בתשובה לברקת, 01/07/05 17:05
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני מוכן לנסות בחמש שורות (ארוכות) 1. "חוג" הוא קבוצה של מספרים1, שסגורה לפעולות החיבור והחיסור ולפעולת הכפל. למשל, אוסף כל המספרים השלמים הוא חוג; אבל אוסף המספרים החיוביים לא (לא סגור לחיסור) ואוסף האי-זוגיים גם לא (לא סגור לחיבור). כשרצו להכליל את התכונות של מספרים טבעיים לחוגים אחרים, שמו לב שבמקום המספר 9 (למשל) אפשר לחשוב על כל המספרים שמתחלקים ב- 9. זהו "המספר האידיאלי" שמתאים למספר הרגיל 9. מספר אידיאלי (שהוא כאמור קבוצה של מספרים) מקיים את התכונות שאנחנו דורשים מחוג (סכום ומכפלה של מספרים המתחלקים ב- 9 גם הם מתחלקים ב- 9). יתרה מזו, אם מכפילים מספר שמתחלק ב- 9 בסתם מספר, התוצאה עדיין מתחלקת ב- 9. קבוצה שמקיימת את התכונות האלה (סגורה לחיבור וחיסור, וגם לכפל במספר כלשהו) נקראת "אידיאל". במספרים השלמים, מתברר שכל אידיאל הוא בעצם "מספר אידיאלי" (כלומר, יש באידיאל איבר שמחלק את כל האיברים האחרים באידיאל). חוג עם התכונה השימושית הזו נקרא "תחום אידיאלים ראשיים" (PID). אלו הם החוגים שבהם לכל שני מספרים יש "מחלק משותף מקסימלי". יש חוגים שבהם זה לא כך. למשל, בחוג שנוצר על-ידי סיפוח שורש 6 (שנסמן ב- a) לשלמים, יש אידיאל שאיננו מספר אידיאלי: אוסף המספרים מהצורה n+ma כאשר n,m שלמים ו- n זוגי - הוא סגור לחיבור וחיסור וכפל במספר כלשהו, אבל אין אף מספר שמחלק את כל המספרים האלה. (זה היה מבוא לתורת החוגים ולתורת המספרים האלגברית, שניים במחיר אחד). 1 במחיר של ויתור מסויים על כלליות ההגדרות |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שרק עכשיו אני מתחיל להבין למה קוראים לאידיאל אידיאל. תודה! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למתקדמים אפשר לספר שהאחראי להמצאה הזו (של מספרים אידיאליים) הוא Kummer, שהתאכזב מן הכשלון של Lame בהוכחת משפט פרמה. Lame הסתמך על פירוק לראשוניים בחוגי מספרים, למרות שבדרך כלל התכונה הזו (שנכונה בכל PID) אינה מתקיימת1. להצעה לעבור לאידיאלים במקום מספרים היו פירות מיידיים: דדקינד הוכיח שבכל "חוג שלמים" יש פירוק יחיד ל*אידיאלים* ראשוניים (חוגים עם התכונה הזו נקראים היום "חוגי דדקינד"). 1 כדי לחדד: גם אם אפשר לפרק לגורמים אי-פריקים, הפירוק הזה אינו בהכרח יחיד. חלק קטן מן האי-פריקים הם ראשוניים, ופירוק לראשוניים - אם יש כזה - הוא תמיד יחיד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא את זה ידעתי. אני חושב שאפילו מדברים על זה בספר של סיימון סינג. מצד שני, כנראה שלא (אבל אז לא ברור לי מאיפה שמעתי על זה, אולי בהרצאה של המועדון המתמטי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה אי פריקים שאינם ראשוניים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוזי נח, אז אני אתנדב. אי-פריק: לא מתפרק למכפלה באופן לא טריוויאלי ( = כששני הגורמים אינם "יחידות", או "הפיכים"). ראשוני: בכל פעם שהוא מחלק מכפלה, הוא מחלק את אחד הגורמים. אם מספחים, למשל, את שורש מינוס חמש לשלמים (נקרא לו z), אז 6 = 2*3 = (1+z)(1-z) 2 הוא אי-פריק, והוא מחלק את המכפלה שם בצד ימין, אבל לא את אף אחד מהגורמים שלה. לכן הוא אי-פריק שאינו ראשוני. כאן רואים גם איך התופעה הזו יוצרת פריקות לא חד-ערכית: 6 מתפרק לגורמים אי-פריקים בשתי דרכים שונות בחוג הזה.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. אפשר לומר שקיבלתי איזה תובנה אימפרסיוניסטית מסוימת.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי ההסבר הזה יש לי הרגשה שהעברית קצת מקלקלת את השורה, וה ideal בא בכלל מ idea, כלומר "מספר רעיוני". אחד הפירושים של המילה, לפי מרים, הוא: existing as an archetypal idea. אני סמוך ובטוח שעוזי יכול למצוא ביטוי ארמי טוב יותר מ"אידיאל" לבטא את האבטיפוסיות המתבקשת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סלח לי אבי כי אני קצת אהבלה - נתקעתי כבר בשורה הראשונה. מה זאת אומרת "סגור לחיבור וחיסור"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קבוצת מספרים היא סגורה לחיבור אם התוצאה של חיבור כל זוג איברים בה עדיין שייך לקבוצה. באופן דומה מוגדרת סגירות לכפל, או לכל פעולה אחרת. דוגמאות: - קבוצת כל המספרים השלמים היא סגורה לחיבור (סכום כל שני מספרים שלמים הוא שלם) - קבוצת כל המספרים החיוביים היא סגורה לכפל (מכפלת כל שני מספרים חיוביים הוא חיובי) - קבוצת כל המספרים השלמים *אינה* סגורה לחילוק (2/3 זה לא מספר שלם) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה... תודה. אני חוזרת לטקסט של עוזי (עד ה-bumper הבא). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז האם אפשר לומר ש-9 הוא המספר האידיאלי של האידיאל של 9? (ניסוח קצת צולע ובכל זאת). אם הבנתי נכון, האם גם 2 הוא מספר אידיאלי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, כל מספר הוא "מספר אידיאלי" של האידיאל של עצמו. במתמטית קוראים לזה "יוצר" של האידיאל ("כל המספרים שמתחלקים ב- 2" זה אידיאל; 2 הוא יוצר של האידיאל הזה. גם מינוס 2). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |