בתשובה ליזהר, 18/07/05 11:27
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני יודע (ולא רק מאמין) ש- ZFC (מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, בתוספת אקסיומת הבחירה) אינה שלמה. הדוגמא הידועה ביותר היא השערת הרצף, וזו הזדמנות נאה להסביר איך יתכן שהשערה כל-כך פשוטה תהיה לא כריעה, בתורה חזקה כמו ZFC. ראשית, מה זו ZFC. התחושה האינטואטיבית אומרת שקבוצה היא פשוט "קבוצה של דברים", ושאם אוספים כמה דברים יחד תמיד אפשר להתייחס לאוסף הזה כאל קבוצה. הפרדוקס של ראסל הראה שזו גישה מאד לא מוצלחת, מכיוון שהיא מביאה לסתירות מיידיות. במקום זה, צרמלו ופרנקל, בעקבות קנטור וחצי מהפילוסופים של ראשית המאה העשרים, פיתחו גישה אלטרנטיבית, הרבה יותר קונסטרוקטיבית. הם ניסחו מערכת של אקסיומות שהתוכן של כולן הוא, בקירוב, שבתנאים מסויימים קיימת קבוצה בעלת תכונות מסויימות. למשל, האקסיומה הראשונה קובעת שקיימת קבוצה שאין בה איברים בכלל ("הקבוצה הריקה"). לכל שתי קבוצות יש קבוצה שהיא האיחוד שלהן; לכל קבוצה קיימת "קבוצת החזקה", שכוללת בדיוק את כל תת-הקבוצות של הקבוצה המקורית, וכן הלאה. יש אקסיומה מיוחדת שאומרת שבהנתן קבוצה וכלל שבוחר איברים שלה, קיימת קבוצה שכוללת בדיוק את האיברים האלה. האקסיומות האלה מאפשרות לבנות גם קבוצות מסוג מיוחד שנקראות 'פונקציות'. פונקציה מקבוצה A לקבוצה B היא בסך-הכל *קבוצה* של זוגות סדורים (a,b) שבה לכל איבר a של A מתאים איבר יחיד של B. במערכת הזו (ולכן בכל המתמטיקה), כל דבר הוא קבוצה. רגע של מחשבה על האקסיומות שמניתי עד כאן יגלה שאין שום דרך לבנות קבוצה שאינה סופית; אז מוסיפים למערכת גם אקסיומה על קיום קבוצת המספרים הטבעיים. בסופו של דבר הוסיפו גם את 'אקסיומת הבחירה': בהנתן קבוצה I ופונקציה F מ- I לקבוצה כלשהי, קיימת פונקציה אחרת f מאותה קבוצה I, כך שהאיבר (f(i שייך לקבוצה (F(i. בניסוח קל יותר אומרים ש"בהנתן אוסף של קבוצות, אפשר לבחור איבר אחד מכל קבוצה" - המשמעות המדויקת של "אפשר" היא שקיימת *קבוצה* (פונקציה, במקרה הזה) שמממשת את ה"אפשרות" הזו. זו אקסיומה פחות אינטואיבית (בין השאר אפשר להוכיח ממנה את פרדוקס בנך-טרסקי על התפוזים והשמש), אבל בכל זאת היא די מקובלת. למערכת הכוללת את אקסיומת הבחירה קוראים ZFC, ולזו שבלעדיה - ZF (על-שם צרמלו ופרנקל). כעת, עוצמות (בגירסה למתחילים; אין צורך ביותר מזה). אם יש פונקציה מקבוצה A שמכסה את כל האיברים של B, אז ברור שמספר האיברים של A לא יכול להיות קטן יותר, ואומרים ש"עוצמת A גדולה לפחות כמו עוצמת B". אם העוצמה של A גדולה לפחות כמו של B וגם להיפך, אז הן בעלות אותה עוצמה (למתקדמים: זו לא ההגדרה המקובלת!). בהמשך, נסמן ב- N את קבוצת המספרים הטבעיים, וב- PN את הקבוצה שכוללת את כל ה*קבוצות* של מספרים טבעיים (גם סופיות וגם אינסופיות). קנטור, שיסד את תורת הקבוצות, הראה די בקלות ש- N היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר; במלים אחרות מ*כל* קבוצה שאינה סופית יש פונקציה המכסה את כל N (זה כמו לבחור בקבוצה איבר ראשון, איבר שני, וכן הלאה, באופן שכולם שונים זה מזה). תוך שהוא ממציא את "שיטת האלכסון" ומקדים את ראסל, קנטור הוכיח שהעוצמה של PN גדולה ממש מזו של N; כלומר, אי אפשר לסדר את האיברים של PN בסדרה (ראשון, שני, שלישי, ...) בלי להשמיט איברים. קנטור לא הצליח לבנות קבוצה אינסופית שעוצמתה תהיה מצד אחד גדולה משל N, ומצד שני קטנה משל PN. "השערת הרצף" שלו אומרת שאין כזו קבוצה. כלומר: כל קבוצה שלא ניתן לסדר, היא בהכרח גדולה מספיק כדי שאפשר יהיה לכסות באמצעותה את PN. בניסוח מדוקדק יותר: אם A היא קבוצה כזו, שלא קיימת פונקציה מ- N המכסה את A, אז *בהכרח* קיימת פונקציה מ- A המכסה את PN. *זו טענה על קיום של פונקציות*, כלומר על קיום של קבוצות. מסתבר (משפטים של גדל, 1938, ופול כהן, 1963) שההשערה הזו אינה סותרת את שאר האקסיומות של תורת הקבוצות, אבל גם אינה נובעת מהן. פירושו של המשפט השני הוא שבארגז הכלים הנקרא אקסיומות ZFC, אין מספיק כלים כדי לבנות את הפונקציה מ- A על PN. לכן השערת הרצף אינה כריעה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מתקדם, אבל מה ההגדרה המקובלת? קיום התאמה חח"ע ועל (ואז מה שאתה מתאר נובע ממשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין שהוא לא מיידי, הרי קנטור לא הצליח להוכיח אותו), או משהו מתוחכם יותר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, התאמה חח"ע ועל. כפי שציינת, השקילות בין שתי ההגדרות אינה טריוויאלית. (למתעניינים: החידה הלא-פשוטה היא להראות שאם יש פונקציה מ-A ל-B המכסה את כל איברי B, ופונקציה אחרת מ-B ל-A המכסה את כל איברי A, אז יש עוד פונקציה (אולי) אחרת מ-A ל-B המכסה את איברי B ומתאימה לאיברים שונים מ-A איברים שונים ב-B). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זאת הפעם השניה בעת האחרונה שאני נתקל בתופעה שיחס השויון מוגדר כתוצאה מהפעלת היחס "גדול שווה" בשני בכיוונים (הפעם הראשונה היתה באותו ספר של קונווי1), כלומר היחס היסודי יותר הוא "גדול שווה". זה עניין מקובל במתמטיקה? __________ 1- לא הבנתי הרבה, אבל את זה דוקא כן. גם את ההוכחה של המשפט האחרון בספר הצלחתי להבין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ביסודות המתמטיקה זו גישה די שכיחה (בעוצמות, במספרים-משחקים של Conway, אפילו בשוויון בין קבוצות שמוגדר לפי הכלה בשני הכיוונים). גם אחר-כך זה קורה לא מעט (כי בדרך כלל התכונה של 'להיות גדול לפחות כמו' היא יותר פשוטה מאשר 'להיות גדול בדיוק כמו'), אבל מצד שני 'איזומורפיזם' הוא מושג מאד שכיח (שפירושו שמדובר בשתי מערכות שוות), ולא נראה לי שיש העדפה פילוסופית לאחד הצדדים. (זוהי השורה האחרונה בהודעה הזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לתוהים: המשפט האחרון בספר של קונווי הוא: "Theorem 100. This is the last theorem in this book.
(The proof is obvious)" |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הקטנתי את החלון, ולא הצלחתי להבין את המשפט האחרון שלך. (סתם.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה די מקובל, פשוט כי "שוויון" (או סוגים אחרים של שקילות) מבטא איזושהי תכונה סימטרית בין A ל-B, המתקיימת כאשר משהו קורה בין B ל-A וגם בין A ל-B. למשל, בתורה שעוזי דיבר עליה (ZFC), קבוצות הן שוות בדיוק כאשר יש להן אותם איברים (זו אחת האקסיומות); לכן, כשרוצים להוכיח זהות בין שתי קבוצות בהינתן מידע על האיברים שלהן, מראים שכל איבר של A הוא גם איבר של B, ואז שכל איבר של B הוא גם איבר של A - במילים אחרות, ש-A מוכלת ב-B וגם ש-B מוכלת ב-A. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כל קבוצה שלא ניתן לסדר" - אתה מתכוון, כל קבוצה שלא ניתן לסדר בלי אקסיומת הבחירה, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. הוא מתכוון "כל קבוצה שלא ניתן למנות", כלומר לכסות אותה ע"י פונקציה מהטבעיים N; אין הכוונה ל"לסדר סדר טוב" (שאת זה, עם אקסיומת הבחירה, אפשר תמיד לעשות, ואני מניח שמכאן השאלה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''הפרדוקס של ראסל הראה שזו גישה מאד לא מוצלחת'' זה ניסוח קצת גס, הרי העובדה שהשתמשו בגישה הזו כל כך הרבה שמן מראה שזאת דווקא גישה מוצלחת למדי, אולי לא מושלמת, אבל בכל זאת מוצלחת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל לא השתמשו בגישה הזו כל כך הרבה זמן. מתמטיקאים התחילו להתייחס ברצינות למושג הכללי "קבוצה" רק ממש באותה תקופה; לפני כן דיברו רק על "מספרים" (ממשיים, מרוכבים, טבעיים) ועל קבוצות של מספרים, וכאן הבעייה אינה נוצרת כלל וכלל: יש אבחנה ברורה בין עצמים לקבוצות-של-עצמים, ובפרט אין דבר כזה בכלל שקבוצה תהווה את אחד מהעצמים שלה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |