בתשובה למשה קליין, 05/09/05 8:24
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אכן, ומן הראוי היה שכל הדיונים העוסקים בדורון שדמי ותורתו היו מתנהלים בפתיל שראשיתו בתגובה זו. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לגדי, אז הנה התגובה שלי בפתיל "עידכון מביך מהשטח" אשמח להמשיך את הדיון איתך עם אלון ועם אחרים מהפתיל שם. -------------------------------------------- לאלון עמית, בשנת 1980 סימתי תואר ראשון במתמטיקה בהצטיינות יתירה, באוגוסט של שנת 1989 הזמנתי את צבי ינאי להרצות באמפיתאטרון מודיעין בליל המטאורים , להרצות על הנושא "האינקויזיציה של הכנסיה ויחסה אל גלילאו ". לפני כשבועיים, הפנה אותי דני לסרי (המכיר את מחקרי המתמטי כבר משנת 1986 ) למאמר שכתבת על "טרחנים כפיתיים במתמטיקה" , שלחתי את ההפניה מיד לדורון שדמי שאותו הכרתי לפני כ 3 שנים באמצעות צבי ינאי. מאחר ואתה מכיר כעת יותר את עבודתו של דורון שדמי אני מבקש כעת את תגובתך בהתאם. משה קליין גן אדם |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון עמית: "השיטה המתמטית נשענת במידה רבה על הגדרת מושגים והנחות, והסקת מסקנות לוגיות מהם. אחת העובדות שאנשים רבים מחמיצים היא שהמתמטיקאים נוטלים לעצמם את החופש להגדיר ולהניח כרצונם, כאשר המבחנים היחידים הם עקביות (ההנחות לא מובילות לסתירה) ואסתטיות: התורה הנובעת מההנחות היא יפה, מעניינת, לא טריוויאלית ולעיתים אף שימושית. אין, בעצם, משמעות (או חשיבות) לשאלה האם זו "האמת". האם מינוס כפול מינוס זה "באמת" פלוס? האם 0.99999... שווה באמת ל-1? האם יש באמת מספר כזה, i, שהוא השורש הריבועי של מינוס אחת? ומדוע המתמטיקאים כל־כך בטוחים ששתיים ועוד שתיים הם ארבע?" כפי שציינתי, השיטה הדדוקטיבית עוסקת בניסיון להגדיר מערכות מבודדות המבוססות על הגדרת מכוננות, כאשר המינימום ההכרחי הוא היכולת להציג את אותם הגדרות באופן שיוכיח חד משמעית את העקביות שלהם ואת עצמאיותן-ההדדית (היותן לא נגזרות זה מזה). רק על בסיס הוכחת חד-משמעית של עקביות ועצמאיות-הדדית של ההגדרות המכוננות, אפשר להסיק שמערכות אלה יש ביכולתן להכריע לאמת או שקר השערות שונות הנגזרות מהן בדרגת ישירות זו או אחרת להגדרות המכוננות, כאשר כל ההשערות והמשפטים המוכחים הן רלוונטיות רק ואך ורק במסגרת מערכת ההגדרות המכוננות שהלן. לכן נשאלת שאלה מכוננת הקשורה לגישה זו והיא:"האם השיטה הדדוקטיבית המבוססת על יקומים מבודדים של הגדרות מכוננות, אכן יכולה במסגרתה היא להוכיח מעל לצל של כל ספק כי כל מערכת של הגדרות מכוננות היא אכן מערכת מבודדת שלא צריך להוסיף או לגרוע דבר מהגדרותיה המכוננות לאחר שהוגדרו, וכל המשפטים של מערכת כזו הם כריעים ללא תנאי (כאשר "ללא תנאי" היא היכולת המוכחת מעל לכל ספק להראות שלא צריך לשנות דבר בהגדרות המכוננות לאחר שהוגדרו, כדי להכריע חד-משמעית וללא עוררין את "גורלו" של משפט לאמת או לשקר). גדל הראה ע"י שימוש מדוייק בחוקי השיטה הדדוקטיבית, כי מערכות אשר עוצמתן מספיקה לאריתמטיקה עם מספרים טבעיים, אינן עונות על דרישה קטגורית זו, או במילים אחרות, מערכות דדוקטיביות ככלל אינן מערכות סגורות ועקביות ללא תנאי. המתמטיקאים מדברים רבות על מערכות מעניינות ולא מעניינות. אשמח לדעת איזה מערכות מענינות קיימות, אשר ניתן להראות בצורה חד-משמעית וריגורוזית, שלא יתכן כי במסגרתן יתקימו משפטים בלתי כריעים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קצת פרטים על משפט גדל, "תנו לגדול בשקט" דיון 2369 שכתב ... "איזה מערכות מענינות קיימות, אשר ניתן להראות בצורה חד-משמעית וריגורוזית, שלא יתכן כי במסגרתן יתקימו משפטים בלתי כריעים?" מתוך אותו מאמר, "יש תורות מתמטיות חשובות, מעניינות ומאוד לא־טריוויאליות שהן שלמות, ומשפט גדל לא חל עליהן; נזכיר כדוגמאות את הגיאומטריה האוקלידית, את התורה RCF (שדות סגורים־ממשית), ואפילו מספר תורות הדנות במספרים הטבעיים כגון PrA (אריתמטיקת פרסבורגר)." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כוונתך בוודאי לדיון 2396, ולא כפי שכתבת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רואים תשע קרוב לשש, ישר חושבים על 69. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון עמית: ""לא מסוגלת להוכיח" – כאן יש טעות יותר עדינה, אבל לא פחות חשובה. כאמור, "הוכחה" בלוגיקה מתמטית היא מושג פורמלי, הקשור, אך לא זהה, למושג "הוכחה" המוכר לנו משפת היום־יום. ביום־יום אנחנו מציינים בביטוי "הוכחה" דבר־מה המדגים מעל לכל ספק שטענה מסויימת היא נכונה. בלוגיקה, הוכחה היא סדרה של נוסחאות ותו־לא. לעתים יש קשר הדוק בין המושגים, אבל הם אינם זהים. דוגמא פשוטה: תורה מתמטית מוכיחה פורמלית כל אקסיומה שלה, אך בשפת היום־יום לא היינו אומרים שמי שהניח שהירח עשוי צמר גם הוכיח שהירח עשוי צמר. לכן, הוכחה פורמלית לא בהכרח מהווה הוכחה־במובן־הרגיל של נכונות, ובאותו אופן, היעדר הוכחה פורמלית לא בהכרח מעיד על היעדר הוכחה־במובן־הרגיל. כל זה, יש להדגיש, היה גלוי וידוע עוד לפני גדל. כדי להדגים את הקושי בצורה חריפה אף יותר, נשתמש בפעלול קטן. ניקח תורה מתמטית פשוטה עליה חל משפט גדל, למשל התורה המכונה PA (אריתמטיקת פֵּאָנוֹ), הבנויה מאקסיומות פשוטות וסבירות מאוד. עכשיו נבנה תורה מלאכותית Z שהאקסיומות שלה הן בדיוק אלו של PA, יחד עם אקסיומה אחת נוספת האומרת "PA איננה עקבית". הטענה הזו (כמו C המופיעה במשפט גדל) ניתנת לניסוח פורמלי בשפה של PA, ועל־כן אפשר להוסיף אותה כאקסיומה. כעת נקבל כמסקנה מוזרה ממשפט גדל שאם PA עקבית (וזוהי הנחת עבודה סבירה), אז גם Z עקבית (הוכחה: תרגיל לקורא). עכשיו לפנינו תורה עקבית Z שבה ניתן להוכיח את הטענה השקרית "PA איננה עקבית"! אין פה אסון, אלא אבחנה פשוטה שתורה עקבית אינה בהכרח נאותה, כלומר אינה מוכיחה רק משפטים אמיתיים. הנקודה החשובה היא שאם יש לנו סיבה להטיל ספק בעקביות (או בנאותות) של תורה מסויימת, הוכחה של עקביות זו בתוך אותה תורה לא תועיל בכלום – ממילא אנו מטילים ספק בתורה, אז מדוע שנאמין לה כשהיא מוכיחה שהיא עקבית? מצד שני, אם יש לנו סיבות טובות להאמין שתורה היא כן עקבית, חסרונה של הוכחת־עקביות־פנימית כזו לא צריך להפריע לנו כלל." בקצרה אלון עמית, אתה מודה שההכרעה שלך להמשיך לעסוק במערכת דדוקטיבית המושפעת ממשפטי אי-הכריעות של גדל, תלויה באמונתך במערכת ולא בתקיפות הלוגית שלה. במילים אחרות היסוד לעיסוק במערכות החזקות דיין להיות מושפעות ממשפטי אי-הכריעות של גדל, תלויות בשיקולים אנושיים של אמונה וכו', כאשר רק המערכות הדדוקטיביות הפחות מענינות (שאינו מושפעות ממשפטי אי-הכריעות של גדל) ניתן להראות כי הן אינן תלויות באמונתו של המשתמש בהם. אז אמור נא מר אלון עמית היקר, מה נשאר בעולמך שהוא גם מעניין וגם אינו תלויי באמונתך (כאשר אמונה משמשת פה דוגמא לגורם האנושי המכריע בסופו ובתחילתו של דבר את אופיה של השיטה הדדוקטיבית). אני מדבר גלויות על הקשר ההדוק שבין תודעת המתמטיקאי לשיטות והמושגים שהוא מפתח. יותר מכך, איני משאיר את הקשר הזה להכרעה עפ"י אמונה כפי שאתה עושה, אלא חוקר את תכונות התודעה המינימליות ההכרחיות המאשפרות לנו להמציא/לגלות את שפת המתמטיקה ולפתח אותה על בסיס תכונות מינימליות והכרחיות אלה (כאשר תכונות אלא אינן קשורות לנטיות הפסיכולוגיות/מיסטיות/אמונתיות שלנו אלא לאפשרותה המובנית של התודעה להשתמש בכישורים כמו חשיבה מקבילית/סידרתית ויכולתה להפעיל בגלויי ובמודע את מושג הסימטריה, ככלי מכונן המאפשר לחקור בגלוי את כישוריה לגשר בינה לבין מושאיה המופשטים/פיזיים באופן הפתוח לביקורת תמידית). מושג הפונקציה לפי גישה ריגורוזית זו הינו בדיוק פעולתה של התודעה על מושאיה, ואין אני משחק במשחק "ההרחקה המדומה" המתייחסת אל מושג הפונקציה כסוכן מכאני שאינו קשור כלל ועיקר לתודעתנו. משחק "ההרחקה המדומה" דומה לאדם המזהה את בבואתו בראי כמושג הנפרד ממנו, וזה בדיוק מה שעושה קהילת המתמטיקאים עם מושג הפונקציה, בהעניקם לה קיום עצמאי שאינו קשור כלל לתכונות המינימליות ההכרחיות של תודעתם. בקיצור מר אלון עמית, למשחק הדדוקטיבי שלך אין עתיד כי הוא מבוסס אל אי-תבוניות במקרה הרע או הונאה-עצמית במקרה הטוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אכן, ומן הראוי היה שכל הדיונים העוסקים בדורון שדמי ותורתו היו מתנהלים בפתיל שראשיתו בתגובה זו.'' לצערי נודע לי על פתיל זה כשבוע לאחר שהתחלתי לדון בעבודתי, תחת מאמרו של אלון עמית. כפי שציינתי, אלון עמית לא טרח כלל לידע אותי שהוא משתמש בעבודתי, כדי לחזק את התיזה שלו על ''טרחנים כפייתיים'', וזה מצביע לא מעט על אופיו ויושרו כאדם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חש צורך להגן על אלון בנקודה זו: איזה רשות צריך היה אלון לבקש בדיוק? האם כשאני מביא את "הארי פוטר" כדוגמא לספרות גרועה אני צריך לבקש רשות מרולינג? |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |