בתשובה לאלון עמית, 25/05/05 8:36
 |
|
 |
||
|
||||
 |
התוחלת של המשתנה המקרי של הרווח המוחלט שלי היא אינסוף. לעומת זאת, אם אני מסתכל על רווח "יחסי", כלומר הרווח שלי פחות הרווח שלך, אני מקבל משתנה מקרי סימטרי לגמרי סביב האפס, ולכן התוחלת, שלא במפתיע, היא אפס (הרי הסיכוי שלי לבחור במעטפה הנכונה, בלי קשר לכמות ההחלפות שלי, הוא בדיוק 50:50). אני חושב שאני מתחיל לראות את הבעייתיות כאן. נניח שבמעטפה היה פשוט מושם סכום כסף קבוע (ובמעטפה השנייה היה מושם סכום גדול פי 3), בלי שיאמרו לי איך הוא נבחר. מן הסתם תוחלת הרווח היחסי שלי אם הייתי דבק במעטפה שלי הייתה כמו תוחלת הרווח היחסי אם הייתי מחליף מעטפה - אפס. אני מתחיל לחשוב שהבעיה שלי היא בשלב שבו אני אומר "יש לי סיכוי של 50:50 שבמעטפה שלי יש את הסכום הקטן יותר, כלומר סיכוי של 50:50 שאם אני אחליף אני ארוויח 2x, ואחרת אפסיד 2x/3". אני מתקשה לנסח במילים מה בדיוק הבעיה לדעתי, אבל אני מרגיש שזה נובע מכך שבשלב שבו אני אומר את זה, הסכומים כבר הוגרלו ונמצאים במעטפות, ולכן אם אני אחליף אני יכול להשיג רק רווח בטוח או הפסד בטוח. מכיוון שהסכומים כבר הוגרלו, המצב שבו אני נמצא כשאני בא לבחור בין המעטפות זהה למצב שבו במעטפות הושם סכום כסף קבוע בלי הגרלה. לכן לא נכון לקחת את התוחלת על הרווחים מהבחירה הזו. למעשה, אני לא חושב שאני מסוגל לכתוב משתנה אקראי שממדל את ה"בחירה להחליף". אבל די קשה לי להתנסח כאן, האמת. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"אם אני מסתכל על רווח "יחסי", כלומר הרווח שלי פחות הרווח שלך, אני מקבל משתנה מקרי סימטרי לגמרי סביב האפס, ולכן התוחלת, שלא במפתיע, היא אפס". אתה בטוח? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שאני לא בטוח, אבל זה מה שנראה לי. המשתנה המקרי של הרווח היחסי שלי הוא תמיד מה שאני הרווחתי פחות מה שאתה הרווחת. כלומר, הערך שלו תמיד יהיה שתיים כפול שלוש בחזקת k כלשהו. הוא מתקבל רק עבור המצב שבו אחרי ההחלפה יש לי מעטפה עם 3 בחזקת k+1, ולך יש 3 בחזקת k. ההסתברות לסיטואציה כזו היא קודם כל 1/2 בחזקת k (כדי שיוגרל 3 בחזקת k) ואחר כך כפל עוד 1/2 - ההסתברות שאני אתחיל עם המעטפה שמכילה את הסכום היותר קטן. אני כזכור תמיד מחליף. עכשיו, זה נראה לי סימטרי לגמרי עם האפשרות שאני לא ארוויח אלא אפסיד: כאן שוב צריך להגריל 3 בחזקת k (בהסתברות 1/2 בחזקת k) אבל הפעם אני צריך להתחיל עם המעטפה עם הסכום הגבוה יותר, ולכן כופלים שוב ב-1/2. האם אני מפספס כאן משהו ו"הפתרון" הוא "התוחלת (של הרווח המוחלט) אינסופית ולכן זה נראה מוזר"? זה פתרון שאני מתקשה לקבל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא עובד מסודר. למדת הסתברות, או עוד לא? קודם כל ראה מהו מרחב המדגם, אח"כ בדוק מה ערכו של המשתנה המקרי בכל נקודה, רשום ביטוי לתוחלת שלו, ותראה מה יוצא. מה שלא יצא, זה לא יכול להיות "פתרון שאני מתקשה לקבל"; אנחנו בינתיים בשלב המתמטי. אחר-כך ננסה להבין מה זה אומר ולמה. (אני לא מנסה להציק, רק להראות לך שיש ערך לעבודה מסודרת לפי ההגדרות. אתה כל הזמן רץ קדימה, מנחש את התשובה ותוהה אם אתה מפספס משהו, בפעם החמישית כבר כמדומני. אל תפספס, אז לא תצטרך לתהות. בכל זאת נראה שהכותרת הנגררת שהעניק לי אורי היא מוצדקת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שזה בדיוק מה שאני עושה, בכל הנוגע למשתנה המקרי של הרווח היחסי (כלומר, הרווח שלי פחות הרווח שלך). מכיוון שבכל חלוקה אפשרית של כסף במעטפות יש במעטפה אחת פי שלוש יותר מהשנייה, הערכים היחידים שיכול המשתנה המקרי הזה לקבל הם 2 כפול הסכום הנמוך יותר (אם אני לוקח את המעטפה עם הסכום הגבוה) או מינוס 2 כפול הסכום הנמוך יותר (אם אני לוקח את המעטפה עם הסכום הנמוך). עבור הערכים הללו, החישוב הוא מה שכתבתי בהודעה הקודמת. פרט לאלה, אפשר גם להגדיר משתנה מקרי אחר, של הרווח המוחלט שלי, ויש לו בבירור תוחלת אינסופית. מבחינה מתמטית זה לא מפריע לי. מה שמפריע לי הוא טענה שבגלל שהתוחלת אינסופית, אז "משתלם" להחליף את המעטפות תמיד, טענה שנראית לי לא נכונה. אם מסתכלים על תוחלת הרווח המוחלט שלך אם אתה מחליף מעטפה, זה אינסוף, אבל ככה גם אם אתה לא מחליף מעטפה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אני אכנע כי צריך ללכת לישון. החישוב שכתבת בהודעה הקודמת שגוי: אתה מסכם טור אינסופי וטוען שיוצא לך 0. אני מנחש שאם היית רושם הכל בדיוק (סיגמה כשאן הולך מאחד עד אינסוף של...) היית נזכר שטור כזה לא מסתכם לאפס רק כי אפשר לסדר את איבריו בזוגות המבטלים זה את זה. הטור הזה *לא מתכנס*. לא לאפס, לא לאינסוף, לא לשום דבר. למשתנה המקרי שלך *אין תוחלת*, וזה הלקח המתמטי הקטן שניסיתי לחלץ ממך. לא לכל משתנה מקרי יש תוחלת (וגם אם יש תוחלת, לא תמיד יש שונות, וכו'). על הפרשנות אני אכתוב בפעם אחרת. בינתיים רק אעיר שאת הפסקה השנייה שלך לא הבנתי; מישהו טען פה ש"בגלל שהתוחלת (של הרווח המוחלט) אינסופית, אז "משתלם" להחליף את המעטפות תמיד"? הטענה היא ששווה להחליף מעטפות כשאתה רואה 27 זוז. איזו תוחלת אינסופית יש פה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודק, פאשלה שלי. שכחתי שהחלק החיובי והחלק השלילי של הסכום לא יכולים שניהם להתכנס לאינסוף ולמינוס אינסוף (או ליתר דיוק, בחרתי להתעלם מזה מסיבה לא ברורה). החלק השני אמר בערך ככה: אנחנו רואים שתמיד כדאי להחליף, בכל סיטואציה, וזה נראה לא סביר אינטואיטיבית, ולכן השאלה היא "מה גורם לזה". טיעון שלפיו זה קורה בגלל שהתוחלת של הרווח מהחלפה היא אינסופית לא נראה מספק במיוחד. (למען האמת, גם העובדה שלמשתנה המקרי של הרווח מהחלפה אין תוחלת לא ממש עוזרת לאינטואיציה שלי להבין את הפרדוקס). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |