מה הבעיה. אתה משתמש בתבנית הלשונים של "לטאה היא נחש עם רגליים". כאשר אנחנו משתמשים במשפט הזה, אנחנו לא רוצים לומר שלטאה היא נחש (כי ללטאה יש רגליים ולנחש אין). אנחנו רוצים להגיד שלטאה דומה לנחש, רק שיש לה רגליים. אתה עוד מגדיל לעשות, ומשתמש בזהות "לטאה"="נחש" במקום נוסף במשפט: "לטאה היא נחש עם רגליים." "לטאה היא נחש שיכול לדרוך על נחשים." "לטאה היא נחש שיכול לדרוך על עצמו." או, אם נחזור לקבוצות: "B היא A ש-A איבר שלה." "B היא A שהיא איבר של עצמה." זאת דוגמה נפלאה לתבנית לשונית-טבעית בעייתית מבחינה לוגית. בשפה פורמלית אין תבניות בעייתיות כאלה. |
|
||||
|
||||
אם כבר מדברים על פירמול של תבניות לשוניות בעייתיות מבחינה לוגית: גם אני רציתי תורה מתמטית משלי. למזלי, יום אחד שמעתי את הדיאלוג המרתק הבא: בן: "מחר, או שנקנה חלב על הבוקר, או שנשתה מיץ." אם: "בסדר." דיאלוג מדהים זה הביא אותי לתובנות המופלאות שעליהן אני מיד אפרט. לאחר ששמעתי את אותה שיחה התחלתי לחשוב על השאלה הגדולה: מתי טענה עונה על ההגדרה "בסדר"? מיד שמתי לב למשמעות דבריה של האם: *גם* זה שהשניים ישתו חלב זה בסדר, ו*גם* זה שישתו מיץ זה בסדר. עם זאת, ברור שאם טענה היא בסדר, גם ההשלכות שלה חייבות להיות בסדר. אחרת היא לא בסדר. כך ניסחתי את שתי האקסיומות של ה"בסדר": (א) אם הטענה "א' או ב"' היא בסדר, גם הטענה א' בסדר וגם הטענה ב' בסדר. (ב) אם טענה א' בסדר, וטענה א' גוררת את טענה ב', אז גם טענה ב' בסדר. המסקנה המיידית מאקסיומות אלה הייתה משפט ה"בסדר": משפט: אם משהו בסדר, הכל בסדר! הוכחה: נתון שטענה a בסדר. צ"ל שטענה x בסדר. מאחר ש-a בסדר, גם הטענה הנגררת ממנה, "a או x", בסדר (אקסיומה ב'). מכאן, שגם a בסדר, וגם x בסדר (אקסיומה א'). מ.ש.ל. מכך נובע מיידית משפט הקטסטרופה: אם משהו לא בסדר, כלום לא בסדר! |
|
||||
|
||||
אייל צעיר, אני מצטער, אבל ההיסק שלך שגוי. כשהאם אמרה "בסדר" היא *לא* התכוונה ש*גם* לשתות חלב זה בסדר ו*גם* לשתות מיץ זה בסדר. אם למחרת במכולת הבן היה שולח את ידיו *גם* למדף החלב ו*גם* למדף המיץ, סביר להניח (עכ"פ, יתכן) שהאם היתה דורשת ממנו לבחור: *או* חלב *או* מיץ. לכן אקסיומה א' שלך צריכה להיות מנוסחת אחרת: אם הטענה "א' או ב"' היא בסדר, גם הטענה "א' ולא ב"' היא בסדר וגם הטענה "ב' ולא א"' היא בסדר. מכאן מופרך משפט ה"בסדר". הבט בגזירה כפי שהיא מתקבלת על ידי האקסיומות החדשות: נתון שטענה a בסדר. צ"ל שטענה x בסדר. מאחר ש-a בסדר, גם הטענה הנגררת ממנה, "a או x", בסדר (אקסיומה ב'). מכאן, שגם "a ולא x" בסדר, וגם "x ולא a" בסדר. אבל *לא* נובע מכאן ש-x בסדר, פשוט משום שאנחנו לא יודעים את הסטטוס של לא-a. וממילא מתבטלת גם ההוכחה למשפט הקטסטרופה. בידידות, עומר |
|
||||
|
||||
"אם למחרת במכולת הבן היה שולח את ידיו *גם* למדף החלב ו*גם* למדף המיץ, סביר להניח (עכ"פ, יתכן) שהאם היתה דורשת ממנו לבחור: *או* חלב *או* מיץ." ובכך הוכחת שהטענה "נשתה חלב וגם נשתה מיץ" יכולה להיות לא בסדר. אני לעומת זאת טענתי משהו אחר לגמרי: שהטענה "נשתה חלב" היא בסדר, וגם הטענה "נשתה מיץ" היא בסדר. זה לא אותו דבר. אכן, תגובה 331967 איננה רצינית, אבל אתה עוד לא עלית הבעיתיות שבה. |
|
||||
|
||||
"תגובה 331967 איננה רצינית"? כל כך מהר? איזה מין טרחן אתה? |
|
||||
|
||||
אני מנסה להתחבב על הממסד, ואז להפיל אותו מבפנים. למה אתה חושב שאני מתווכח כל כך הרבה זמן עם דורון, באמצעות כל מיני טיעונים שגויים-מן-היסוד של הגישה הפורמליסטית? |
|
||||
|
||||
אני מבין שההצהרה הפומבית הזו גם היא חלק מהניסיון שלך להתחבב על הממסד. יש לך הרבה מה ללמוד על טרחנות, אייל צעיר (אבל אני רואה שאתה משקיע מאמצים...). |
|
||||
|
||||
אני רק טרחן מתלמד. עד עכשיו הולך לי מצוין בצד העיוני, ואני כותב כמות לא קטנה של דברי-טרחנות (ראה, למשל, את ההערה בתגובה 331998). בהתנהגות הולך לי קצת פחות. אני פשוט זקוק לתירגול. |
|
||||
|
||||
"זאת דוגמה נפלאה לתבנית לשונית-טבעית בעייתית מבחינה לוגית. בשפה פורמלית אין תבניות בעייתיות כאלה." א) לא אמרתי ש-B היא A . ב) כן אמרתי ש-B היא A כאיבר של עצמו. קבוצה שהיא איבר של עצמה לא חייבת להיות זהה לעצמה. |
|
||||
|
||||
B היא כמו A, למעט העובדה ש-A היא איבר שלה. אז מה? B היא לא איבר של B. נ.ב. פעם אחרונה שבדקתי, כל קבוצה זהה לעצמה. |
|
||||
|
||||
"B היא לא איבר של B." בוא ואקל עליך:"קבוצה שהיא האיבר של עצמה היא בהכרח לא זהה לעצמה, ולכן אם קבוצת *כל* הקבוצות שלא מכילות את עצמן, מכילה את עצמה היא, אינה זהה לעצמה ולכן כדי שהיא תהיה זהה עם עצמה היא איננה מכילה את עצמה, אך אז היא סותרת את התנאי *כל*, שהוא חלק אינהרנטי של הגדרתה ולכן "קבוצת *כל* הקבוצות שלא מכילות את עצמן" לא קיימת מעצם הגדרתה. |
|
||||
|
||||
ההקלה שלך הקשתה עליי: אני לא מבין את המשפט "קבוצה שהיא האיבר של עצמה היא בהכרח לא זהה לעצמה". אגב, הוכחת אי-קיום בדרך השלילה היא בעייתית משהו. אם הייתי מביא לך מחלקה מסוימת ושואל אותך האם זו קבוצה, התשובה שלך הייתה "כן, אלא אם כן ההגדרה שלה מובילה לסתירה". במילים אחרות, "כן, כל עוד לא הוכח אחרת". לפי הגישה הזאת, אנחנו עוסקים בעולם של קבוצות, שהטענות היחידות שניתן לטעון בו הן טענות נוסח "אולי קיימת קבוצה A...". כך, למעשה, אנחנו לא יכולים לטעון שום דבר לגבי הקבוצות. לכן עדיף לנקוט בגישה הקונסטרוקטיבית של ZF. לא לחפש סתירה בהגדרה של קבוצה מסוימת, אלא להתייחס מלכתחילה רק לקבוצות שאנחנו יכולים לבנות ע"פ כללים מסוימים. |
|
||||
|
||||
תיקון לנוסח תגובה קודמת: "B היא לא איבר של B." בוא ואקל עליך:"קבוצה שהיא האיבר של עצמה היא בהכרח לא זהה לעצמה, ולכן אם קבוצת *כל* הקבוצות שאינן איבר את עצמן, היא איבר של עצמה ,הרי שבהכרח היא אינה זהה לעצמה ולכן כדי שהיא תהיה זהה עם עצמה היא איננה איבר של עצמה, אך אז היא סותרת את התנאי *כל*, שהוא חלק אינהרנטי של הגדרתה ולכן "קבוצת *כל* הקבוצות שאינן איבר של עצמן" לא קיימת מעצם הגדרתה ללא כל קשר לאקסיומות של ZF. מה דעתך? |
|
||||
|
||||
תגובה 331977, מילה במילה. |
|
||||
|
||||
"ההקלה שלך הקשתה עליי: אני לא מבין את המשפט "קבוצה שהיא האיבר של עצמה היא בהכרח לא זהה לעצמה"." לדוגמא: A={1,2,3} ולכן B היא A + A כאיבר של עצמה, כאשר B אינה זהה ל-A,B={1,2,3,A} ולכן: קבוצה שהיא האיבר של עצמה היא בהכרח לא זהה לעצמה, ולכן אם קבוצת *כל* הקבוצות שאינן איבר את עצמן, היא איבר של עצמה ,הרי שבהכרח היא אינה זהה לעצמה ולכן כדי שהיא תהיה זהה לעצמה היא איננה איבר של עצמה, אך אז היא סותרת את התנאי *כל*, שהוא חלק אינהרנטי של הגדרתה ולכן "קבוצת *כל* הקבוצות שאינן איבר של עצמן" לא קיימת מעצם הגדרתה ללא כל קשר לאקסיומות של ZF. "לכן עדיף לנקוט בגישה הקונסטרוקטיבית של ZF. לא לחפש סתירה בהגדרה של קבוצה מסוימת," על מה אתה מדבר? הרי זה בדיוק מה שעשה ראסל (הגדיר קבוצה מסוימת מאוד) כדי להראות את הבעיתיות במושג "קבוצת כל הקבוצות". |
|
||||
|
||||
"ולכן B היא A + A כאיבר של עצמה" אני לא יודע למה אתה מתכוון כשאתה אומר "A כאיבר של עצמה". B היא האיחוד של A ושל קבוצה כלשהי שהאיבר היחיד שלה הוא A. אני לא רואה פה שום "איבר של עצמה". "הרי זה בדיוק מה שעשה ראסל" אמת. אבל ראסל לא הראה רק סתירה בהגדרת "קבוצת כל הקבוצות". הוא הראה סתירה בכל הגישה של פרגה. אחרי שגילה ראסל את השגיאה שלו, אי אפשר היה להשתמש בהגדרות של פרגה תוך הנחה ש"קבוצה קיימת עד שיוכח אחרת". לכן הומצאה ZF. |
|
||||
|
||||
כשאתה אומר "+ A כאיבר של עצמה" אתה מרמה. אני מקווה שזה ברור לך. B היא הקבוצה שיש בה את אברי A + הקבוצה A כאיבר *של B*. אם אתה רוצה קינון אינסופי, היית צריך להגדיר את B כך: B={1,2,3,B} אבל לא ברור לי מה יוצא מזה, כמו גם מההגדרה שאתה נתת.ככלל לא ברור איך קבוצה יכולה שלא להיות זהה לעצמה. קבוצה A זהה לקבוצה B אם ורק אם כל איבר של A הוא גם איבר של B. האם אתה אומר שקיים, בקבוצה A כלשהי, איבר שגם שייך ל-A וגם לא שייך ל-A? זה אולי נכון באיזו תיאוריה שאתה המצאת, לא ב-ZF. מה שראסל עשה היה להראות את הבעייתיות במושג של "קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן". הבעיה בקבוצת כל הקבוצות הייתה ידועה, דומני, כבר לקנטור, והבעייתיות בה היא בשאלה מה העוצמה שלה (קנטור, כזכור, הראה שהעוצמה של קבוצת החזקה של כל קבוצה A גדולה ממש מהעוצמה של A, והפרדוקס נובע מיידית מכאן). |
|
||||
|
||||
"B היא הקבוצה שיש בה את אברי A + הקבוצה A כאיבר *של B*." אינני מדבר יותר על קינון אינסופי ולכן B היא בדיוק קבוצה A + A כאיבר של A, לדוגמא: A={}
B={A}={{}} |
|
||||
|
||||
אני עדיין לא רואה איפה A היא איבר של A. A היא איבר של {{}}, אך {{}} היא B. |
|
||||
|
||||
כפי שאמרתי "קבוצה שיש בה איבר של עצמה היא בהכרח אינה זהה לעצמה, ולכן: קבוצה שהיא האיבר של עצמה היא בהכרח לא זהה לעצמה, ולכן אם קבוצת *כל* הקבוצות שאינן איבר את עצמן, היא איבר של עצמה ,הרי שבהכרח היא אינה זהה לעצמה ולכן כדי שהיא תהיה זהה לעצמה היא איננה איבר של עצמה, אך אז היא סותרת את התנאי *כל*, שהוא חלק אינהרנטי של הגדרתה ולכן "קבוצת *כל* הקבוצות שאינן איבר של עצמן" לא קיימת מעצם הגדרתה ללא כל קשר לאקסיומות של ZF. "מה שראסל עשה היה להראות את הבעייתיות במושג של "קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן" כפי שאתה רואה אין שום בעיה, כי קבוצה כזאת לא קיימת. "הבעיה בקבוצת כל הקבוצות הייתה ידועה, דומני, כבר לקנטור, והבעייתיות בה היא בשאלה מה העוצמה שלה (קנטור, כזכור, הראה שהעוצמה של קבוצת החזקה של כל קבוצה A גדולה ממש מהעוצמה של A, והפרדוקס נובע מיידית מכאן)." מה שקנטור הראה זה שהוא לא מבין מהו אוסף אינסופי, מפני שהוא התעלם (משיקולים זרים) ממושג האינסוף המוחלט כפי שניתן לראות בבירור בhttp://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_infinite. |
|
||||
|
||||
משום מה הכתובת של WIKIPEDIA אינה פועלת בתגובה הקודמת, אז הינה היא שוב: |
|
||||
|
||||
זה בגלל שהמשפט הסתיים בנקודה, והמערכת של האייל לא הפרידה אותה מהכתובת. זאת הבעיה עם נקודות. מזל שישרים לא בנויים מהן. |
|
||||
|
||||
חוץ מהעובדה שאין לי מושג על מה אתה מדבר כשאתה אומר ''קבוצה שהיא האיבר של עצמה היא בהכרח לא זהה לעצמה'' הכל בסדר. |
|
||||
|
||||
הראה נא לי קבוצה שהיא האיבר של עצמה וגם זהה לעצמה. |
|
||||
|
||||
אם אתה *לא* מסכים לקבל רק קבוצות שניתן לבנות באמצעות ZF, אז הקבוצה A={A} עונה על הדרישות.הראה נא לי קבוצה כלשהי שלא זהה לעצמה. |
|
||||
|
||||
ללא שום קשר לZF A={A} לא עונה על הדרישות כי ל-...{{{A}}}... אין זהות עצמית, או יותר מדוייק, אי-הזהות העצמית היא תכונה אינהרנטית שלה אשר מלמדת אותנו כי כל אוסף אינסופי (לדוגמא אוסף N של המספרים הטבעיים) אין לו self identity function מכיוון שלאוסף אינסופי לא ניתן להגדיר קרדינל, כי אוסף קינונים אינסופי, או אוסף איברים אינסופי הינו בלתי-שלם אינהרנטית, וניתן להבין זאת בקלות רבה כאשר מבינים כי שום אוסף אינסופי אינו יכול להשיג את האינסוף המוחלט (כפי שקנטור עצמו ידע בעת שניסך את יסודות תורת הקבוצות http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_infinite)
|
|
||||
|
||||
כל כך הרבה משפט עם כל כך מעט משמעות. לא הבנתי כלום. |
|
||||
|
||||
דורון, המטרה של המתמטיקה היא לעשות את הדברים פשוטים יותר על ידי שימוש במספר בסיסי של מושגי יסוד אינטואיטיביים שמהם ניתן לבנות מושגים מורכבים ביותר בצורה מסודרת ושאינה משתמעת לשתי פנים. אצלך כל המושגים הבאים לא ברורים ויכולים להשתמע לעשרות פנים שונות: "זהות עצמית" "אי-זהות עצמית" "תכונה אינהרנטית" "self identity function" "קרדינל" (במשמעות שאתה מייחס לו, ולפיה אין קרדינל לאוסף אינסופי)"אוסף קינונים אינסופי" "בלתי-שלם אינהרנטית" "להשיג" "האינסוף המוחלט" אני מקווה שברור לך שמי שלא מבין את כל המושגים הללו לא מסוגל להבין כלום מההודעה שלך. אני מקווה שאתה גם מבין שאם מישהו לא מבין את המושגים הללו זה לא כי הוא לא קיבל מספיק חמצן בזמן הלידה, אלא פשוט שהם לא הוגדרו על ידך ויש להם מספר קונוטציות שונות, וככל הנראה לא אל הקונוטציות הללו כיוונת. אם כך, למה אתה ממשיך לכתוב הודעות כאלו? |
|
||||
|
||||
לא הבנתי כלום. מה זה A+A? אני לא מכיר פעולת + בין קבוצות. למה הכוונה כשאומרים "X כאיבר של Y"? בדוגמה שהבאת, ככל שאני מסוגל להבין, A היא הקבוצה הריקה, ו-B היא הקבוצה שהאיבר היחיד שלה הוא הקבוצה הריקה. האם אתה טוען ש-B היא A? האם אתה טוען ש-B היא איבר של B? האם אתה טוען ש-A היא איבר של A? כל הטענות הללו שגויות. |
|
||||
|
||||
איבר הוא תוכן של קבוצה. אם A = {} ואנו מגדירים את {A} , אז A היא איבר של {} אשר מונע את האפשרות לזהות בין A ל-{A}. |
|
||||
|
||||
"A היא איבר של {}" - אתה שם לב למה שאתה כותב, נכון? |
|
||||
|
||||
""A היא איבר של {}" - אתה שם לב למה שאתה כותב, נכון?" בוודאי, {A} הוא קינון של {} ב- {}, אשר מונע את {{}} מלהיות זהה ל-{}. |
|
||||
|
||||
נדמה לי שתצטרך להסביר את המונחים שלך יותר טוב. למה הכוונה במשפט "{A} הוא קינון של {} ב- {}"? מה זה בדיוק קינון של X ב-Y? |
|
||||
|
||||
{{}} הוא קינון של {} ב- {} |
|
||||
|
||||
א. אז איך {A} הוא קינון של {} ב-{}? ב. מה הקינון של {1,2,3} ב-{4,5,6}? |
|
||||
|
||||
א) אם A הוא {}, אז {A} הוא קינון של {} ב- () ב) {{1,2,3},4,5,6} |
|
||||
|
||||
א) אה, נכון. אני באמת רואה שהגדרת אותו בתגובה 332076. עכשיו אולי תוכל לענות לגבי אותה תגובה: למה ואיך A איבר של {}? ב) אז קינון של X ב-Y, הוא X איחוד הקבוצה שאיברה היחיד הוא Y. למה בעצם זו פעולה מעניינת? מה ניסית להראות בעזרתה? |
|
||||
|
||||
אני לא מנסה אלא מראה בפשטות כי קבוצה המשוייכת לעצמה אינה זהה לעצמה כי *אנו* (ולא מלאך ולא שרף ולא שום משחקי "אני לא יודע שאני יודע") יוצרים רמת קינון (שייכות) נוספת אשר איננה בנמצא בקבוצה המקורית. זוהי הסיבה העמוקה מדוע תוצאת הקינון של {} ב- {} (שהיא {{}}) אינה זהה ל- {}. במקרה הנ"ל יש *לנו* גם שינוי מריקנות לאי-ריקנות. אם *אנו* מנסים להגדיר קבוצה ע"י קינון אינסופי של קבוצה לא-ריקה, לדוגמא {0}, *אנו* מקבלים מיד מצב שאינו מוגדר מעצם מהותו כגון ...{{0}}... כאשר ... מסמן בפירוש אי-הגדרה במלא מובן המילה (שורש ג.ד.ר). מצד שני *אנו* יכולים ליצור קבוצה המכילה כל רמת קינון כאיבר סופי ומובחן היטב, כאשר איברים מובחנים אלה יוצרים אוסף אינסופי כגון: { {0},{{0}},{{{0}}},... }. ברור לחלוטין כי קיימת שקילות בין ...{{{0}}}... (המקביל ל-...0.999) לבין { {0},{{0}},{{{0}}},... } (המקביל ל-0.9 + 0.09 + 0.009 + …) ולכן: 1 <--> {0} <--> 0.9 המוכיח בפירוש כי N כקבוצה אינסופית איננה מוגדרת, או במילים אחרות, הקרדינל המדוייק שלה לא קיים ולכן כל העולם טרנספיניטי אינו קיים.2 <--> {{0}} <--> 0.09 3 <--> {{{0}}} <--> 0.009 ... למעשה *הראנו* כי כל אלמנט מתמטי הניתן להבנה במונחים של אוסף המבוסס על שייכות אינסופית (מקוננת או לא) אינו מוגדר מעצם טבעו, ולכן אוסף סופי ואוסף אינסופי קיימים בשתיי קטגוריות *נפרדות לחלוטין*, כאשר הקרדינל *המדוייק* של אוסף סופי קיים, ואילו הקרדינל *המדוייק* של אוסף אינסופי *לא-קיים*. נובע מכך כי כל שיטת המיפוי שפיתחו קנטור וחבריו כבסיס להשוואה בין קבוצות (המתעלמת מהשוני המהותי בין אוסף סופי לאוסף אינסופי) המנסה לכפות תובנות הקשורות לאוסף סופי (כגון קרדינל מדוייק) ולהכיל אותם על אוסף אינסופי, מבוסס ללא צל של ספק על אי-הבנת מושג השייכות באוסף אינסופי. יותר מכך, אם היה קנטור נמנע משיקולים זרים (כפי שניתן לראות בבירור בhttp://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_infinite) בעניין האינסוף-המוחלט (שאני מכנה אותו הקבוצה-המלאה, ואף מדגים חד-משמעית את השינוי היסודי שהוא גורם למושג השייכות, מעצם היותו מסוגל להתקיים סימולטנית בתוך ומחוץ לקבוצה, לדוגמא:_{_} ) ומכיל מושג זה בתורת-קבוצות, *הוא* היה נוכח מיד כי שום אוסף אינסופי אינו מוגדר בהכרח (אין לו קרדינל מדוייק) כאשר הוא מושווה לאינסוף-המוחלט. לא ניתן להכיל מסקנות אלה על קרדינל של אוסף סופי, כי לא ניתן לערוך שום השוואה בין הסופי לאינסופי. לסיכום תורת-הקבוצות המודרנית מבוססת על אי-הבנת ההבדל המהותי שבין האינסופי לסופי, ועל אי הבנת ההבדל שבין אוסף אינסופי לאינסוף-המוחלט. המתמטיקה המונדית מבוססת על *הבנת* ההבדל שבין הסופי לאינסופי, ועל *הבנת* ההבדל שבין אוסף אינסופי לאינסוף-המוחלט. הבנה זו אינה תלוייה כהוא זה בקיום זה או אחר של שפה פורמלית כלשהי, והנסיונות של משתתפי דיון זה "להבין" את דבריי כתלויי הגדרה טכנית, מראים כאלף עדים כי שיטת החינוך הפורמלי במתמטיקה ב-150 האחרונות הרחיקה לכת עד כדי "רתימת העגלה לפני הסוסים", או במילים אחרות, במקום לפתח את יכולת ההבנה של התודעה באופן שלא יהיה תלוי בשיטת ייצוג כלשהי, עוסקת המתמטיקה המודרנית בפיתוח שיטות-הייצוג תוך הזנחה כמעט מוחלטת בפיתוח הבנה שאינה תלויית שיטת-ייצוג. האמת היא, שאני מתחיל להשתעמם מחוסר היכולת של גדי, האייל הצעיר, עוזי, האייל האלמוני, אורי, גיל ועוד ... לצאת מתחת לאור הפנס השכונתי הפורמלי שלהם, ולנהל דו-שיח מכונן תובנות ולא מכונן הגדרות. *אתם* יכולים לקרוא *לי* סנוב, טרחן כפייתי, אחוז שגעון גדלות וכו', אך לצערי הרב (וכנראה לעולם לו תבינו עד כמה צערי רב, כי הבדידות היא חוויה קשה מאין כמוה) כ-1000 תגובות מוכיחות מעל ומעבר לכל ספק כי אינכם מסוגלים לעשות ולו את הצעד הקטן ביותר מחוץ לגבולות עולמכם, פשוט ע"י היפתחות לחקירת והבנת התנאים האלמנטריים והלא-אישיים המקיימים את תודעתכם. העתיד צפון בדור חדש של בני-אדם, אשר ילמדו להיות מודעים לתודעתם ולאחריות הנלווית למודעות זו בכל תחומי החיים, כבר מגיל צעיר. |
|
||||
|
||||
FOR MATHEMATICS
The current Big Bang Is a real glory! The Milky-Way is all around us And was created with our Solar System. 'Everything is a number' Said Pythagoras As he was hearing The Music of the Spheres. But there were many dark waters Which covered the head of Hippasus After he discovered The Secret of Irrationality. Maybe Euclid hid the narratives Of the Protection of the Axioms Of the Parallels When he established his own mathematics. While Newton calculated The end of the world, Leibnitz – with the monads – believed A unitary language must exist. Goethe could see in the word The generic type, But did not like or know True mathematics. Hilbert remained Deeply misunderstood With his list of 23 problems and organic unity. A. Connes with his theory Of non-communicative geometry Of 100 to Hilbert, ended up With a new understanding. M. Athiya, in his index And K theory Discussed it all As some enigma. The vision of J. Stuart Shared the flexibility Of the nature of numbers In his epilogue. Wittgenstein says We should be aliens To see properly In the bottle of Klein. From the top of the mountain Of the Rieman hypothesis We can see another mountain, an analogue, And hear its Sixth Symphony. Einstein performed the actual First step of a child When he asked how we Measure a length. Only when we see the world Like children again Will we count once more From the beginning: 1. 2. 3. Moshe Klein Israel 23.4.04 |
|
||||
|
||||
כבר הסברתי לך (ראה, לדוגמה, את תגובה 332253) מדוע הטיעון שלך לפיו יש שקילות בין N לבין ...{{{{N}}}}... אינו נכון, מה גם שכולנו *מסכימים* שאין קבוצה כזאת ...{{{N}}}... |
|
||||
|
||||
נו באמת אייל צעיר. אתה נכשל בטריוויאלי. להלן דבר המתרגם: _________ תהי S1 קבוצה כלשהי {x1,x2,x3,...} (כאשר S1 יכולה להיות הקבוצה הריקה) תהי S2 קבוצה כלשהי {y1,y2,y3,...} (כאשר S2 יכולה להיות הקבוצה הריקה) הגדרה שדמית1: נאמר ש C היא קינון של S1 ב-S2 אם מתקיים ש-C הוא {y1,y2,y3,...} איחוד {{x1,x2,x3,...}} _________ לכן, אם A היא הקבוצה הריקה אז {A} הוא קינון של {} ב-{} משום שמתקיים {A}={{}}={} איחוד {{}}. באופן דומה, {1,2,{1,2}} היא קינון של {1,2} בעצמה. ____________ הגדרה שדמית2: נאמר ש-y הוא איבר של קבוצה כלשהי S אם קיים קינון של y ב-S. ____________ תהי A הקבוצה הריקה. טענה: A היא איבר של הקבוצה הריקה. הוכחה: תהי A הקבוצה הריקה. נביט על הקבוצה {A}. עפ"י הגדרה 1, ברור כי {A} היא קינון של A ב-{}, לכן קיים קינון של A ב-{} ולכן (עפ"י הגדרה 2) A היא איבר ב-{}. מ.ש.ל. ___________ תרגילי בית: 1) הוכח את הטענה הבאה. טענה: לא קיימת אפשרות בה קבוצה כלשהי Z זהה לקינון של עצמה ב-{}. 2) השג לעצמך חיים בהקדם האפשרי. |
|
||||
|
||||
תודה לך אביב על הדוגמא המאלפת של הסיבוכיות המיותרת של השפה הפורמלית הנוכחית. את כל הסיבוכיות הזו ניתן לפתור ע"י תובנה ישירה כמוסבר בתגובה 332104 כאשר שיעורי הבית האמיתיים מתקיימים בבית האמיתי, שהוא לא פחות מהתודעה עצמה, ולא בעזרת סכולסטיקה מפותלת של הגדרות יעני פורמליות. |
|
||||
|
||||
אני ממליץ לך על הנפקת הסטיקר: "התובנה מתחילה בתוכי*". כמו שיש יעני הגדרות פורמליות, יש יעני תובנות. מהתובנות שלך נובע ישירות, שכל טענה מוצלחת שטענת עד כה, היא איבר של הקבוצה הריקה. אני לא בטוח שאנחנו לא מסכימים. __________ * באותיות קטנות למטה: "ותשאר שם לנצח נצחים. אין על מי לסמוך מלבד על אבינו שבשמים". |
|
||||
|
||||
"מהתובנות שלך נובע ישירות, שכל טענה מוצלחת שטענת עד כה, היא איבר של הקבוצה הריקה." איזה חוש הומור! מגיע לך קול מחיאתה של כף יד אחת. |
|
||||
|
||||
תודה תודה. |
|
||||
|
||||
הוי, הזכרונות. זה מזכיר לי את הפעם ההיא בה דיברתי עם איזו מישהי ריקנית על כל האברים שיש לה והגעתי לסתירה. |
|
||||
|
||||
שכחת להוסיף שהיא הורידה לך סטירה בידה הריקנית, ואף הוסיפה בעיטה ברגלה הריקנית. |
|
||||
|
||||
אני רואה שאי אפשר להבין מה אתה בדיוק רוצה, גם בתחום ההומור. |
|
||||
|
||||
לא שאלתי מה זה איבר. שאלתי למה הכוונה בביטוי "X כאיבר של Y". שאלתי גם מה זה ה"+" הזה, אבל מזה אתה בוחר משום מה להתעלם. לסיום, אתה אומר אמירה תמוהה כמו "A הוא איבר של {}" שמעידה שאנחנו לא מדברים באותה שפה (A הוא איבר של קבוצה שאין בה איברים?) ואני חושב שזה אומר ש(שוב) הדיון הזה הגיע לסופו, אלא אם תתחיל לדבר בשפה שבה שאר המתדיינים כאן מדברים. |
|
||||
|
||||
ראה נא את תגובה 332096 |
|
||||
|
||||
לא ענית, ואני מקבל את התחושה שאתה מתחמק בכוונה. היה נעים. |
|
||||
|
||||
"דורון, המטרה של המתמטיקה היא לעשות את הדברים פשוטים יותר על ידי שימוש במספר בסיסי של מושגי יסוד אינטואיטיביים שמהם ניתן לבנות מושגים מורכבים ביותר בצורה מסודרת ושאינה משתמעת לשתי פנים." המתמטיקה היא לא מטרה אלא אמצעי מדוייק לשיתוף תובנות. תובנה אינה נובעת מהשפה הפורמלית אלא מבוטאת על-ידה. אם לא ניתן לעורר את התובנה בתוכנו (שזאת עבודה אישית שכל אחד צריך לעשות בתודעתו שלו) לא יתקיים שום דו-שיח משמעותי בין תודעות. אתה, גדי, מחפש את התובנה בהגדרות, אך כפי שהסברתי חזור והסבר, ההגדרות אינן אלא ייצוג של התובנה. בוא וניקח תובנה פשוטה בתכלית העוסקת במושג האינטואיטיבי "שייכות". אם {} משוייכת לעצמה (או, במילים אחרות, מקוננת ב-{}), אז התוצאה היא {{}} אשר אינה זהה ל-{}. בתובנה שלי "איבר של ..." שקול ל- "משוייך ל..." ששקול ל- "מקונן ב..." האם מובן (שים לב שאני לא שואל "האם מוגדר?")? |
|
||||
|
||||
גדי לא אמר שהמתמטיקה היא מטרה, הוא אמר משהו לגבי המטרה של המתמטיקה. עם שלושת הפסקאות הראשונות (אחרי הציטוט) שלך אני מסכים, ולמעשה גם גדי אמר דבר דומה בציטוט שהבאת. אף אחד לא מחפש את התובנות בהגדרות. אבל אם החלטנו להשתמש בשפה הפורמלית ככלי, בואו נשתמש בו כמו שצריך. שלושת המושגים שהבאת בסוף הם אכן מילים נרדפות 1. 1 אני מוכן להשתמש גם במושג "מקונן" במהלך הדיון. אין למילה הזאת, עכש"י, משמעויות נוספות בתחום. |
|
||||
|
||||
"אף אחד לא מחפש את התובנות בהגדרות. אבל אם החלטנו להשתמש בשפה הפורמלית ככלי, בואו נשתמש בו כמו שצריך." אייל צעיר, אי היכולת של חבריך ושלך (האמונים על שימוש כמו שצריך בשפה פורמלית) להבין מושג כה פשוט כמו הקבוצה-המלאה , וכיצד קבוצה זו משנה את מושג השייכות מן היסוד, אומרת דרשני! במילים אחרות _{_}, שהוא קיום סימולטני של אלמנט בתוך ומחוץ לקבוצה, אינו נתפס על ידיכם, ושום להטוטי שפה לא יעזרו פה, אלא רק תובנה ישירה. |
|
||||
|
||||
"איך B יכולה להיות A?" איפה אתה רואה שאמרתי ש-B היא A? |
|
||||
|
||||
במשפט "B היא A שהיא האיבר של עצמה". |
|
||||
|
||||
כמו כן ראה נא את תגובה 331974 תודה. |
|
||||
|
||||
ראה נא את תגובה 331968 תודה. |
|
||||
|
||||
לא דיברתי על "קיום אובייקטיבי". "מוקי הכלב" לא הוגדר כמשהו שיש או אין לו איברים אלא ככלב. את שאר ההודעה שלך לא הבנתי. B היא בפירוש לא A על פי ZF, ואם אתה טוען שהיא כן אני חושש שלא הבנת את ZF, ושאתה לא מדבר על ZF אלא על תורה בעלת סתירה שאתה המצאת. |
|
||||
|
||||
גדי, ראה נא את תגובה 332000 תודה. |
|
||||
|
||||
סליחה על השאלה ואתה לא חייב לענות, אבל מאילו ספרים למדת את תורת הקבוצות? |
|
||||
|
||||
כלב קש, לא איש קש. |
|
||||
|
||||
ל"מחלקה" יש כל מיני הגדרות פורמליות, בהתאם להקשר. בדרך כלל (כלומר ב-ZFC), "מחלקה" היא פשוט קיצור ל-"תכונה". לדוגמא, מחלקת כל הקבוצות היא התכונה x=x (או טאוטולוגיה אחרת כלשהי), ומחלקת כל הקבוצות שלא שייכות לעצמן היא התכונה "x לא שייך ל-x". בצורה דומה, הטענה "לכל A, אם A שייכת למחלקת כל הקבוצות אז A שייכת למחלקת כל הקבוצות שלא שייכות לעצמן" מתרגמת לטענה פורמלית "לכל A, אם A=A אז A לא שייך ל-A". לפעמים יותר נוח לעבוד במערכת שמכירה במחלקות באופן פורמלי כמו NBG (ניומן-ברני-גדל). מערכת כזו היא הרחבה קונסרבטיבית (שאינה מוכיחה דברים חדשים) של ZFC. אפשר לחזק את המערכת הזו ולקבל הרחבה לא קונסרבטיבית כמו MK (מורס-קלי). עוד הסברים: |
|
||||
|
||||
תודה. |
חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש | © כל הזכויות שמורות |