 |
"האם כל משפט לגבי המספרים הטבעיים הוא נכון או לא נכון?"
כפי שציינו אחרים, אנשים שונים עונים על השאלה הזו באופנים שונים. דעתי האישית היא שבהחלט כן, לפחות כאשר "משפט לגבי המספרים הטבעיים" הוא טענה מסדר ראשון (דהיינו טענה שעניינה הוא המספרים עצמם, לא קבוצות של מספרים).
"והאם כל משפט בכלל הוא נכון או לא נכון... במובן הפורמלי?"
אני לא בטוח שאני מבין את השאלה: אם אתה מתייחס למערכות מורכבות יותר מהטבעיים, אז התשובה היא עדיין "ייתכן שכן" אם כי פה כבר יש יותר סיבות טובות להניח שיש משפטים שהם באמת, מהותית, חסרי ערך-אמת. אבל בהמשך הפסקה אתה חוזר למשפט-גדל על הטבעיים, ואז לא ברור לי ההבדל בין השאלה הזו לשאלה הראשונה.
"האם לכל משפט, בהכרח הוא או שלילתו נכונים?" - שוב, דעתי האישית היא שכן (עבור משפטים מסדר ראשון על הטבעיים). יש זרמים בפילוסופיה של המתמטיקה ("אינטואיציוניזם" לסוגיו, בגדול) שאינם מקבלים את ההנחה הזו.
"איך אפשר לדעת (בוודאות) אם הוא נכון?" - לא תמיד אפשר. לגבי "ידיעה וודאית" צריך גם לזכור (כאמור במאמר) שלהטיל ספק זה קל: האם אנו "יודעים בוודאות" שהאקסיומות של תורת המספרים הן נכונות? האם אנו "יודעים בוודאות" את מודוס-פוננס?
"אתה משער (ואם הבנתי נכון אין לך בעצם הוכחה), אין הבדל מהותי בין היכולת של בני אדם לזו של מחשבים להוכיח דברים"
דווקא לזה יש, כמובן, הוכחה. היכולת של בני-אדם "להוכיח דברים" היא בדיוק יכולתם לגזור מסקנות במערכות אקסיומטיות - זה הפשר היחיד של "להוכיח" המוכר לי, בהקשר הזה. את זה בוודאי יכולים לעשות גם מחשבים. מדי פעם צצות טענות (מוזרות בעיני) שבני-אדם יכולים "לדעת" או "לראות" דברים שלא ניתן להוכיח, כך שאם היית מנסח את הטענה כ"אין הבדל מהותי בין היכולת של בני-אדם לזו של מחשבים לדעת דברים", לזה באמת אין לי (ולא תהיה לי) הוכחה. אם תבוא מישהי ותטען שהיא "רואה" שיש אינסוף מספרים משוכללים, אוכל רק לפקפק בדבריה, לא להוכיח שהיא משקרת. לצערי, אני משוכנע לגמרי שלי אישית אין כל "ראייה" מופלאה כזו.
"האם מסופיות המוח האנושי לא נובעת העובדה שיש משפט במספרים הטבעיים שאנשים לא ידעו לעולם אם הוא נכון או לא?"
לא. כלומר, הסיפא של המשפט היא מאוד מאוד סבירה, אבל היא לא נובעת מהרישא. סופיות המוח האנושי אינה מגבילה את יכולתנו לדעת לגבי כל משפט בגיאומטריה של המישור - עולם אינסופי ועשיר בהחלט - אם הוא נכון או לא נכון. עם זאת, כאמור, ההנחה שיש משפטים על הטבעיים שלא נדע לעולם אם הם נכונים או לא היא סבירה למדי - גם בעקבות משפט-גדל, כמובן, וגם מסיבות פרקטיות של זמן ומקום.
למשל, אני מוכן להמר שלא נדע לעולם מהו הפירוק לגורמים ראשוניים של 100+3^10^10 (חידה: להראות שזה אינו מספר ראשוני).
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש