בתשובה לאלון עמית, 05/09/05 7:54
איך מוכיחים 327627
עוזי ו. • בתשובה לאלון עמית יום ב', 5/9/2005, 9:03
אתה נופל בכשל הידוע בשם 'שימוש במשפט היסודי של האריתמטיקה', שבמקום מסויים בפתיל הזה הוחלט מסיבות לא ידועות להסתדר בלעדיו. (דלג) אבל אי אפשר.
הדרך הקלה להוכיח שאם x ו- y זרים ל- n אז גם המכפלה שלהם זרה ל- n, היא לכתוב ax+bn=1 ו- cy+dn=1, ולהכפיל את המשוואות. במקרה ש- n ראשוני, אנחנו בעצם מוכיחים שכל מספר אי-פריק (=אין לו מחלקים) הוא ראשוני (=מוכרח לחלק גורם בכל מכפלה שהוא מחלק), וזה נכון בתחומי פריקות יחידה (=המשפט היסודי של האריתמטיקה מתקיים), אבל לא בתחומי שלמות אחרים. (ע"כ)
תחומי שלמות אחרים 328033
אלון עמית • בתשובה לעוזי ו. יום ד', 7/9/2005, 0:04
הטענה "לכל איבר בחוג שיש לו שורש ריבועי בשדה השברים, יש שורש בחוג" נכונה לא רק בתחומי פריקות יחידה. למשל, [(Z[sqrt(-5 איננו UFD אך הטענה נכונה לגביו‏1. מצד שני, אפשר לבנות "בכוח" דוגמה לתחום שלמות בו הטענה הזו אינה נכונה:

R = C[X,Y,T] / <X^2 - T Y^2>

כאן "רואים" של-T אין שורש ב-R, אבל יש לו בוודאי שורש בשדה-השברים של R. עוד אין לי הוכחה למה ש"רואים" וייתכן שיש פה איזו הפתעה, אבל נראה לי שזה עובד. אני עדיין קצת סקרן לבחון אם הטענה בכל זאת נכונה, נניח, בשדות מספרים; בינתיים לא מצאתי הוכחה כללית.

‏1 ברור שכדי להוכיח זאת, משתמשים בפריקות יחידה, אבל לא בחוג (שם אי-אפשר) אלא ב-Z.
תחומי שלמות אחרים 328039
עוזי ו. • בתשובה לאלון עמית יום ד', 7/9/2005, 0:27
(הוכחה שאין ל- T שורש בחוג: השורש בשדה השברים יחיד עד כדי סימן, ולכן מספיק להראות ש- X/Y אינו שייך ל- R. כלומר, להראות ש- X אינו שייך לאידיאל <Y> של R. אבל מודולו האידיאל הזה, [R/<Y>=C[X,T|X^2=0 וקל לראות ש- X אינו אפס).
תחומי שלמות אחרים 328041
אלון עמית • בתשובה לעוזי ו. יום ד', 7/9/2005, 0:29
(לחליפין, אפשר פשוט לרשום

T + q(X,Y,T)(X^2-T Y^2) = f(X,Y,T)^2

ולהסתכל על דרגות ומקדמים חופשיים).
תחומי שלמות אחרים 328040
אלון עמית • בתשובה לאלון עמית יום ד', 7/9/2005, 0:27
(א-נו. כבר יש לי הוכחה למה ש''רואים'', והיא באורך שורה).
תחומי שלמות אחרים 328050
עוזי ו. • בתשובה לאלון עמית יום ד', 7/9/2005, 1:37
התכונה הזו נכונה גם בחוגי דדקינד‏1. קצת מפתיע.

‏1 נניח ש- a^2=xb^2 בחוג. מפירוק לאידיאלים ראשוניים יוצא שהאידיאל ש-x יוצר הוא ריבועי, נניח I^2. אחרי הוצאת שורש רואים ש- I הוא ראשי, ולכן x הוא ריבוע עד-כדי יחידות. אבל אם יחידה היא ריבוע בשדה, אז היא ריבוע בחוג (כל היחידות שם ממילא).
תחומי שלמות אחרים 328055
אלון עמית • בתשובה לעוזי ו. יום ד', 7/9/2005, 2:27
התכונה הזו נכונה פשוט בחוגים סגורים בשלמות‏1. לא כל כך מפתיע :-)

‏1 אם ל-a יש שורש ריבועי בשדה השברים, השורש הזה מקיים את המשוואה המתוקנת X^2-a = 0. אם החוג סגור בשלמות, השורש הזה כבר נמצא בחוג.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות