בתשובה ליזהר, 17/07/05 15:29
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"כל פסוק הוא או פסוק אמת או פסוק שקר" - נכון, אבל לא נכון 1. אמנם, בכל מופע של האקסיומות, כל פסוק או נכון או לא נכון, אבל יש פסוקים שנכונותם לא שקולה עבור כל המופעים. לדוגמה, ע"פ האקסיומות של תורת החבורות, חבורה A (תחת כפל) מקיימת את החוקים הבאים: (0) סגירות (1) אסוציאטיביות (2) קיום יחידה (3) קיום הופכי לכל איבר האם A קומוטטיבית או לא? כמובן, שעבור כל חבורה A, הטענה הזאת היא נכונה או שאינה נכונה, אבל הנכונות שלה לא שקולה לכל המופעים. הטענה הזאת בלתי תלויה באקסיומות. בהנתן *רק* האקסיומות הכלליות של התורה, שאלת הקומוטטיביות אינה כריעה. בתורת המספרים, למשל, אנחנו מתעניינים למעשה במופע מסוים של אקסיומות פאנו, כי אנחנו מכירים את המספרים הטבעיים מהמציאות ויודעים (או לפחות חשים) שהם קיימים. לכן, כל טענה אריתמטית היא נכונה או לא, גם אם אינה כריעה. במובן הזה, אי הכריעות של "השערת גולדבך האקסיומטית" גוררת את נכונות "השערת גולדבך הטבעית". בתורת הקבוצות, לעומת זאת, אנחנו לא עוסקים במופע ספציפי. לכן אלון מצא לנכון להפריד את שתי התורות בתגובה 317241 מבחינת ה"קיום" של האוביקטים שבהם התורות עוסקות. האם אתה יכול לומר שהשערת הרצף או שלילתה "אמיתית"? 1 אתה מוכרח להודות שזה ניסוח נחמד. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אנחנו לא מדברים על זה, נכון? אנחנו מדברים על פסוקים שיש נכונות או להם או לשלילתם. האם לפסוקים כאלו יכול להיות שאין הוכחה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"במובן הזה, אי הכריעות של "השערת גולדבך האקסיומטית" גוררת את נכונות "השערת גולדבך הטבעית"." - נכון, אבל זהירות: לא כל פסוק אריתמטי הוא מהסוג הזה. אי-הכריעות של Twin Primes לא תגיד לך איזו משתי האפשרויות היא הנכונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שאין לי מושג מה הולך כאן. כמה שאלות הבהרה: נניח שיש טענה (אוקי, פסוק) שהראו עליה שהיא לא כריעה. נניח שהפסוק הוא מהטיפוס " לא קיים טבעי כך ש בלה בלה". אם הפסוק היה שקר, אז על יד חיפוש מספיק ארוך הייתי יכול למצוא את הדוגמא הנגדית, מה שסותר את זה שהפסוק לא כריע, ולכן נובע שהפסוק הוא אמיתי. נכון? לא נכון? מצד שני, אם הפסוק הוא מהטיפוס " קיימים אין סוף טבעיים כך ש בלה בלה", אי אפשר להסיק (בשיטה הזאת) מהאי כריעות כלום. זה מה שהתכוונת להגיד? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמעט נכון. השאלה היא מה זה "בלה בלה". למשל, את Twin Primes אפשר לנסח כך: לא קיים טבעי כך שאין זוגות-ראשוניים בהפרש 2 מעליו. הנקודה היא שאם אני טוען שיש טבעי כזה, ואפילו מרחיק-לכת ונותן לך אותו (הנה, קח: 100^10^10), אין לך דרך סופית לבדוק אם הוא אכן מקיים את הדרישה. תוכל לחפש ראשוניים כאלה מעליו, אבל כל עוד לא תמצא, לא תדע אם להמשיך או להתייאש. בגולדבך זה לא כך: אם אני נותן לך מספר, אתה בקלות מוודא שהוא זוגי, ובקלות (כלומר, בתהליך חד-משמעי שיכול לקחת מיליארד שנים) בודק שהוא אכן לא סכום שני ראשוניים - מספיק להביט על הראשוניים הקטנים ממנו, ומספרם של אלה סופי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מאוד אוהבת את ה"קלות" הזאת. וכי מהן מיליארד שנים ביני ובינך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. התלבטתי ביני לבין עצמי האם להוסיף משפט שאומר ש''בלה בלה'' פירושו משהו שאפשר לוודא במספר סופי של צעדים, אבל ויתרתי מתוך עצלות. אגב, אני לא יודע אם אמרו לך, אבל אחלה מאמר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרוב עניין, שכחתי גם אני לומר לך כמה המאמר מרתק. עכשיו שראובן הזכיר זאת, אני אומרת - ומודה לך.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובהכללה: טענה שאם גרסתה ה"טבעית" אינה נכונה, ניתן להוכיח זאת מתוך המערכת האקסיומטית. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |