בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 22/06/05 19:43
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"אולי אפשר להוכיח את זה באינדוקציה טרנספיניטית?" זו היתה שאלה רצינית, או הומור רטורי? (רק שאבין אם יש טעם לענות). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הומור, כי אני לא באמת יודע מה זו אינדוקציה טרנספיניטית. מה שכן, אני באמת סקרן: אפשר להוכיח שסכום של אינסוף אפסים הוא אפס? (באינדוקציה רגילה, דומני, אפשר להוכיח רק שסכום של מספר סופי כלשהו של אפסים הוא אפס). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, רגע, בגישה הרגילה שלנו לסכומים אינסופיים (פשוט להתעסק עם סכומים חלקיים) ברור שאפשר לעשות את זה. אני לא בטוח שלזה כיוונתי בהודעה המקורית, אבל כרגע לא ברור לי למה כיוונתי. אם יש לך תשובה לסכומים לא בני מניה (תהיה משמעותם אשר תהיה) זה יהיה מעניין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי-אפשר להוכיח (באינדוקציה טרנספיניטית או בכל דרך אחרת) כלום על סכומים אינסופיים (של אפסים או של כל דבר אחר) לפני שעושים משהו אחר: *להגדיר* מהו סכום אינסופי. שגיאה נפוצה היא להניח שמכיוון שאנחנו יודעים מה זה a+b, ולכן מה זה a+b+c+d+e, אז הערך של a+b+c+d+e+... כבר נקבע בעבורנו ואנחנו רק צריכים לגלות מהו, או להוכיח לגביו דברים. זה פשוט לא כך: סכום אינסופי הוא פונקציה לא מוגדרת של אינסוף משתנים, ואפשר להגדיר אותה בכל מיני דרכים, יותר או פחות שימושיות, ולא כולן מתלכדות תמיד. אם תאמר לי איך אתה מגדיר סכום של (סודר כלשהו של) מספרים - ואתה מסתמא תשתמש באינדוקציה טרנספיניטית בהגדרה - אני אוכל להשיב לך על השאלה, מהו סכום של מספר לא בן-מנייה של אפסים, כנראה גם באינדוקציה טרנספיניטית. התשובה עשויה להיות תלויה בסודר, ולא רק בעוצמה. אם אתה מכיר קצת סודרים (סודר עוקב וסודר גבולי), אתה יכול להמציא די בקלות הגדרות טבעיות לסכום של טורים וגבולות של סדרות בהקשר המתאים. אחרי שתעשה זאת, תוכל לחשב את הסכום של המון-המון אפסים (סביר שיצא אפס). (טעות אחרת, הקשורה לפתיל הזה, היא לחשוב שכדאי להגדיר את אפס כפול אינסוף כתוצאה של החשבון הזה. מסיבות שאני חושב שאתה מכיר, לא כדאי להגדיר את אפס כפול אינסוף בכלל). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני מכיר, ואני תמיד שמח לשמוע עוד נימוקים נגד הזיווג הנלוז בין אפס ואינסוף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעייה הבסיסית היא שכפל של שני אובייקטים הוא מושג חסר-טעם אם הוא אינו משתלב באיזשהו אופן עם מושגים אחרים, נניח שטח בגיאומטריה, או סכום ומכפלה של אובייקטים אחרים באלגברה כשמתקיימים כללים אלגבריים נוחים מסויימים (כמו חוק הפילוג). אני יכול להגדיר ש-מ' כפול ו' זה ס', אבל מה יצא לי מזה? במקרה שלנו, לא קיימת דרך להגדיר את המכפלה הזו באופן שיהיה בה איזשהו טעם אנליטי (גבול של מכפלת פונקציות, למשל) או אלגברי (להרחיב את הממשיים לשדה הכולל את אינסוף, נניח). כל אחד רשאי להגדיר את 0 כפול אינסוף להיות פאי, אבל לא ברור איזה טעם יש בהגדרה כזו. לפעמים זה סתם נוח להגדיר את 0 כפול אינסוף כ-0, כדי לחסוך קצת מלל בניסוח טענות - זה קורה בתורת המידה, למשל. <מנטרה> בכל מקרה, להתווכח על ה"ערך" של 0 כפול אינסוף כאילו שיש לזה איזשהו מובן אובייקטיווי (למשל כשמנתחים תנועה של חץ) זה בדיוק כמו להתווכח על האם מספר הנקודות במשחקון ראשון בטניס צריך באמת להיות 15. </מנטרה> |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה באמת מספר הנקודות הוא 15? שמעתי שמועות לפיהן פעם נתנו נקודה אחת בפעם, אבל אז המשחקים נמשכו שלושה ימים במקום שלוש שעות, והסתיימו לרוב במותו של אחד השחקנים. יש בזה משהו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באיזה מין משחקים מדובר? "הסתיימו לרוב במותו של אחד השחקנים"? לא מוגזם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תסמוך אף פעם על הודעות שצירוף המילים ''שמעתי שמועות'' מופיע בהן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמעתי את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זה היה נכון בתקופה בה הזורק בבייסבול היא רץ בעצמו אל החובט, שהיה מעיף לו את הראש עם האלה. רק אחר-כך מישהו עלה על הפטנט, אולי כדאי לזרוק כדור במקום. בחייך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה עדיין עומדת: מה הסיבה שזה דווקא 15? הנימוק הוא ככל הנראה אנקדוטלי, אבל זה עדיין מסקרן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא חידה שעורך הטריוויה היה מקבל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עשרים תגובות ורק לי מפריע שהכותרת היא בעברית מאונגלת להחריד? אני הופך לדודה פולנית או מה ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע למה 15, אבל יש לי הרגשה שאת כל שיטת הספירה פיתחה אישה. גם אשתי מדי פעם מגוונת, ובמקום לקרוא לי "אפס" כהרגלה, קוראת לי "Love". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "סודר עוקב" ו"סודר גבולי"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה.:) | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |